圆锥曲线——椭圆、双曲线、抛物线基本知识(教师版)
圆锥曲线—椭圆、双曲线、抛物线基本知识
一、椭圆
1.已知椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦
点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ．
1
2
2.如图，,,A B C 是椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过
椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC =2AC ． （1）求椭圆的离心率；
（2）若y 轴被ABC ?的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程． 解：（1）因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==．
又AC BC ⊥，2BC AC =，所以OAC ?是以角C 为直角的等腰直角三角形，
则(,0)A a ，(,)22a a C -，(,22a a B -，AB a =，所以22
22
()()221a a a b
-+=，则223a b =，所以222c b =，e =
（2）ABC ?的外接圆圆心为AB 中点(,)44
a a
P ， 则ABC ?的外接圆为2
2
2
5()()4
4
8
a
a x y a -+-=
． 令0x =，y a =或2a y =-，所以(92a
a --=，得6a =，所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，
上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．
解：（1）直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ∴右焦点F 到直线l 的距离为
=
，1a c ∴-=．又椭圆C 右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =， 将此代入上式解得2a =，1c =，2
3b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143
x y +=； （2）方法一：由（1
）知B ，(1,0)F ，∴直线BF
的方程为1)y x =-，
联立方程组221),1,43y x x y ?=-??+=??
解得8,55x y ?
=????=-??
或0,x y =???=?
?
，即8(,5P ， ∴直线l
的斜率0(5825
k --
=
=-． 方法二：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组
22(2),1,4
3y k x x y =-???+
=??得()2222
431616120k x k x k +-+-=，2
2
1643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++，2
1243
P k
y k -=+．当B ，F ，P 三点共线时，有BP BF k k =，
即222
124386143
k
k k k -+=-+
，解得k =
或k =
．又由题意知0y =<，得0k >
或
k <
2
k =
．
4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>
2
，且过点，
过椭圆的左顶点A作直线l x
⊥轴，点M为直线l上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C 于P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：AP OM
⊥；
（3）试问OP OM
?是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）∵椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>
，∴22
2
a c
=，则22
2
a b
=，又椭圆C
过点
，∴
22
13
1
2
a b
+=．∴24
a=，22
b=，则椭圆C的方程
22
1
42
x y
+=．
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为(2)
y k x
=-，设
11
(,)
P x y，
将(2)
y k x
=-代入椭圆C的方程
22
1
42
x y
+=中并化简得：2222
(21)4840
k x k x k
+-+-=，
解之得
2
12
42
21
k
x
k
-
=
+
，
2
2
x=，∴
112
4
(2)
21
k
y k x
k
-
=-=
+
，从而
2
22
424
(,)
2121
k k
P
k k
--
++
．
令2
x=-，得4
y k
=-，∴(2,4)
M k
--，(2,4)
OM k
=--．
又
2
22
424
(2,)
2121
k k
AP
k k
--
=+
++
＝
2
22
84
(,)
2121
k k
k k
-
++
，∴
22
22
1616
2121
k k
AP OM
k k
-
?=+=
++
，∴AP OM
⊥．（3）
2
22
424
(,)(2,4)
2121
k k
OP OM k
k k
--
?=?--
++
=
222
22
841684
4
2121
k k k
k k
-+++
==
++
．∴OP OM
?为定值4．5.已知椭圆
22
:1
42
x y
C+=的上顶点为A，直线:l y kx m
=+交椭圆于P，Q两点，设直线AP，
AQ的斜率分别为
1
k，
2
k.
（1）若0
m=时，求
12
k k?的值；
（2）若
12
1
k k?=-，证明直线:l y kx m
=+过定点.
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为 (0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.
（1）若3a =，b =0x 的值；
（2）若00x =，求椭圆的离心率；
（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2
a x c
=相切.
解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，
0000132
y y
x x ?=-+-，即2
20
06y x x =--+, 又2200195
x y +=，所以2
04990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． （2）当00x =时,220y b =，由PA PF ⊥得，
00
1y y a c
?=--，即2b ac =，故22a c ac -=， 所以210
e e +-=，解得e =
． （3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b
+=，① 由PA PF ⊥得，
00001y y x a x c
?=-+-,即22
00()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ??
-??++=????
，解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =
-(舍去). 所以
PF
=
0c a x a =-()222
a a ac c c a a c --=+?2
a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2
a x c
=相切.
二、双曲线
1. 8； 2．2
； 3. 5
3；
； 6.
2
； 7. 22
13x y -=；
8.
221412
x y -=； 9. 22
14y x -=； 10.2； 11.； 12. 2231x y -=；
13. 3y x =±； 14.
y =；
三、抛物线
1.22
14y x -=； 2. 22
13y x -=； 3. 13
；； 5.1； 6. x y 42-=.
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距 离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n 【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB 高中数学循环记忆学案 基本题目过关； 22 12 211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点 的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２ ２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿ ３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ （－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ ｘｙ ６，若方程＋＝１，表示焦点在 ｙ轴上的椭圆，则ｍ的 ｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ ⊥12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且， 11122 121222213,F A B P PF FA PO//AB e=( ) 11 A B C.D 232 AB F BAF =90x y a b ⊥∠o 如图已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上一点，当，时， 14,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，过F 的弦与构成等 腰直角三角形，若角，则e=_________ F C B C BF C D BF FD u u u r u u u r 15,已知是椭圆的一个焦点，是椭圆短轴的一个端点，线段 的延长线交于点，且=2,则e=______ 22 122212P x y a b F PF ∠o 16,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，为椭圆上一点， =90,离心率的最小值为__________ 22 12221217,P =x y x a b F F PF ∠o 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F ，作轴的垂线交椭圆于， 为右焦点，若60，则e=______ 22 12122212P PF 1 2 x y PF a b ∠u u u r u u u u r 18，为F F 为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点，若=0 tan PF F =,则e=______ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 5 5 13 双曲线及抛物线（作业） 例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2 b 2 = 12x 的焦点 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 【思路分析】 B ． 4 C.3 D ．5 先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】 ∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ， ∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b 2 ∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ， ∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 5 x ，即 5x ± 2 y = 0 ， 2 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d = | 3? 3 5 | = ．故选 A ． x 2 y 2 例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、 右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B ． 【思路分析】 C ．2 D ． 利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系． 设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形； 5 2 15 3 2 2 13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得 5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90? ， ∴| F 1F 2 | = = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c = ．故选 A ． a 例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为 ． 【思路分析】 利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示： ∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ， ∴点 A 到准线 x = - p 的距离d = 4 ， 2 ∵点 A 到准线 x = - p 的距离为 p ， 2 ∴ p = 4 ． | BF |2 + | BF |2 1 2 智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆 评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>． 2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的 轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。 双曲线的标准公式为:X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴 所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针(a为双曲线渐进线的倾斜角则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4 ysin(π/4^2 -(xsin(π/4 - ycos(π/4^2 = (√2/2 x √2/2 y^2 -(√2/2 x - √2/2 y^2 = 4 (√2/2 x (√2/2 y = 2xy. 而xy=c 所以X^2/(2c - Y^2/(2c = 1 (c>0 Y^2/(-2c - X^2/(-2c = 1 (c<0 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长. 或S=π(圆周率×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长. 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1- (e*cost^2dt≈2π√((a^2 b^2/2 [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL 椭圆的准线方程x=±a^2/C 椭圆的离心率公式e=c/a(e<1,因为2a>2c 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0与准线x= a^2/C的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a ex 椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0,y0 椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2 y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2 y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系y=kx m ①x^2/a^2 y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2 (kx m^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1 B(x2,y2 |AB|=d = √(1 k^2|x1-x2| = √(1 k^2(x1-x2^2 = √(1 1/k^2|y1-y2| = √(1 1/k^2(y1-y2^2 椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外中,过焦点并垂直于轴的弦公式:2b^2/a 椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2 y^2/b^2上一点(x,y的切线斜率为b^2*X/a^2y 抛物线圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论
高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)
椭圆双曲线抛物线公式性质表
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
双曲线及抛物线(作业及答案)
智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)
高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
高中数学双曲线及抛物线
圆锥曲线经典结论总结(教师版)
解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)
圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)
最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)
圆锥曲线(椭圆_双曲线_抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆双曲线抛物线公式(精)