汇编绘制三角形图形程序
华北科技学院
汇编语言程序设计
课程设计说明书
学号：201307024208
班级: 网络B132班姓名:白龙
设计题目:绘制三角形图形程序
设计地点:信息楼
设计时间: 2015.12.14至2015.12.25
成绩评定：
1、工作量：A（），B（），C（），D（）,F( )
2、难易度：A（），B（），C（），D（）,F( )
3、答辩情况：
基本操作：A（），B（），C（），D（）,F( )
代码理解：A（），B（），C（），D（）,F( )
4、报告规范度：A（），B（），C（），D（）,F( )
5、学习态度：A（），B（），C（），D（）,F( )
总评成绩:___________________________
指导教师:___________________________
课题组成员及分工（注：多人一组填写本页）
1课程设计的目的及要求
对程序的设计方法和算法技能的基本训练，熟悉并联系在课堂上学到的有关程序设计的基本知识和基本方法。要求自主动手能力的培养，了解并熟悉汇编语言的结构和使用方法，达到能独立阅读、编制和调试一定规模的汇编语言程序的水平
2需求分析
2.1问题陈述
绘制三角形程序是设计一个由坐标确定三角形的程序，输入坐标画出三角形。主要有以下几个模块：
1、主函数
2、画线算法
3、点连接算法
4、顶点输入
5、二进制转换算法
2.2功能需求分析
绘制三角形程序包括以下几个功能：
1、输入直角三角形
2、输入锐角三角形
3、输入钝角三角形
4、输入自定义三角形
3总体设计
3.1功能结构图设计
3.2模块简介
1、主函数模块：欢迎界面及调用功能界面。
2、画直角三角形
3、画锐角三角形
4、画钝角三角形
5、画自定义三角形
6、顶点输入模块（INPUT_T）：输入三角形的三个顶点
7、画线模块（DrawLine）：已知两点将两点连线。
4详细设计
4.1主模块详细设计
欢迎界面及调用功能界面。
4.2 子模块详细设计
主模块及各子模块的详细设计中包括数据存储设计、界面设计、程序流程图
输入顶点坐标INPUTT_T
不合格
不合格
画线算法：
对于直线方程Y=kX+b;
A：0 1：输入线段的两个端点Point1和Point2； 2：将Point1载入桢缓存，绘画第一个起始点； 3：计算常量△x、△y、2△y和2(△y-△x)，并且获得一个决策参数的第一个值：P = 2△y-△x； 4：从n=0开始，在沿线经过每个Xn处，进行下面的检测: 如果Pn<0,下一个点绘制的是(Xn+1,yn)，并且Pn+1=Pn+2△y 如果P0>=0,下一个点绘制的是(Xn+1,Yn+1)，并且Pn+1=Pn+2（△y-△x） 5：重复执行△x-1次步骤4； B，斜率k= 1或斜率k=0时候的算法 对于斜率等于0或者斜率等于1时候，不需要通过算法直接的对于其中单一坐标变量进行处理。 C：斜率k<0的情况算法 将起始点和中止点坐标Point1和Point2交换，可以转化到斜率为0和1之内的算法去实现 5编码和测试 5.1 编码 系统源代码请详见附录2。 关键代码分析 主程序设置显示方式AL=02H,使用640*480图形显示模式，在主界面有1、2、3、4 以及0四个选项。选择1可以输出一个自定义三角形,选择2可以输出一个直角三角形，选择3可以输出一个锐角三角形，选择4可以输出一个钝角三角形,在这调用input函数来画图，画完调用output函数便可输出。选择0选项退出程序。 MAIN: MOV AL,03h ;文本模式 MOV AH,0 INT 10H LEA DX,MEN MOV AH,09H INT 21H LEA DX,MENU MOV AH,09H INT 21H MOV AH,1 INT 21H CMP AL,'1';自定义三角形 JE GOCT CMP AL,'2';直角三角形 JE GORT CMP AL,'3';锐角三角形 JE GOAT CMP AL,'4';钝角三角形 JE GOOT CMP AL,'0';退出 JE QUIT HH JMP MAIN GOCT:CALL CT JMP MAIN GORT:CALL RT JMP MAIN GOAT:CALL AT JMP MAIN GOOT:CALL OT JMP MAIN DrawPoint算法决定点的取舍，并将这些点连成线，得到的三条线首尾相连就构成了三角形 DrawPoint PROC;画点PUSH CX PUSH AX MOV CX,XSTART MOV DX,YSTART MOV AL,1111B MOV AH,0CH INT 10H POP AX POP CX RET DrawPoint ENDP DrawLine PROC;画线 MOV AX,XEND SUB AX,XSTART MOV ADDX,AX MOV AX,YEND SUB AX,YSTART MOV ADDY,AX CMP ADDX,0 JE CHUIZHI;垂直 CMP ADDY,0 JE SHUIPING;水平 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JL CMPXY KQUEDING: CMP ADDX,AX JG LINE1 JMP LINE2 CMPXY: NEG AX;求补 JMP KQUEDING LINE1:;K<1 MOV SI,1 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JG JISUAN MOV SI,-1 NEG ADDY JISUAN: MOV AX,ADDY ADD AX,ADDY MOV ADD2Y,AX MOV AX,ADD2Y SUB AX,ADDX MOV P,AX MOV CX,ADDX LOOPLINE1: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD XSTART,1 CMP P,0 JG YCHANGE MOV AX,ADD2Y ADD P,AX JMP GO YCHANGE: ADD YSTART,SI MOV AX,ADDY SUB AX,ADDX ADD P,AX ADD P,AX GO: LOOP LOOPLINE1 JMP FINISH CHUIZHI: MOV SI,1 MOV CX,ADDY MOV AX,YEND CMP YSTART,AX JG NEGSIY LOOPCHUIZHI: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD YSTART,SI LOOP LOOPCHUIZHI JMP FINISH NEGSIY: MOV SI,-1 NEG CX JMP LOOPCHUIZHI SHUIPING: MOV SI,1 MOV CX,ADDX MOV AX,XEND CMP XSTART,AX JG NEGSIX LOOPSHUIPING: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD XSTART,SI LOOP LOOPSHUIPING JMP FINISH NEGSIX: MOV SI,-1 NEG CX JMP LOOPSHUIPING LINE2:;K>1 MOV SI,1 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JG JISUAN2 MOV SI,-1 NEG ADDY JISUAN2: MOV AX,ADDX MOV BX,ADDX ADD AX,BX MOV ADD2X,AX MOV AX,ADD2X SUB AX,ADDY MOV P,AX MOV CX,ADDY LOOPLINE2: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD YSTART,SI CMP P,0 JG XCHANGE MOV AX,ADD2X ADD P,AX JMP GO2 XCHANGE: ADD XSTART,1 MOV AX,ADDX SUB AX,ADDY ADD P,AX ADD P,AX GO2: LOOP LOOPLINE2 JMP FINISH FINISH: RET DrawLine ENDP 5.2 测试 测试结果及分析，测试过程中遇到的主要问题及采取的解决措施。 欢迎界面： 锐角三角形 钝角三角形 6总结及建议 我这次编程是先搞需求分析，将程序分成几个功能模块，然后将功能一个一个地实现，这是一种比较好也比较快的编程方法，我感受到了分模块编程的的好处。 本程序的核心在于DrawPoint画线算法，有了画线算法后添加以输入输出，用户界面等模块既得到最终的程序。程序多次在图形模式和文本模式下切换，充分考虑到与用户的互动性，界面比较友好，功能简单实用。 程序首先在文本模式下显示欢迎界面，要求用户输入选项。程序可以根据用户选项直接输出直角三角形和锐角三角形及钝角三角形，或者输出用户自定义三顶点的三角形。输出完成后按下任意键返回，显示选项，用户可以继续输出三角形或者按下0退出。 通过这个程序，我更加熟练了利用堆栈处理问题的方法，深入了对计算机图形显示技术的认识，掌握了BIOS调用的方法，对于子程序、顺序结构、循环结构、宏定义等的应用更加融会贯通。通过这次课程设计培养了我设计完成中小型程序的能力，加深了对汇编语言的认识。 一开始的时候自己编出来的程序有很多问题，尤其是在循环程序上，因此查阅了不少资料，也请教了好几个同学帮着修改，调试了好久才能正常运行。由于能力有限，程序还是有不完美的地方。这次的综合实验让我对汇编有了更深刻的认识，对各种指令有了进一步的理解。编程时也要能够坚持，有时候一个功能在很短的时间内就能实现，但有的一天也弄不出来。在编程不顺意的时候，坚持、平常心将让我们的付出得到最好的回报。 汇编语言的课程设计已经结束，这门课程在检验我们学习成绩的同时，也检验了我们的学习效果。我选择的是设计三角形，用到了基本上我所会的全部知识，但是在程序运行的过程中总是出现这样那样的问题，有的是我打程序打错了代码，有的是我理解错了知识点，导致程序错误。但在同学的帮助下，问题都一一的被解决。通过了这次设计，更加深了我对汇编语言的使用技巧，和做事的认真态度。汇编语言作为一种低级语言，编写程序起来本来就很吃力，很少的几种指令和代码。就增大了设计的难度。所以选择正确的设计方法尤为重要。 经过为期二周的汇编语言课程设计，亲身感受体验敲、改写程序代码的乐趣，我对汇编语言有了较为深入的了解，不仅巩固了以前在课本上学到的知识，还学会了很多其他东西。通过这次课程设计，我收获的不仅仅是课程上的知识得到实际应用，还有编程的基本习惯和开发系统时应注意的流程。作为一个程序编程人员，要保持清醒的头脑，以现实为依据，让自己的每一行代码都能实现自己的意义。 7附录 7.1 附录1 用户手册，即使用说明 7.2 附录2 DATAS SEGMENT ;此处输入数据段代码 MEN DB 0DH,0AH,' ************************************* ************' DB 0DH,0AH,' *** Welcom to my program,I am BAILONG:08 ***' DB 0DH,0AH,' ************************************* ************$' MENU DB 0DH,0AH,'Please input number to chose a program:' DB 0DH,0AH,'*****1.Custom Triangle****' DB 0DH,0AH,'*****2.Right Triangle*****' DB 0DH,0AH,'*****3.Acute Triangle*****' DB 0DH,0AH,'*****4.Obtuse Triangle****' DB 0DH,0AH,'*****0.Quit***************' DB 0DH,0AH,'**************************' DB 0DH,0AH,"Your choice: $" X1 DW? Y1 DW? X2 DW? Y2 DW? X3 DW? Y3 DW? XSTART DW? YSTART DW? XEND DW? YEND DW? P DW? ADDX DW? ADDY DW? ADD2X DW? ADD2Y DW? POINT DB 24,?,24 DUP(?) BUFFER DB 6,?,6 DUP(?) ;输入函数暂存buffer MESS1_T DB 0DH,0AH,"Please input the frist point $" MESS2_T DB 0DH,0AH,"Please input the second point $" MESS3_T DB 0DH,0AH,"Please input the third point $ " MESS4_T DB 0DH,0AH,"X:$" MESS5_T DB 0DH,0AH,"Y:$" MESS6_T DB 0DH,0AH,"Input error$";此处输入数据段代码 C10 DW 10 DATAS ENDS STACKS SEGMENT HH MACRO PUSH AX PUSH DX MOV DL,0AH MOV AH,02H INT 21H MOV DL,0DH MOV AH,02H INT 21H POP DX POP AX ENDM VIDEO MACRO PUSH AX MOV AL,12H;640*480 320*200 256 MOV AL,13H MOV AH,0 INT 10H POP AX ENDM;此处输入堆栈段代码 STACKS ENDS CODES SEGMENT ASSUME CS:CODES,DS:DATAS,SS:STACKS START: MOV AX,DATAS MOV DS,AX;此处输入代码段代码 MAIN: MOV AL,03h ;文本模式 MOV AH,0 INT 10H LEA DX,MEN MOV AH,09H INT 21H LEA DX,MENU MOV AH,09H INT 21H MOV AH,1 INT 21H CMP AL,'1';自定义三角形 JE GOCT CMP AL,'2';直角三角形 JE GORT CMP AL,'3';锐角三角形 JE GOAT CMP AL,'4';钝角三角形 JE GOOT CMP AL,'0';退出 JE QUIT HH JMP MAIN GOCT:CALL CT JMP MAIN GORT:CALL RT JMP MAIN GOAT:CALL AT JMP MAIN GOOT:CALL OT JMP MAIN DrawPoint PROC;画点 PUSH CX PUSH AX MOV CX,XSTART MOV DX,YSTART MOV AL,1111B MOV AH,0CH INT 10H POP AX POP CX RET DrawPoint ENDP DrawLine PROC;画线 MOV AX,XEND SUB AX,XSTART MOV ADDX,AX MOV AX,YEND SUB AX,YSTART MOV ADDY,AX CMP ADDX,0 JE CHUIZHI;垂直 CMP ADDY,0 JE SHUIPING;水平 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JL CMPXY KQUEDING: CMP ADDX,AX JG LINE1 JMP LINE2 CMPXY: NEG AX;求补 JMP KQUEDING LINE1:;K<1 MOV SI,1 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JG JISUAN MOV SI,-1 NEG ADDY JISUAN: MOV AX,ADDY ADD AX,ADDY MOV ADD2Y,AX MOV AX,ADD2Y SUB AX,ADDX MOV P,AX MOV CX,ADDX LOOPLINE1: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD XSTART,1 CMP P,0 JG YCHANGE MOV AX,ADD2Y ADD P,AX JMP GO YCHANGE: ADD YSTART,SI MOV AX,ADDY SUB AX,ADDX ADD P,AX ADD P,AX GO: LOOP LOOPLINE1 JMP FINISH CHUIZHI: MOV SI,1 MOV CX,ADDY MOV AX,YEND CMP YSTART,AX JG NEGSIY LOOPCHUIZHI: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD YSTART,SI LOOP LOOPCHUIZHI JMP FINISH NEGSIY: MOV SI,-1 NEG CX JMP LOOPCHUIZHI SHUIPING: MOV SI,1 MOV CX,ADDX MOV AX,XEND CMP XSTART,AX JG NEGSIX LOOPSHUIPING: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD XSTART,SI LOOP LOOPSHUIPING JMP FINISH NEGSIX: MOV SI,-1 NEG CX JMP LOOPSHUIPING LINE2:;K>1 MOV SI,1 MOV AX,ADDY CMP AX,0 JG JISUAN2 MOV SI,-1 NEG ADDY JISUAN2: MOV AX,ADDX MOV BX,ADDX ADD AX,BX MOV ADD2X,AX MOV AX,ADD2X SUB AX,ADDY MOV P,AX MOV CX,ADDY LOOPLINE2: CALL DrawPoint CALL DELAY ADD YSTART,SI CMP P,0 JG XCHANGE MOV AX,ADD2X ADD P,AX JMP GO2 XCHANGE: ADD XSTART,1 MOV AX,ADDX SUB AX,ADDY ADD P,AX ADD P,AX GO2: LOOP LOOPLINE2 JMP FINISH FINISH: RET DrawLine ENDP FUZHI MACRO PX1,PY1,PX2,PY2 MOV AX,PX1 MOV XSTART,AX MOV AX,PY1 MOV YSTART,AX MOV AX,PX2 MOV XEND,AX MOV AX,PY2 MOV YEND,AX ENDM DELAY PROC NEAR ;三角延时PUSH CX MOV CX,00FFH DELAY1_T: PUSH CX MOV CX,00AFH DELAY2_T: LOOP DELAY2_T POP CX LOOP DELAY1_T POP CX RET DELAY ENDP INPUT_T PROC NEAR LEA SI,POINT LEA DX,MESS1_T MOV AH,9 INT 21H LEA DX,MESS4_T MOV AH,9 INT 21H ;显示输入提示信息 xx1: CALL GETCHAR ;调用read输入3位数CMP AX,0 ;验证输入数字在要求的范围内 jl wx1 cmp AX,600 jg wx1 mov [si],AX ;验证通过，输入下一个数jmp yy1 wx1:LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H ;验证失败，显示提示信息并重新输入 jmp xx1 yy1: LEA DX,MESS5_T MOV AH,9 INT 21H CALL GETCHAR cmp AX,0 jl wy1 cmp AX,400 jg wy1 mov [si+2],AX jmp xx2 wy1: LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H jmp yy1 xx2: LEA DX,MESS2_T MOV AH,9 INT 21H LEA DX,MESS4_T MOV AH,9 INT 21H ;显示输入提示信息 CALL GETCHAR cmp AX,0 jl wx2 cmp AX,600 jg wx2 mov [si+4],AX jmp yy2 wx2: LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H jmp xx2 yy2: LEA DX,MESS5_T MOV AH,9 INT 21H CALL GETCHAR cmp AX,0 jl wy2 cmp AX,400 jg wy2 mov [si+6],AX jmp xx3 wy2: LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H jmp yy2 xx3: LEA DX,MESS3_T MOV AH,9 INT 21H LEA DX,MESS4_T MOV AH,9 INT 21H ;显示输入提示信息CALL GETCHAR cmp AX,0 jl wx3 cmp dx,600 jg wx3 mov [si+8],AX jmp yy3 wx3: LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H jmp xx3 yy3: LEA DX,MESS5_T MOV AH,9 INT 21H CALL GETCHAR cmp AX,0 jl wy3 cmp AX,400 jg wy3 mov [si+10],AX ret wy3: LEA DX,MESS6_T MOV AH,9 INT 21H jmp yy3 INPUT_T ENDP ;输入子函数GETCHAR将数字转化为二进制存入AX中 GETCHAR PROC NEAR PUSH CX LEA DX,BUFFER MOV AH,0AH INT 21H MOV AX,0 MOV CL,BUFFER+1 MOV CH,0 LEA BX,BUFFER+2 ONE: MUL C10 MOV DL,[BX] AND DL,0FH ADD AL,DL ADC AH,0 INC BX LOOP ONE POP CX RET GETCHAR ENDP CT PROC;自定义三角形 GOBEGIN: CALL INPUT_T VIDEO lea si,point mov ax,[SI] MOV X1,AX mov ax,[SI+2] MOV Y1,AX mov ax,[SI+4] MOV X2,AX mov ax,[SI+6] MOV Y2,AX mov ax,[SI+8] MOV X3,AX mov ax,[SI+10] MOV Y3,AX MOV AX,X1 CMP AX,X2 JL WAN1 PUSH X1 PUSH X2 POP X1 POP X2 PUSH Y1 PUSH Y2 POP Y1 POP Y2 WAN1: MOV AX,X1 CMP AX,X3 JL WAN2 PUSH X1 PUSH X3 POP X1 POP X3 PUSH Y1 PUSH Y3 POP Y1 POP Y3 WAN2: MOV AX,X2 CMP AX,X3 JL WAN3 PUSH X2 PUSH X3 POP X2 POP X3 PUSH Y2 PUSH Y3 POP Y2 POP Y3 WAN3: CALL SHUCHU RET CT ENDP SHUCHU PROC FUZHI X1,Y1,X2,Y2 CALL DrawLine FUZHI X2,Y2,X3,Y3 CALL DrawLine FUZHI X1,Y1,X3,Y3 CALL DrawLine MOV AH,01H INT 21H RET SHUCHU ENDP RT PROC;直角三角形 VIDEO MOV X1,100 MOV Y1,200 MOV X2,200 MOV Y2,200 MOV X3,200 MOV Y3,100 CALL SHUCHU RET RT ENDP AT PROC;锐角三角形 VIDEO MOV X1,100 MOV Y1,200 MOV X2,150 MOV Y2,100 MOV X3,200 MOV Y3,200 CALL SHUCHU RET AT ENDP OT PROC;钝角三角形 VIDEO MOV X1,100 MOV Y1,200 MOV X2,200 MOV Y2,200 MOV X3,300 MOV Y3,100 CALL SHUCHU RET OT ENDP QUIT: MOV AH,4CH INT 21H CODES ENDS ENDSTART 相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾 经典模型 构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为 （） A. B. C. D. 5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一 象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 构造相似辅助线——A、X字型 6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证： 7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证： 8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。求BN：NQ：QM． 9.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证： （2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）； 绘制三角形的内切圆 一、教学目标 1．掌握直线段的基本绘制方法。 2．掌握圆的绘制方法。 3．掌握对象捕捉的设置。 二、任务分析 每一张机械图样都是由简单的基本图形元素组成的，包括直线、圆、圆弧、矩形等，在AutoCAD 2007中掌握这些基本图形的画法是整个CAD绘图的基础。本任务将通过绘制如图2-1所示的“三角形内切圆”介绍在AutoCAD 2007中直线和圆的绘制方法以及精确捕捉绘图辅助工具的使用。 图2-1 三角形内切圆 三、实践操作 1．选择下拉菜单“文件”｜“新建”命令，新建一个“无样板公制”（acadiso）文件。 2．绘制任意三角形 （1）单击“绘图”工具栏的按钮，启动直线命令绘制第一条直线，命令行的显示操作如下： 命令: _line 指定第一点: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标左 键拾取一点，作为直线的起点指定下一点或[放弃(U)]: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标 左键拾取一点，作为直线的终点指定下一点或[放弃(U)]: // 按下回车键。结束操作，绘制结果如图2-2所示。 图2-2 第一条直线 （2）设置对象捕捉 “对象捕捉”功能是专用于精确捕捉图形对象特征点的工具，具体设置步骤如下： 1）移动鼠标光标到“状态栏”的按钮上，单击鼠标右键，系统弹出如图2-3所示下拉菜单。 图2-3 设置菜单 2）单击“设置”选项，系统会弹出“草图设置”对话框，此时系统在“对象捕捉”状态下。 3）在对话框上分别单击特征点选项前面的小方格，使系统默认的对象特征点“中点”“圆心”“延伸”“最近点”处于未选中状态（方格为是选中状态）。设置结果如图2-4所示。 相似三角形的几种基本图形： （1）称为“平行线型”的相似三角形. （2）其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形. A B C D A B C D E （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形. （4）一线三等角型 1、矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若 AD=10, AB= 8,则EF=______ 2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，连结BE、EF、BF。已知 AE=4，ED=2，AB=3，若△ABE和△EDF相似，则 DF=__________。 3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=3， BC=6，点P在AB上滑动。若△DAP与△PBC相似，且 AP=4.5 ，求PB的长。 4、如图,在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC 方向点C以2cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似？ 5、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定 △AMN是哪一类三角形，并说明理由； （3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值． 如图, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交AC A B F C D E G 相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 C B C B 4.7三角形的内切圆 【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真 正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 【学习过程】 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已 知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比： 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相 切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。 C 三.再攀高峰 探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？ 探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）． 四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ． 65° D ． 70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（ ） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部 D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。 而识别（或构造）A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1．A 字型及变形 △ABC 中 ， AD=2，BD=3，AE=1 （1）如图1，若DE ∥BC ， 求CE 的长 （2）如图2，若∠ADE=∠ACB ， 求CE 的长 2. X 字型及变形 （1）如图1，AB ∥CD ，求证：AO ：DO=BO ：CO （2）如图2，若∠A=∠C ，求证：AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 （1）如右图，在△ABC 中， AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ，当∠ACD =∠B 时，说明△CAD 与△ABC 相似。 说明：由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子三角形” （2）如图， Rt △ABC 中 ，CD ⊥AB, 求证：AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图，若∠ADE=∠B ，∠BAD=∠CAE ，说明△ADE 与△ABC 相似 A D B 练习题 1、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △GED ：S △GBC = ； 2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ； 4、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 5、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 二、选择题 6、如图，在△ABC 中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、AD ·AC=AE ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点， AD BD =CE AE =3， 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9 8、已知，如图， 在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=3，求S △ADE ：S △ABC 的值。 9、如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2 =AD ·BE 。 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E 相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值，而识别（或构造）A字型、X字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1．A字型及变形 △ABC 中， AD=2，BD=3，AE=1 （1）如图1，若DE∥BC ，求CE的长 （2）如图2，若∠ADE=∠ACB ，求CE的长 2. X字型及变形 （1）如图1，AB∥CD，求证：AO：DO=BO：CO （2）如图2，若∠A=∠C ，求证：AO×DO=BO×CO 3. 母子相似型及变形 （1）如图，在△ABC中， AD把△ABC分成两个三角形△BCD和△CAD，当∠ACD=∠B时，说明△CAD与△ABC相似。 B C （2） Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB, 求证：AC 2=AD AB ，CD 2= AD BD, 4. 旋转型 如图，若∠ADE=∠B ，∠BAD=∠CAE ，说明△ADE 与△ABC 相似 练习题 1、如图1,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点G,则BC DE = ;S △GED ：S △GBC = ； 2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ； 4、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 5、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 二、选择题 6、如图，在△ABC 中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、AD ·AC=AE ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点， AD BD =CE AE =3， 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9 A B C D E G 图1 A B D E 图2 A B M 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E C D O A B C D E A 相似三角形的几种基本图形： （1）如图：称为“平行线型”的相似三角形. （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （∠B=∠D ） （双垂直） （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （4）一线三等角型 二、例题分析 1、下列说法不正确的是（ ） A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形； B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形； C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D 、以上有两个说法是正确。 2、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ） A 、∠ACP=∠ B B 、∠APC=∠ACB C 、AC AP AB AC = D 、AB AC BC PC = 4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③ AD AB AE AC =；其中正确的有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 E D C B A B E A C D 1 2 A B C D E B D B E A C D A B D E F A B C P 5、如图AD ⊥AB 于D ，CE ⊥AB 于E 交AB 于F ，则图中相似三角形的对数是 。 ； 6、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= 。 7、如图四，在平行四边形ABCD 中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = ________cm 8、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽Δ EAD. 9、已知，如图，D 为△ABC 内一点，连结ED 、AD ，以BC 为边 在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 10、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 11、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 A B C D E F A B C D 课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似 教学目标： 1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。 教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”； 2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。 教学过程： 一、复习与回顾： 相似三角形的性质和判定定理； 二、引入 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 三、新课讲解： （一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B. （二）、基础巩固 1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论（图1） 2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。（图2） （三）、例题探究： （四）课堂练习： 三、课堂小结： 我们今天这堂课收获了什么呢 （1）学习了A型相似； （2）学会从复杂图形中分解出基本图形。 （3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置： 中考新航线251页 C B C B D C 4.7三角形的内切圆 【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真 正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 【学习过程】 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相 切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。 C 三.再攀高峰 探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？ 探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）． 四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ． 65 ° D ．70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（ ） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部 相似三角形中的基本图形 1．锐角△ABC 中，BC=6，S △ABC =12，两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y(y>0)． （1）△ABC 中BC 边上高AD= ； （2）当x= 时，PQ 恰好落在BC 边上（如图1）； （3）当PQ 在△ABC 外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（注明x 的取值范围），并求出x 为何值时y 最大，最大值是多少？ 变式：现用一块直角三角形的边角料来加工一个正方形,已知两直角边AC=30cm,BC=40cm.甲,乙两种加工方法如图所示,请你通过计算说明哪种加工方法能使加工成的正方形面积更大。 2． 如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设BP= x, △ADQ 的面积为y. (1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少? Q B C P D A A A B B C M M N N P P Q Q D D （图1 ） (图2） E E X 变式1：如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． （１）△ABP 与△DPE 是否相似？请说明理由； （２）设ＡＰ＝x ＤＥ=y ，求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围； （3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P 运动的过程中，△BPE 能否成为等腰三角形？如果能，求出AP 的长，如果不能，请说明理由。 变式2：如图，梯形ABCD 中 AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9， BC=12，AB=10，在线段BC 上任取一P ，作射线PE ⊥PD ，与线段AB 交于点E. （1）试确定CP=5时点E 的位置； （2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式， 并求出自变量x 的取值范围. 变式3：如图，已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P ，满足∠PBC=90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y 轴上是否存在点E ，使得以A 、O 、E 为顶点的三角形与⊿PBC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. A B D P E C B C A D E P A X=4 2 3 6 C B 三角形的内切圆 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学． 教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． 教学重点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学活动设计 （一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？ 画出一个最大的圆？想一想，怎样画? 2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： 例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分 析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比： 名称确定方法图形性质 教师： 学生：_______ 时间:2013年 月 日 时间 相似三角形知识点整理 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 龙文教育个性化辅导授课案 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理） b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。 把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。归纳了以下几个方面的内容，概述如下。 1 圆中基本图形主要有 这个图形中涵盖了： １、垂径定理及其推论； ２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍； ３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系； ４、直径所对的圆周角是直角 这个图形中涵盖了： １、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角， ２、相似关系; ３、割线定理 这个图形中涵盖了： １、弦切角等于所夹弧所对的圆周角， ２、相似关系; ３、切割线定理 这个图形中涵盖了： １、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 这个图形中涵盖了： １、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。 ２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系， ４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系 这个图形中涵盖了： １、同弧所对的圆周角相等， ２、相似关系， ３、相交弦定理 这个图形中涵盖了： １、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径 ２、相似关系，射影定理， ３、直角三角形的外心在斜边的中点 ４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 这个图形中涵盖了： 1、切线长定理 2、连心线垂直平分公共弦 3、圆的对称性 这个图形中涵盖了: 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是 d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．② ()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比 例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为： 1 2 长短＝＝ 全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于 黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例 《三角形的内切圆》教案教学目标一、知识与技能1．使学生了解尺规作三角 形的内切圆的方法；2．理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形的概念；二、过程与方法通过作图操作，让学生经历三角形内切圆的产生过程1．；2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；三、情感态度和价值观；1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心；2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性教学重点；三角形内切圆的概念和画法教学难点；三角形内切圆有关性质的应用教学方法引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，圆规，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 二、新课学习 作圆,使它和已知三角形的各边都相切. 已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆. 作法: 1.作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3.以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆. 三角形与圆的位置关系 这样的圆可以作出几个?为什么? ∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?), . 并且只能作一个,三边都相切的圆可以作出一个ABC∴因此和△． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内心的性质： 1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等; 例1：如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心, 求∠BIC的度数 三、结论总结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ E A D 相似三角形的几种基本图形： （1）如图： 称为“平行线型”的相似三角形. （2）如图：其中∠1=∠2，则△ ADE ∽△ABC 称为“相交线型” 的相似三角形. （∠B=∠D ） （双垂直） （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （4）一线三等角型 相似三角形复习题 1、（1）求能与数2、3、4 成比例的数x.. （2）若4 3=-b b a ，则b a =_________ （3）由32=y x 不能推出的比例是 （ ） （A ）3 2y x = (B )35=+y y x ( C) 31=-y y x (D) )3(3232-≠=++y y x 2、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别 交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ） A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8.5 3、(1)若（2x-3y ）∶(x+y)=1∶2,求x ∶y ； （2）已知三角形三边之比为a ∶b ∶c=2∶3∶4，三角形的周长为18㎝，求各边的长. a b c A B C D E F m n A B C D E A B C B D A B C D D E E （3 ）若 k b c a a c b c b a =+=+=+，求k 的值； 4、已知z y x 732==，求2 22z y x yz xz xy ++++的值。 5、△ABC ∽△DEF ，若△ABC 的边长分别为5cm 、6cm 、7cm ，而4cm 是△DEF 中一边的长度，你能求出△DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由. 解析：因没有说明4cm 的线段是△DEF 的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 6、已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2：3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为4：5，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是多少？ 7、如果整张纸和它的一半相似，那么整张纸的长和宽的比是多少？ 8、边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）36 9、如图, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 （A ）4 对 （B ） 5对 （C ）6对 （D ） 7对 10、已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AB=6，AD=2 11、已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，长. 12、如图△ABC 中∠C=?90,D.,E 分别为求证：DE ⊥AB 。 13、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F 是BC 14、已知：△ABC 中，AB=AC ，∠A=36证：△ABC ∽△BDC . 15、如图，△ABC 中， AB=AC=5，BC=6 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学． 教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． 教学重点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学活动设计 （一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画? 2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： 例 1作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比： 名称确定方法图形性质 （1）OA=OB=OC； 外心（三角形三角形三边相似三角形基本模型及证明
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