分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结
（一） 用裂项法求
1
(1)
n n +型分数求和 分析：因为
11
1n n -
+＝11(1)(1)(1)
n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：
111
(1)1
n n n n =-++
【例1】 求111
(101111125960)
+++
???的和。
111111()()......()101111125960111060112
=-+-++-=-= （二） 用裂项法求
1
()
n n k +型分数求和 分析：
1
()
n n k +型。（n,k 均为自然数）
因为
11111()[]()()()
n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111
()
()n n k k n n k =-++
【例2】 计算11111577991111131315++++
?????
111111*********()()()()()25727929112111321315=
-+-+-+-+- 11111111111
[()()()()()]2577991111131315
=-+-+-+-+-
111[]2515
115
=-=
（三） 用裂项法求
()
k
n n k +型分数求和 分析：()
k
n n k +型（n,k 均为自然数）
11
n n k
-
+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以
()k n n k +＝11n n k
-+
【例3】 求
2222
(1335579799)
++++
????的和
1111111(1)()()......()
3355797991
1999899
=-+-+-++-=-=
（四） 用裂项法求
2()(2)
k
n n k n k ++型分数求和
分析：2()(2)
k
n n k n k ++（n,k 均为自然数）
211
()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-
+++++
【例4】 计算：
4444
(135357939597959799)
++++
???????? 11111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603
=-+-++-+-????????=-??=
（五） 用裂项法求
1
()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
1
()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
1111
()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例5】 计算：111
......1234234517181920+++
?????????
1111111
[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920
113920520
=-+-++-????????????=--????=
（六） 用裂项法求
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例6】 计算：
333
(1234234517181920)
+++
?????????
111111
()()......()12323423434517181918192011
12318192011396840
=-+-++-????????????=--????=
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