魔术师的地毯

魔术师的地毯

一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？

过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗

你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法

是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自

己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？

数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法—数学计算，即通过精细

的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处． 现在我们先来分析第一个魔术。

比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为I '，I I '，I II '，V I '（图1.7）．现在的问题是，

图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的I '为直角三角形

EDB

，如果5=DE 时，点E 是否恰好落在矩形ABCO 的对角线OB 上？同样，

如果5=FG 时，点G 是否恰好落在OB 上？让我们通过计算来回答这个问题．

如图1.8建立直角坐标系，以OC 所在直线为x

轴，OA 所在

直线为y 轴，单位长度表示0.1米，于是有O （0，0），A （0，21），B （8，21），C （8，0），F （0，13），G （5，13），E （3，8），D （8，8）．如何判断E 和G 是否恰好落在直线OB 上呢？一种办法是E ，G 的坐标代入直线OB 的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算OE ，OB ，OG 的斜率，

比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．

设线段OE 的斜率为OE k ，则有

3

8=

OE k ，

8

21=

OB k ，

5

13=

OG k ．比较之，由

8

2138>5

13>

得OG OB OE k k k >>，即OE 的斜角大于OB 的斜角，OB 的斜角又大于

OG

的斜角，可见E 和G 都不在对角线OB 上，它们分别落在OB 的两侧（图1.8）：

又由5

133

8821=--=

EB k ，3

85

81321=--=

GB k

得OG EB k k =，OE GB k k =，即OG EB //，OE GB //．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形OGBE （图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的

OGBE

的

面积．记E （3，8）到对角线OB

（x

y 821=

）的距离为d ，

()()

505

1.08218

.083.0212

2

=

-+?-+?=d 米，

()()05

.51.28

.02

2=+=

OB 米，

2

01.02

122米

=???

==?d OB S EOB ．

把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为05.5米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．

如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即

5，8，13，21，

这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2

＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．

这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积．通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形．不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）．这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在．

我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积．这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）．面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？

我们把斐波那契数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

记为 1F ，2F ，3F ，4F ，5F ，…

这里11=F ，12=F ，23

=F ，34=F ，55=F ，…，且具有递推关系

() ，，，32121==+++n F F F n n n

考察以

n F 为边长的正方形面积与以1-n F 及1+n F 为两边长的矩形面积之间的关系．

随着n 从小到大依次取

2，3，4，5，…，我们得到

当2=n 时有12112

-?=，即1312

2-?=F F F ；

当3=n 时有13122+?=，即1422

3

+?=F F F ；

当4=n 时有15232

-?=，即1532

4-?=F F F ；

当5=n 时有18352

+?=，即1642

5+?=F F F ；

从中我们发现，随着n 的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现．对于数列的第n 项n F ，当n 是大于1的奇数时有1112

+?=+-n n n F F F ，此时正方形的面积比矩形小1．写成统一的表示式就是

()

() ，，，43211

112

=-+?=++-n F F F n n n n ．

将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列

11，21，32，53，85，138，2113

，…

该数列的极限

618033.02

15lim

1

=-=

+∞

→n n n F F

是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”．

相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400～前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项．”欧几里得把它收入《几何原本》之中，并称它分线段为中外比．据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达·芬奇取的，从此就广为留传，直至今日．

对于长度为a 的线段AB ，使AM

MB AB

AM

=

的分点M 称为“黄金分割点”（图1.12）．设

x AM =，则

a

a x 618.02

15≈-=

．

618

.02

15≈-即黄金分割比．从古希腊起直到今天，人们

都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值．在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最

优美的．难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的．甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比．据说“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准．芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长8～10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受．

黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义．工厂里广泛使用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”．

在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替．n 越大，比值

1+n n

F F 越近似黄金分割比．

我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术，其秘密在哪里呢？补洞用的那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无洞正方形的各个尺寸（图1.14）是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正方形的各个尺寸（图1.15）是否全都准确无误码？在图1.15中分割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀

疑．值得怀疑的是中间的那条分割线UVW ，它的尺寸可靠吗？其中3=VW 是正确的，“7=UV ”及“10=UW ”对吗？

而它们正是新拼正方形两边上线段AB 及CD 的尺寸．如图1.15所示，分别以直线OR 和OP 为x 轴和y 轴建立坐标系，于是有Q （0，7），S （12，12），W （7，0），V （7，3），要得到UV 及UW 的长度，只须求出点U 的坐标即可．U 是直线QS 与直线VW 的交点．直线QS 的方程是

7127

12

--=

y x ，即084125=+-y x ；直线VW 的方程是

7=x ．两方程联立解得交点U 的坐标为（7，1211

9

）．于是得到

12119

=UW ，因而

12116

=UV ．这

就是说，在新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段AB 的长不是7而是1211

6

，右边上的线段CD 的长

不是10而是1211

9

．这样，新拼图形的左边EB 长为1211

11

512

11

6

=+，右边CF 长为121111

212

11

9

=+，

上下两边12==BF EC ，因此新拼图形不是边长为12的正方形，而是一个

1211

11

12?的长方形，比

原来的有洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的121

）．两者的面积相差

1

12

112=?

（单位面积），

而这正好等于那个洞的面积．这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了．

我们也可以用平面几何方法算出图1.15中的线段UV 实际长多少．过U 作PS 的平行线交SR 于M （图

1.15），则PQS Rt ?～MSU Rt ?，于是有MS MU

PQ

PS

=

，即MS 55

12

=

，得

1212

=MS ，于是

12116

12

12

9=-=-==SM ST MT UV ．