2015届高考数学 江苏专用 【解析几何中的瓶颈题】

第2讲解析几何中的“瓶颈题”

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,主要分六块:三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题,若能够拿下应用问题和解析几何题,就攻下全部中低档题目,便锁定了128分,应该认为这已打了一个大胜仗,基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是:直线与方程,圆的方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质及其内在的联系和综合.解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.

分类解密——专题突破

求曲线方程中的“瓶颈题”

例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.

(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.

练习1 (2014·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线

C 1:

||x

a+

||y

b=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为42,曲线C

1

上的点到原点O的最短

距离为22

3.以曲线C

1

与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C

2

.

(1) 求椭圆C

2

的标准方程.

(2) 设AB是过椭圆C

2

中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O

不重合).

①若MO=2OA,当点A在椭圆C

2

上运动时,求点M的轨迹方程;

②若M是l与椭圆C

2

的交点,求△AMB的面积的最小值.

练习2 设双曲线C

1

的渐近线方程为y=±3x,焦点在x轴上且实轴长为

1.若曲线C

2

上的点到双曲线C

1

的两个焦点的距离之和等于22,并且曲线

C

3

:x2=2py(p>0,且是常数)的焦点F在曲线C

2

上.

(1) 求满足条件的曲线C

2

和曲线C

3

的方程;

(2) 过点F的直线l交曲线C

3

于点A,B(A在y轴左侧),若AF

u u u r

=

1

3

FB

u u u r

,求直线l的倾斜角.

圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”

例1 如图,在直角坐标系xOy中,点P

1

1,

2

??

?

??到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为

5

4.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1) 求p,t的值;

(2) 求△ABP面积的最大值.

(例1)

练习(2014·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F

1

,F

2

,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭

圆C上一点,直线PF

1

交椭圆C于另一点Q.

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) 若点P 的坐标为(0,b),求过P,Q,F 2三点的圆的方程;

(3) 若1F P u u u r =λ1QF u u u r ,且λ∈1,22??????

,求OP u u u r ·OQ u u u r 的最大值.

圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”

例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(2,0),B(-2,0),

直线PA 与PB 的斜率之积为-1

2.

(1) 求动点P 的轨迹E 的方程;

(2) 过点F(1,0)的直线l 交曲线E 于M,N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q(M,Q 不重合),求证:直线MQ 过定点.

练习 (2014·江西卷)如图,已知双曲线C:22

x a -y 2=1(a>0)的右焦点F,点

A,B 分别在C 的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点).

(1) 求双曲线C 的方程;

(2) 过C 上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l:02

x x a -y 0y=1与直线AF 相交于点M,与直线

x=3

2相交于点N,证明:点P 在C 上移动时,MF NF 恒为定值,并求此定值.

(练习)

探究性问题中“瓶颈题”

例1 已知椭圆C:2

2x a +2

2

y b =1(a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴

的端点是B 1,B 2,且MB 1⊥MB 2.

(1) 求椭圆C 的方程.

(2) 设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A,B 两点,试问:x 轴上是否存在定点P,使PM 平分∠APB? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

练习 (2014·山东卷)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上异

于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有FA=FD.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.

(1) 求抛物线C 的方程.

(2) 若直线l 1∥l,且l 1和C 有且只有一个公共点E. ①证明:直线AE 过定点,并求出定点坐标.

②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

解析几何中的证明问题

例1 (南方凤凰台百校大联考)如图,已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭

圆C'过点M(2,1),离心率为3

2.抛物线C 的顶点在原点且过点M.

(1) 当直线l 0经过椭圆C'的左焦点且平行于OM 时,求直线l 0的方程;

(2) 斜率为-1

4的直线l 不过点M,与抛物线C 交于A,B 两个不同的点,求证:直线

MA,MB 与x 轴总围成等腰三角形.

(例1)

【评价反馈】

1. (2013·湖北卷)如图,已知椭圆C

1与C

2

的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,

短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C

1,C

2

的四个交点按纵坐

标从大到小依次为A,B,C,D.记λ

=

m n,△

BDM和△ABN的面积分别为S

1

和S

2

.

(1) 当直线l与y轴重合时,若S

1

=λS

2

,求λ的值.

(2) 当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S

1

=λS

2

?并说明理由.

(第1题)

2. (2014·泰州期末)已知椭圆C:

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F

1

(-1,0),F

2

(1,0)

分别是椭圆的左、右焦点,过点F

1

且倾斜角为α

π

0,

2

α∈

??

??

??

??

??的动直线l交椭圆C于A,B 两点,交圆O于P,Q两点(如图所示,点A在x轴上方).当α=

π

4时,弦PQ的长为14.

(1) 求圆O与椭圆C的方程;

(2) 若点M是椭圆C上一点,求当AF

2

,BF

2

,AB成等差数列时,△MPQ面积的最大值.

(第2题)

3. (2014·珠海期末)已知椭圆C:

2 2 x a

+

2

2

y

b=1(a>b>0)的离心率为e=

3

2,直线y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上异于顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP的延长线于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证:2m-k为定值.

(第3题)

4. 已知圆C

1

:x2+y2-x-a=0与圆C

2

:x2+y2-2x-2=0交于P,Q两点,M(2,t)是直线PQ上的一个动点.

(1) 求圆C

1

的标准方程.

(2) 求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆C

3

的方程.

(3) 过圆C

2

的圆心作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,请判断线段ON的长是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是,请说明理由.

5. 已知椭圆C

1

:

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)的离心率为e=

3

3,直线l:y=x+2与以原点为圆心、

以椭圆C

1

的短半轴长为半径的圆O相切.

(1) 求椭圆C

1

的方程;

(2) 已知抛物线C

2

:y2=2px(p>0)与椭圆C

1

有公共焦点,设C

2

与x轴交于点Q,在C

2

上有不同的两点R,S(R,S与点Q不重合),满足QR

u u u r

·RS

uu u r

=0,求|QS

u u u r

|的取值范围.

6. 如图,椭圆C:

2

2

x

a+y2=1(a>1)的右焦点为F(c,0)(c>1),点P在圆O:x2+y2=1上任意一

点(点P在第一象限内),过点P作圆O的切线交椭圆C于Q,R两点.

(1) 求证:PQ+FQ=a;

(2) 若椭圆的离心率为

3

2,求线段QR长度的最大值.

(第6题)

第2讲 解析几何中的“瓶颈题”

分类解密——专题突破

考点1 求曲线方程中的“瓶颈题”

【例1】 【分析】(1) (条件)L 上的点到两个已知圆的圆心距相等?(目标)圆C 的圆心轨迹L 的方程?(方法)根据平面几何知识作出推断,L 为两圆圆心的垂直平分线;

(2) (条件)点M 的轨迹满足的几何条件?(目标)点M 的轨迹Q 的方程?(方法)归结为圆锥曲线定义,确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程

.

【解答】(1) 两圆半径都为1,两圆心分别为C 1(0,-4),C 2(0,2),由题意得CC 1=CC 2,可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线,C 1C 2的中点为(0,-1),直线C 1C 2的垂直平分线的斜率等于零,故线段C 1C 2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y=-1.

(2) 因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M 的轨迹Q 是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,所以轨迹Q 的方程是x 2=4y.

【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程,考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用,其特点是解轨迹方程不以计算为主,而以推理为主.

【练习1】 【解答】(1) 由题意得22

242,

22

.3

ab ab a b ?=?

?=?+? 又a>b>0,解得a 2=8,b 2=1.

因此椭圆的标准方程为2

8x +y 2=1.

(2) ①设点M(x,y),A(m,n),则由题设知|OM u u u u r |=2|OA uu u r |,OA uu u r ·OM u u u u r

=0,

即22224(),

0,x y m n mx ny ?+=+?

+=?解得22221,4

1.4m y n x ?=????=??

因为点A(m,n)在椭圆C 2上,所以2

8m +n 2=1,

即2

28y ??

???

+2

2x ?? ???=1,即24x +232y =1.

所以点M 的轨迹方程为24x +2

32y =1.

②方法一:设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R ,λ≠0).

因为点A 在椭圆C 2上,所以λ2(y 2+8x 2)=8,即y 2+8x 2=2

8

λ.(ⅰ) 又x 2+8y 2=8.(ⅱ)

(ⅰ)+(ⅱ),得x 2+y 2=

28119λ??+ ???. 所以S △AMB

=OM ·OA=|λ|(x 2+y 2)=

81||9||λλ??+ ???≥16

9, 当且仅当λ=±1,即k AB =±1时,(S △AMB )min =16

9.

方法二:假设AB 所在的直线斜率存在且不为零,设AB 所在直线的方程为y=kx(k ≠0).

解方程组22

1,8,x y y kx ?+=???=?得2A x =28

18k +,2A y =22818k k +,

所以OA 2=2A x +2A y =28

18k ++22818k k +=228(1)18k k ++,AB 2=4OA 2=2232(1)18k k ++.

又由2

21,81-,x y y x k ?+=???

?=??解得2M x =2288k k +,2M y =288k +,所以OM 2=228(1)8k k ++.

由于2AMB S V =14AB 2·OM 2=14·2232(1)18k k ++·228(1)

8k k ++=222264(1)(18)(8)k k k +++≥

22

2

22

64(1)1882k k k +??+++ ???=22

2264(1)81(1)4k k ++=25681,

当且仅当1+8k 2=k 2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB 面积的最小值

是S △AMB =169.

当k=0时,S △AMB =1

2×42×1=22>169; 当k 不存在时,S △AMB =1

2×22×2=22>169. 综上所述,△AMB 面积的最小值为16

9.

方法三:因为21OA +21OM =2218(1)18k k +++221

8(1)8k k ++=

22

21888(1)k k k ++++=9

8,又21OA +21

OM ≥2·OA OM ,

于是OA ·OM ≥16

9,当且仅当1+8k 2=k 2

+8时等号成立,即k=±1时等号成立.(后同方

法一)

【练习2】 【解答】(1) 设双曲线C 1的方程为22

1x a -2

21y b =1,则有

1

1

1

3,21,b a a ?=???=? 解得

111

,23,2a b ?

=????=??

则c 1=22

11a b +=1,于是双曲线C 1的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),曲线C 2是以F 1,F 2

为焦点的椭圆,设其方程为22

2x a +2

22y b =1(a 2>b 2>0),联立方程组222

22222,-1,a a b ?=??=??解得222,1,a b ?=??

=??所以曲线C 2的方程是22x +y 2=1.

依题意,曲线C 3:x 2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),

于是2p

=1,所以p=2,所以曲线C 3的方程是x 2=4y.

(2) 由条件可设直线l 的方程为y=kx+1,

由24,1,x y y kx ?=?

=+?得x 2-4kx-4=0,Δ=16(k 2+1)>0.

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.

由AF u u u r =13FB u u u

r ,得-3x 1=x 2,代入x 1+x 2=4k,得x 1=-2k,x 2=6k,代入x 1x 2=-4,得k 2=13,由

于点A 在y 轴左侧,所以x 1=-2k<0,即k>0,所以k=33,故直线l 的倾斜角为π6.

考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”

【例1】 【分析】(1) (条件)点M 在抛物线上、点P 到抛物线准线的距离?(目标)求p,t ?(方法)根据已知列方程组,解方程组即得;

(2) (条件)直线OM 的方程、点P 坐标、抛物线方程?(目标)△ABP 面积的最大值?(方法)利用AB 的中点的坐标为参数建立△ABP 面积的函数关系式,通过函数的最值求解.

【解答】(1) 由题意知21,

51

,24pt p =???+=??得1,21.p t ?= =?

(例1)

(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段AB 的中点为Q(m,m), 由题意知,设直线AB 的斜率为k(k ≠0).

由2112

22,

,y x y x ?=?=?得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2.

故k ·2m=1.

所以直线AB 的方程为y-m=1

2m (x-m),

即x-2my+2m 2-m=0.

由22

-22-0,,x my m m y x ?+=?=?

消去x,整理得y 2-2my+2m 2-m=0,

所以Δ=4m-4m 2>0, y 1+y 2=2m,y 1·y 2=2m 2-m.

从而AB=

21

1k +

·|y 1-y 2|

=214m +·2

4-4m m .

设点P 到直线AB 的距离为d,

则d=

22|1-22|

14m m m ++.

设△ABP 的面积为S,则S=1

2AB ·d=|1-2(m-m 2)|·2-m m .

由Δ=4m-4m 2>0,得0

令u=2-m m ,0

2,则S=u(1-2u 2). 设S(u)=u(1-2u 2),0

2,则S'(u)=1-6u 2.

由S'(u)=0,得u=66∈10,2?? ?

??,所以S(u)max =S 66??

? ??

?=69.故△ABP 面积的最大值为6

9.

【点评】解析几何中最值问题的基本思路是建立求解目标关于某个变量的函数,通过求解函数最值解决问题.求解参数范围的思路与此类似,即建立求解目标关于某个变量的函数,通过函数值域求解其范围.

【练习】 【解答】(1) 由题意得222,

2,

c a

c =???=??解得c=1,a 2=2,所以b 2=a 2-c 2=1. 所以椭圆的方程为2

2x +y 2=1.

(2) 因为P(0,1),F 1(-1,0),所以PF 1的方程为x-y+1=0.由22

-10,1,

2x y x y +=???+=??解得0,1x y =??=?或4-,31-,3x y ?

=????=??

所以点Q 的坐标为41-,-33?? ???. 方法一:因为

1

PF k ·

2

PF k =-1,所以△PQF 2为直角三角形.因为QF 2的中点为

11-,-66?? ?

??,QF 2=523,

所以过点P,Q,F 2的圆的方程为2

16x ??+ ??

?+2

16y ??+ ???=2518. 方法二:设过P,Q,F 2三点的圆的方程为x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0,则10,10,1741

--0,

933E F D F D E F ?

?++=?

++=???+=?

解得1,31,

34-.3D E F ?

=??

?

=??

?=??

所以圆的方程为x 2+y 2+13x+13y-4

3=0.

(3) 方法一:设P(x 1

,y 1

),Q(x 2

,y 2

),则1F P u u u r =(x 1

+1,y 1

),1QF u u u r =(-1-x 2

,-y 2

).

因为1F P u u u r =λ1QF u u u r ,所以12121(-1-),

-,x x y y λλ+=??

=?即

1212-1--,

-,x x y y λλλ=??

=?

所以222

222

222

(-1--)1,2

1,

2x y x y λλλ?+=????+=?? 解得x 2=1-32λλ.

所以OP u u u r

·OQ u u u r =x 1x 2+y 1y 2

=x 2

(-1-λ-λx 2

)-λ22y

=-

2

2

2

x

λ

-(1+λ)x

2

-λ

=-

2

1-3

22

λλ

λ

??

?

??-(1+λ)·

1-3

2

λ

λ-λ

=7

4-

51

8

λ

λ

??

+

?

??.

因为λ∈

1

,2

2

??

??

??,所以λ+

1

λ≥2

1

·

λ

λ=2,当且仅当λ=

1

λ,即λ=1时取等号.

所以OP

u u u r

·OQ

u u u r

≤

1

2,即OP

u u u r

·OQ

u u u r

的最大值为

1

2.

方法二:当PQ的斜率不存在时,在

2

2

x

+y2=1中,令x=-1得,y=±

2

2.

所以OP

u u u r

·OQ

u u u r

=(-1)×(-1)+

2

2×

2

-

2

??

?

?

??=

1

2,此时λ=1∈

1

,2

2

??

??

??.

当PQ的斜率存在时,设为k,则PQ的方程是y=k(x+1).

由

2

2

(1),

1,

2

y k x

x

y

=+

?

?

?

+=

??

得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

由韦达定理得x

1

+x

2

=

2

2

-4

12

k

k

+,x

1

x

2

=

2

2

2-2

12

k

k

+.

设P(x

1

,y

1

),Q(x

2

,y

2

).

则OP

uuu r

·OQ

u u u r

=x

1

x

2

+y

1

y

2

=x

1x

2

+k2(x

1

+1)(x

2

+1)

=(k2+1)x

1x

2

+k2(x

1

+x

2

)+k2

=(k2+1)·

2

2

2-2

12

k

k

++k2·

2

2

-4

12

k

k

++k2

=

2

2

-2 12 k

k +

=12-2

52(12)k +<12.

故OP uuu r ·OQ u u u r 的最大值为12,此时λ=1∈1,22?????

?.

考点3 圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”

【例1】 【分析】(1) (条件)PA 与PB 的斜率之积为-1

2?(目标)求点P 的轨迹方

程?(方法)直接设点代入;

(2) (条件)椭圆方程、直线系过点(1,0)等?(目标)直线MQ 恒过定点?(方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程,设出M,N 的坐标,得出点Q 坐标,设出直线系MQ 的方程,证明直线过定点.

【解答】(1) 由题意知2y x +·-2y x =-12, 化简得2

2x +y 2

=1(y ≠0),即为双曲线C 的方程.

(2) 方法一:设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x 2,-y 2),l:x=my+1,代入2

2x +y 2=1(y ≠0),整理得(m 2+2)y 2+2my-1=0,

所以y 1+y 2=2-22m m +,y 1y 2=2

-12m +,

MQ 的方程为y-y 1=

1212

-y y x x +(x-x 1),

令y=0,得x=x 1+

12112

(-)y x x y y +=my 1+1+12112(-)my y y y y +=12

122my y y y ++1=2,

所以直线MQ 过定点(2,0).

方法二:设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x 2,-y 2),l:y=k(x-1),

代入2

2x +y 2=1(y ≠0),整理得

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x

1+x

2

=

2

2

4

12

k

k

+,x

1

x

2

=

2

2

2-2

12

k

k

+,

MQ的方程为y-y

1=

12

12

-

y y

x x

+

(x-x

1

),

令y=0,得x=x

1+

121

12

(-)

y x x

y y

+=x

1

+

121

12

(-1)(-)

(-2)

k x x x

k x x

+=

1212

12

2-()

-2

x x x x

x x

+

+=2.

所以直线MQ过定点(2,0).

【点评】解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程,然后再根据直线系方程过定点时,方程的成立与参数没有关系,得到一个关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同.

【练习】【解答】(1) 设F(c,0),因为b=1,所以c=21

a+.

直线OB的方程为y=-1

a x,直线BF的方程为y=

1

a(x-c),解得B

,-

22

c c

a

??

?

??.

又直线OA的方程为y=1

a x,则A

,

c

c

a

??

?

??,k

AB

=

3

a.

又因为AB⊥OB,所以3

a·

1

-

a

??

?

??=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为

2

3

x

-y2=1.

(2) 由(1)知a=3,则直线l的方程为

3

x x

-y

y=1(y

≠0),即y=

-3

3

x x

y.

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点M

2-3 2,

3

x

y

?? ???,

直线l与直线x=3

2的交点为N

3

-3

32

,

23

x

y

??

?

?

?

??,

则

2

2

MF

NF=

2

22

00

4(2-3)

9[(-2)]

x

y x

+.

因为点P 是C 上一点,则20

3x -20y =1,代入上式得

22MF NF =2022

004(2-3)9[(-2)]x y x +=2022004(2-3)9-1(-2)3x x x ??+????=43,所以定值为MF NF =233.

考点4 探究性问题中“瓶颈题”

【例4】 【分析】(1) (条件)椭圆离心率、MB 1⊥MB 2?(目标)得出椭圆方程?(方法)列方程求解椭圆方程需要的a,b;

(2) (条件)椭圆方程?(目标)直线与椭圆交于两点A,B,判断x 轴上是否存在定点P,使PM 平分∠APB ?(方法)判断点P 是否存在,先假设其存在,把几何条件转化为代数条件后得关于点P 坐标的方程,这个方程对任意变动的直线恒成立时,若点P 的坐标有解则存在,否则不存在.

【解答】(1) 由题意得222-a b a =1-22b a =2

53??

? ???

,即b a =2

3.

依题意,得△MB 1B 2是等腰直角三角形, 从而b=2,故a=3.

所以椭圆C 的方程是29x +2

4y =1.

(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=my+2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,

消去x,得(4m 2+9)y 2+16my-20=0.

所以y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2

-2049m +.

若PM 平分∠APB,则直线PA,PB 的倾斜角互补,

所以k PA +k PB =0.设P(n,0),则有11-y x n +2

2-y x n =0. 将x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式,

整理得

1212122(2-)()

(2-)(2-)my y n y y my n my n ++++=0,

所以2my 1y 2+(2-n)(y 1+y 2)=0.

将y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2

-2049m +代入上式,

整理得(-2n+9)·m=0.

由于上式对任意实数m 都成立,所以n=9

2. 综上,存在定点P 9,02?? ?

??,使PM 平分∠APB.

【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制,解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件,充分体现了等价转化思想的应用.

【练习】 【解答】(1) 由题意知F ,02p ?? ?

??,

设D(t,0)(t>0),则FD 的中点为2,04p t +??

???, 因为FA=FD,由抛物线的定义知3+2p =-2p

t ,

解得t=3+p 或t=-3(舍去).

由3322p ??+ ???=6p ,解得p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2) ①由(1)知F(1,0),

设A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D(x D ,0)(x D >0), 因为FA=FD,则|x D -1|=x 0+1, 由x D >0,得x D =x 0+2,所以D(x 0+2,0),

故直线AB 的斜率为k AB =-0

2y ,

因为直线l 1和直线AB 平行,

设直线l 1的方程为y=-0

2y x+b,

代入抛物线方程得y 2+08y y-08b

y =0, 由题意知Δ=2064y +032b y =0,得b=-02y . 设E(x E ,y E ),则y E =-04y ,x E =2

04

y .

当20y ≠4时,k AE =00--E E y y x x =-00

2

204

4-4y y y y +=0204-4y y ,

可得直线AE 的方程为y-y 0=0

204-4

y y (x-x 0),

由20y =4x 0,整理可得y=0

204-4y y (x-1),

直线AE 恒过点F(1,0). 当

20

y =4时,直线AE 的方程为x=1,过点F(1,0),

所以直线AE 过定点F(1,0). ②由①知,直线AE 过焦点F(1,0),

所以AE=AF+FE=(x 0+1)+011x

??+ ???=x 0+01

x +2,

设直线AE 的方程为x=my+1,

因为点A(x 0,y 0)在直线AE 上,故m=00

-1x y .