Forme normale formelle d'une perturbation `a s'eparatrices fix'ees d'un champ hamiltonien q

a r X i v :m a t h /0303216v 1 [m a t h .C A ] 18 M a r 2003Forme normale formelle d’une perturbation `a s′e paratrices ?x′e es d’un champ hamiltonien quasi-homog`e ne E.Paul 1f′e vrier 2008R′e sum′e .On classi?e `a changement de variable formel pr`e s les champs de vecteurs –ainsi que les feuilletages qu’ils d′e ?nissent–qui sont des perturbations d’un champ hamiltonien quasi-homog`e ne X 0par des termes de degr′e de quasi-homog′e n′e it′e sup′e rieur.Le degr′e δ0du champ X 0est quelconque,mais on demande que le champ perturb′e laisse encore invariant les s′e paratrices de X 0.Les formes normales pr′e sent′e es ici g′e n′e ralisent celles obtenues lorsque X 0poss`e de une partie lin′e aire semi-simple ou nilpotente.Nous les interpr′e tons g′e om′e triquement en terme de cohomologie relative au champ initial.Introduction On s’int′e resse `a la classi?cation formelle de germes de champs de vecteurs analytiques `a l’origine de C n qui sont des perturbations d’un champ de vecteurs quasi-homog`e ne X =X 0+···,les termes perturbateurs ayant des degr′e s de quasi-homog′e n′e it′e sup′e rieur `a la partie initiale X 0.Deux relations d’′e quivalences nous int′e ressent ici :i)Classi?cation des champs :deux champs X et Y sont formellement (resp.

analytiquement)conjugu′e s (X ～Y )s’il existe une transformation formelle (resp.analytique)Φtelle que Y =Φ?X.

ii)Classi?cation des feuilletages :deux champs X et Y sont formellement (resp.analytiquement)orbitalement ′e quivalents (X ≈Y )s’il existe une transformation formelle (resp.analytique)Φet une unit′e formelle (resp.analytique)u telles que

Y =u Φ?X.Dans ce cas,la conjugaison Φenvoie les orbites du premier champ sur celles du second,sans n′e cessairement conjuguer leurs ?ots.

Le probl`e me des formes normales,c’est-`a -dire de la d′e termination d’un repr′e -sentant privil′e gi′e dans les classes d’′e quivalences modulo ～ou ≈,est motiv′e d’une

part par la n′e cessit′e de classi?er ces champs ou feuilletages,d’autre part par l’ob-tention de mod`e les sur lequel on pourra r′e pondre`a des probl`e mes”d’int′e grabilit′e”: existences de solutions ou int′e grales premi`e res dans une classe de transcendance donn′e e.Pour cette seconde motivation,l’obtention d’un repr′e sentant unique dans uns classe d’′e quivalence donn′e e n’est pas toujours n′e https://www.360docs.net/doc/c048979.html, d′e termination explicite de formes normales a′e t′e tr`e s′e tudi′e e lorsque le premier jet du champ est non nul,ce que nous ne supposerons plus ici.

Sur C2muni de la forme volume standard,`a tout champ X on peut associer la1-forme dualeωX=i X dx∧dy.Les relations～et≈se d′e?nissent de mani`e re analogue pour les1-formes holomorphes.D’apr`e s la formuleΦ?ωX=Jac(Φ)ωΦ?X, on a

ωX≈ωY?X≈Y

ce qui nous permet de travailler indi?′e remment avec les champs ou les formes pour cette relation.Il n’en est pas de m?e me pour la relation de conjugaison～:les

champs?

?x sont conjugu′e s d’apr`e s le th′e or`e me de redressement des

champs r′e guliers,mais leurs formes duales ne le sont pas puisque dy est ferm′e e alors que(1+x)dy ne l’est pas.

Nous nous int′e ressons ici essentiellement`a la classi?cation locale des feuil-letages en dimension deux,mais obtiendrons au passage un r′e sultat partiel de classi?cation des champs de vecteurs lorsque le degr′e de quasi-homog′e n′e it′eδ0du champ initial est nul:ceci concerne en particulier les champs de type”Poincar′e-Dulac”:X=1

appartenant`a W,un di?′e omorphisme formelΦet une unit′e formelle u tels que

Φ?X=u(X0+Y).

Ces suppl′e mentaires′e tant?x′e s,il n’y a pas unicit′e de ces formes normales formelles dans V ou W,d’o`u l’appellation”pr′e normalisation”.Ceci n′e cessitera une r′e duction suppl′e mentaire que nous ferons dans une seconde′e tape.N′e anmoins, cette′e tape de pr′e normalisation doit?e tre consid′e r′e e comme l’′e tape essentielle du processus de normalisation et non comme une simple op′e ration pr′e liminaire.C’est en particulier elle qui est susceptible de cr′e er de la divergence dans les conjuguantes et dans les formes normales elle-m?e mes.

Ces lemmes ram`e nent donc l’′e tape de pr′e normalisation des champs(resp.des feuilletages)`a un choix pertinent pour ce suppl′e mentaire V(resp.W),c’est-`a-dire`a un choix d’′e l′e ments du module M dont la classe engendre le quotient H1K=M/B1K, (resp.G1K=M/A1K).On peut remarquer que ces quotients sont des modules sur l’anneau I des int′e grales premi`e res du champ initial X0.Il est donc naturel d’imposer lors du choix de V ou W de pr′e server cette structure.L’isomorphisme que nous construirons entre V et H1K(ou entre W et G1K)sera un isomorphisme de I-modules.Le r′e sultat pr′e sent′e ici se limite au cadre suivant: 1-Nous nous pla?c ons en dimension2.Le champ quasi-homog`e ne initial X0est alors tangent`a une hypersurface S(s′e paratrice)d’′e quation r′e duite h0=0.Nous supposons que le champ perturb′e X=X0+···reste tangent`a cette hypersurface S.En d’autres termes,nous consid′e rons une perturbation de X0`a s′e paratrice?x′e e. Dans certains cas,(par exemple h0=xy,h0=y2?x3),cette hypoth`e se n’en est pas v′e ritablement une:la s′e paratrice persiste et,′e tant rigide,on la redresse sur la s′e paratrice initiale par un changement analytique de coordonn′e es.

Fixer les s′e paratrices nous conduit`a travailler dans le module M= χ(log S)des champs formels logarithmiques pour cette hypersurface S,c’est-`a-dire des champs X tels que X(h0)appartient`a l’id′e al(h0).En dimension2,ce module est toujours un module libre de rang2.Soit R le champ p-radial(pond′e r′e par les poids p i de quasi-homog′e n′e it′e)pour lequel X0est quasi-homog`e ne.Supposons que les champs X0et R forment une base de χ(log S).(Ce sera par exemple le cas sous l’hypoth`e se (2-)ci-dessous).Tout champ logarithmique se d′e compose alors en une composante ”int′e grable”(en X0)et une composante”dissipative”(en R):la premi`e re garde h comme int′e grale premi`e re,alors que la forme logarithmique duale de la seconde n’est jamais ferm′e e.En particulier,en comparant les deux lemmes de pr′e nor-malisation ci-dessus,on constate imm′e diatement que si V est un espace de formes pr′e normales pour un champ X,sa composante dissipative W est un espace de formes pr′e normales pour le feuilletage d′e?ni par X.L’utilisation de cette base nous permet de d′e montrer facilement(voir′e nonc′e3.8)le

Th′e or`e me1.Soit X0un champ quasi-homog`e ne de degr′eδ0par rapport`a un

champ quasi-radial R,laissant invariant une courbe S.On suppose que les champs X0et R forment une base des champs logarithmiques pour S.Soit X=X0+···

une perturbation de X0laissant?xe S.

1.Le module des formes pr′e normales de feuilletages d′e?nis par X est

G1K=Coker(X0)·R.

2.Si le degr′e de quasi-homog′e n′e it′eδ0du champ initial est nul,le module des

formes pr′e normales du champ X est

H1K=Coker(X0)·X0+Coker(X0)·R.

Le probl`e me de la d′e termination d’un espace de formes pr′e normales est donc maintenant ramen′e`a la d′e termination du conoyau de X0.

2-Nous supposons de plus que le champ initial X0est hamiltonien,dual pour la forme dx∧dy d’une formeδ?1dh,o`u l’int′e grale premi`e re h est quasi-homog`e ne

de degr′eδ.On peut alors v′e ri?er que les champs X0et R forment une base de

χ(log S).Supposons de plus que h soit`a singularit′e isol′e e.On d′e signe par J0l’id′e al des composantes de X0dans la base usuelle(qui est aussi l’id′e al jacobien de h),

et par a1=1,···aμ,une base de mon?o mes engendrant l’espace vectoriel O2/J0. Nous d′e montrons(th′e or`e me4.1)que le conoyau de la d′e rivation hamiltonienne X0 est un C[[h]]-module libre de rangμengendr′e par les champs a i R.Ce fait r′e sulte essentiellement de l’existence d’une connexion singuli`e re sur cet espace de type Gauss-Manin,et d’un th′e or`e me d’indice de B.Malgrange.De ces deux r′e sultats nous d′e duisons le

Th′e or`e me2.Soit X=X0+···une perturbation`a s′e paratrices?x′e es du

champ hamiltonien X0.Il existe un′e l′e ment(d1,···dμ)de C[[h]]μ,une conjugaison

formelleΦconjuguant orbitalement X au champ formel

X0+

μ

i=1d i(h)a i R.

De plus,on peut imposer`a cette conjugaison d’?e tre?br′e e pour le champ R,c’est-`a-dire d’?e tre l’exponentielle d’un champ colin′e aire`a R.

Nous prouvons de plus que les coe?cients formels d i(h)des formes pr′e normales du th′e or`e me2peuvent s’exprimer par des formules int′e grales.Pour cela,nous consid′e rons le point de vue dual concernant ces formes normales formelles en les transf′e rant par une”forme volume logarithmique”sur le module des formes loga-rithmiques.Il apparait alors que le module des formes pr′e normales de feuilletages

est isomorphe au module de cohomologie relative formelle`a la forme initiale ferm′e e ω0(proposition5.1).Ceci nous permet,en utilisant une base de formes horizon-tales de ce module,d’′e crire les coe?cients multivalu′e s apparaissant dans cette base comme des int′e grales de la partie dissipative de la forme normale formelle sur les cycles′e vanescents de sa partie hamiltonienne.

La non unicit′e des formes pr′e normales de feuilletages obtenues au th′e or`e me2 provient d’une ambiguit′e dans le choix de la conjuguante?br′e e.En e?et,on peut faire op′e rer sur l’ensemble des formes pr′e normales d’un feuilletage le groupe des conjuguantes de la formeΦ=exp b(h)R o`u b est une s′e rie formelle d’une https://www.360docs.net/doc/c048979.html, deuxi`e me′e tape(r′e duction?nale)consiste donc`a choisir un repr′e sentant dans chaque orbite de cette action sur l’espace des formes pr′e normales de X.Il apparait que,apr`e s division par une puissance fractionnaire convenable de h,les coe?cients d i(h)se comportent sous cette action comme des champs de vecteurs sur un rev?e tement?ni du disque′e point′e image de h.Ceci permet de normaliser un des coe?cients d i(h)choisi arbitrairement sous forme

h m

Remerciements`a Frank Loray–son article[5]a′e t′e la principale source d’in-spiration de ce travail–,et Reinhart Schaefke,pour les discussions que nous avons eu sur ce sujet.

Table des mati`e res

1Fonctions et champs quasi-homog`e nes8

2Perturbation`a s′e paratrices?x′e es:champs et formes logarithmiques9 3Pr′e normalisation des champs et feuilletages12

4Conoyau d’une d′e rivation hamiltonienne X018

5Formes pr′e normales et cohomologie relative`a la forme initiale duale22 6R′e duction?nale.24

Notations

On d′e signe par O n l’anneau des germes de fonctions holomorphes`a l’origine de C n et par O n son compl′e t′e formel.On notera?x la d′e rivation??x. Dans tout le texte nous noterons:

–d0:le degr′e de quasi-homog′e n′e it′e de l’′e quation r′e duite h0de S;

–δ0:le degr′e de quasi-homog′e n′e it′e du champ initial X0;

–δ:le degr′e de quasi-homog′e n′e it′e de son int′e grale premi`e re h.

1Fonctions et champs quasi-homog`e nes Soit p=(p1,···p n)une collection d’entiers positifs tel que les p i soient premiers entre eux.On consid`e re le champ p-radial

R p=

n

i=1p i x i?

?x i

est quasi-

homog`e ne de poids p et de degr′eδsi

[R p,X]=δX.

Remarquons qu’avec cette convention,les champs lin′e aires X sont quasi-ho-mog`e nes de degr′e0et les champs constants?

iii)Soit X k un champ quasi-homog`e ne de degr′e k,X l un champ quasi-homo-g`e ne de degr′e l.Le champ[X k,X l],s’il est non nul,est quasi-homog`e ne de degr′e k+l.

iv)Soit h une fonction de deux variables quasi-homog`e ne de degr′eδ.Le champ hamiltonien X h=h y?x?h x?y est quasi-homog`e ne de degr′eδ?p1?p2.

En particulier,tout champ monomial x m?

Proposition2.2Le O n-module?1(log S)est libre si et seulement si

∧n i=1?1(log S)=?n(log S)

c’est-`a-dire si et seulement si il existe n1-formes logaritmiquesω1,···ωn et une unit′e u de O n telles que

ω1∧···∧ωn=u

dz1∧···∧dz n

h0

.

Elle induit un isomorphisme?entreχ(log S)et?1(log S)d′e?ni par X?=i X?o`u i X d′e signe le produit int′e rieur par X.L’isomorphisme inverse est not′e?.

Soit h1···h p une d′e composition de h0en′e l′e ments irr′e ductibles et h une fonc-tion quasi-homog`e ne de degr′eδ,telle que h=0soit encore une′e quation de S:

h=h n11···h n p https://www.360docs.net/doc/c048979.html, forme

ω0=1 h

appartient`a?1(log S).En e?et,

h0ω0=h1···h p 1

h i

est holomorphe,et h0dω0est trivialement holomorphe puisqueω0est ferm′e e.On s’int′e resse au champ logarithmique X0dual deω0.

Proposition2.4Soit X0=ω?0,et X h=h y?x?h x?y le champ hamiltonien dual de dh pour la forme volume dx∧dy.On a

i-)X0=h0

δh X h,·)=

dh

δh

X h.

ii-)se d′e duit de dx∧dy(X0,·)=h0ω0qui est une forme`a singularit′e isol′e e. On calcule le degr′e de quasi-homog′e n′e it′e de X0en utilisant la proposition(1.3).

iii-)Le crit`e re(2.1)est v′e ri?′e d’apr`e s:

?(X0,R)=dx∧dy

δh

X h,R)=

dh

δh

=1.

Les autres a?rmations se d′e duisent de cette m?e me′e galit′e.2

D′e?nition2.5Dans la d′e composition unique de tout champ logarithmique en aX0+bR,nous d′e signerons la premi`e re composante par”composante int′e grable”(elle admet h comme int′e grale premi`e re),et la seconde par”composante dissipa-tive”(la forme duale bωR n’est jamais ferm′e e).Nous dirons de plus que la com-posante int′e grable est”hamiltonienne”lorsqu’elle est duale d’une forme logarith-mique de type dg/g(c’est par exemple le cas lorsque a=a(h)).

Exemple1.(Poincar′e-Dulac):

On prend:h0=xy,et h=x p y q o`u p et q sont des entiers strictement positifs premiers entre eux.Les fonctions h0et h sont′e videmment homog`e nes mais aussi quasi-homog`e nes pour le champ(q,p)-radial R=qx?x+py?y.Pour ce champ,on a d0=deg h0=p+q,δdeg h=2pq,etδ0=deg X0=0.Le champ hamiltonien X h n’est pas`a singularit′e isol′e e d`e s que p ou q est strictement sup′e rieur`a1.On

a ici:

ω0=1

x

+q

dy

2pq

(qx?x?py?y).

La base duale de X0et R est form′e e de

?ωR=p dx

y

et deω0.

Exemple2.(Les singularit′e s de type noeud-col):On pose ici X0=y?y.Le champ X0est quasi-homog`e ne pour le champ(1,0)-radial R=x?x de degr′eδ0=0: [x?x,y?y]=0.Deux choix sont ici possible pour la s′e paratrice S:x=0ou xy=0. Dans le premier cas,les champs X0et R ne forment pas une base deχ(log S).Le contexte o`u nous nous sommes plac′e s ici impose donc de ne consid′e rer que les singularit′e s de type noeud-col qui conservent les deux axes comme s′e paratrices.

Lorsque l’int′e grale premi`e re h est elle-m?e me`a singularit′e isol′e e,on a h0=h, et X0=δ?1X h.En particulier:

Exemple3.(Le cusp;voir[5]et[17]):

On a ici:h0=h=y p?x q o`u p et q sont des entiers strictement positifs.Dans ce cas,on a vu que h est quasi-homog`e ne pour le champ radial R=p1x?x+q1y?y, (p=dp1,q=dq1,p1premier avec q1),avec d0=δ=p∨q=dp1q1etδ0= dp1q1?p1?https://www.360docs.net/doc/c048979.html, base duale de X0et R est form′e e de?ωR etω0avec

ωR=1

δ

dh

Lemme3.1(pr′e normalisation des champs de vecteurs)On se donne un sup-pl′e mentaire V de B1K dans M.Il existe un champ Y appartenant`a V et un di?′e o-morphisme formelΦtel que

Φ?X=X0+Y.

Preuve.Le probl`e me′e tant formel,on cherche une conjugaisonΦsous forme exp Z o`u Z est un champ de vecteurs formel.On a

(exp Z)?X= k≥0ad(k)Z

Consid′e rons maintenant la relation d’′e quivalence formelle classi?ant les champs `a unit′e pr`e s:

X≈X′??Φ∈ Di?(C2,0),?u∈ O2,u(0)=0,Φ?X=uX′.

Lemme3.3(pr′e normalisation des feuilletages)On se donne un suppl′e men-taire W de A1K=B1K+ O n X0dans M.Il existe un champ Y appartenant`a W, un di?′e omorphisme formelΦet une unit′e formelle u tels que

Φ?X=u(X0+Y).

Preuve.On reprend le raisonnement par r′e currence de(3.1)avec l’hypoth`e se suivante:on suppose qu’il existe un champ Y k appartenant`a W≤k,un champ Z k?δ

dans M≤k?δ

0et un polyn?o me u k?δ

=1+···de degr′e inf′e rieur ou′e gal`a k?δ0

tels que

(exp Z k?δ

0)?X=u k?δ

(X0+Y k)+ Y k+1+···

o`u Y k+1appartient`a M k+1.On d′e compose ce premier terme du reste en

Y k+1=d0(Z k+1?δ0)+a k+1?δ0X0+Y k+1

o`u le champ Y k+1appartient`a W k+1et a k+1?δ

est quasi-homog`e ne de degr′e

k+1?δhttps://www.360docs.net/doc/c048979.html, conjugaison de X par exp(Z k+1?δ

0)?exp(Z k?δ

)donne,modulo

des termes d’ordre sup′e rieur ou′e gal`a k+2:

exp(Z k+1?δ

0)?exp(Z k?δ

)?X≡u k?δ

(X0+Y k)+d0(Z k+1?δ

)+Y k+1+a k+1?δ

X0+

+[Z k+1?δ

,(1+···)X0]

≡u k?δ

(X0+Y k)+Y k+1+a k+1?δ

X0

≡(u k?δ

+a k+1?δ

)(X0+

u k?δ

u k?δ

+a k+1?δ

Y k+1)

≡(u k?δ

+a k+1?δ

)(X0+Y k+Y k+1)

la derni`e re′e galit′e provenant de

u k?δ

u k?δ

0+a k+1?δ

Y k+1=(1+···)Y k+1≡Y k+1.2

Remarque3.4L`a encore,il n’y a pas unicit′e de la conjuguante et de la forme normale formelle du feuilletage ainsi obtenues.Nous avons m?e me plus de libert′e dans ces choix que dans la situation pr′e c′e dente puisque,`a chaque′e tape,on peut

un champ qui ne commute avec la partie initiale X0 rajouter au champ Z k+1?δ

que modulo un champ multiple de X0.

Nous nous pla?c ons maintenant en dimension2,et consid′e rons une perturbation X du champ quasi-homog`e ne X0de degr′eδ0pr′e servant un ensemble analytique invariant S.Le champ X appartient donc au module M= χ(log S)des champs logarithmiques pour S.Nous supposons que les champs X0et R forment une base de χ(log S):c’est par exemple le cas lorsque le champ logarithmique X0est dual d’une1-forme dh/h,d’apr`e s la proposition(2.4).Le champ X s’′e crit

X=aX0+bR,

avec a(0)=1etν(bR)=ν(b)+0>δ0o`uνd′e signe l’ordre de quasi-homog′e n′e it′e relatif`a R.Dans ce contexte,les lemmes de pr′e normalisation(3.1)et(3.3)peuvent ?e tre pr′e cis′e s de la mani`e re suivante.Remarquons d’abord que,puisque W est un suppl′e mentaire d’un espace contenant O2·X0,W n’a pas de composante int′e grable, et est donc inclus dans O2·R:la composante dissipative(en R)d’un espace de formes pr′e normales du champ X est une espace de formes pr′e normales du feuilletage d′e?ni par X.

Nous pouvons de plus nous limiter`a ne consid′e rer que des conjugaisons du type suivant:

D′e?nition3.5Nous dirons qu’un di?′e omorphisme formel est?br′e par rapport au champ R s’il est l’exponentielle d’un champ multiple de R.

Un tel di?′e omorphisme pr′e serve donc le feuilletage d′e?ni par le champ R, feuilletage qui est transverse au feuilletage initial d′e?ni par le champ X0en dehors de S.

Lemme3.6(pr′e normalisation`a s′e paratrices?x′e es)On se donne un sup-pl′e mentaire V de B1K dans M= χ(log S).Soit W? O2R la composante dissipative de V,suppl′e mentaire de A1K=B1K+ O2X0dans M.

1-Il existe un champ Y appartenant`a V,un di?′e omorphisme formelΦ,tels queΦ?X=X0+Y.

2-Il existe un champ Y appartenant`a W,un di?′e omorphisme formelΦ?br′e par rapport`a R et une unit′e formelle u tels queΦ?X=u(X0+Y).

Preuve.Le module M= χ(log S)′e tant stable par crochet de Lie,cet′e nonc′e est un corollaire des deux lemmes pr′e c′e dents3.1et3.3,sous r′e serve de v′e ri?er de plus que la conjugaison des feuilletages peut?e tre choisie de mani`e re?br′e e.On

est?br′e e,de modi?e l’argument de r′e currence de3.3en supposant que exp Z k?δ

la forme exp b k?δ

0R,o`u b k?δ

est un polyn?o me de degr′e au plus k?δ0.Dans la

d′e composition du premier terme du reste

Y k+1=d0(Z k+1?δ0)+a k+1?δ0X0+Y k+1

l’′e criture de la somme des deux premiers termes n’est pas unique.On peut ajouter`a Z k+1?δ

une composante int′e grable quasi-homog`e ne de degr′e k+1?δ0arbitraire: cela n’a?ectera que la valeur du coe?cient a k+1?δ

.Nous utilisons cette libert′e pour annuler la composante int′e grable de Z k+1?δ

et choisir ce champ sous la forme b k+1?δ

R.2

Remarque3.7Deux champs?br′e s par rapport`a R ont m?e me image par d0si et seulement si ils di?`e rent d’un champ?br′e cR tel que[X0,cR]=0,c’est-`a-dire d’un champ?br′e cR v′e ri?ant X0(c)=0.On peut donc faire op′e rer sur l’ensemble des formes pr′e normales d’un feuilletage donn′e le groupe des conjugaisons?br′e es de la forme exp cR o`u c est une int′e grale premi`e re de la partie initiale X0.

D’apr`e s le lemme de pr′e normalisation3.6,les quotients qui nous int′e ressent sont maintenant

H1K= χ(log S)/B1K

pour la classi?cation des champs`a s′e paratrices?x′e es,et

G1K= χ(log S)/A1K avec A1K= O2·X0+B1K

pour la classi?cation de feuilletages`a s′e paratrices?x′e es.Remarquons que ce sont des modules sur l’anneau I des int′e grales premi`e res de X0.On d′e signe par Ker(X0)et Coker(X0)= O2/Im(X0)les noyau et conoyau du champ X0vu comme d′e rivation agissant sur O2.Ce sont aussi des I-modules.

Th′e or`e me3.8Soit X0un champ quasi-homog`e ne de degr′eδ0par rapport`a un champ quasi-radial R,laissant invariant une courbe S.On suppose que les champs X0et R forment une base des champs logarithmiques pour S.

1.G1K=Coker(X0)·R.

2.Si le degr′eδ0du champ initial est nul(exemples1et2),

H1K=Coker(X0)·X0+Coker(X0)·R.

Preuve.De la relation de quasi-homog′e n′e it′e[R,X0]=δ0X0,on d′e duit

[X0,aX0+bR]=(X0(a)?δ0b)X0+X0(b)R.

Un champ X=αX0+βR appartient donc`a B1K si et seulement si il existe deux coe?cients a et b solutions du syst`e me

X0(a)?δ0b=α

X0(b)=β

En particulier,un champ X=αX0+βR appartient`a A1K= O2·X0+B1K si et seulement si il existe un coe?cient b solution de

X0(b)=β.

L’application

χ(log S)→ O2/Im(X0)·R

X=αX0+βR→[β]·R

a pour noyau A1K et d′e?nit donc un isomorphisme entre G1K et Coker(X0)·R.

Si le degr′eδ0est nul,le syst`e me pr′e c′e dent est diagonal,et on constate imm′e-diatement que X=αX0+βR appartient`a B1K si et seulement si il existe deux coe?cients a et b solutions de X0(a)=αet de X0(b)=β.On identi?e donc comme ci-dessus H1K et Coker(X0)·X0+Coker(X0)·R.2

Remarquons que d`e s que le degr′eδ0du champ initial est strictement positif,le probl`e me de la d′e termination des formes pr′e normales de champs devient plus di?-cile:il ne se d′e compose plus en somme directe des deux probl`e mes”d′e termination d’une classe de feuilletages”puis”classi?cation des champs au sein de cette classe”.

Le th′e or`e me3.8ram`e ne donc la d′e termination des espaces de formes pr′e-normales formelles de feuilletages(et de champs lorsqueδ0=0)au calcul de Coker(X0).Sur les exemples”classiques”,le conoyau de X0se calcule ais′e ment. Reprenons les exemples du paragraphe2:

Exemple1.(Poincar′e-Dulac):

Soit X0=1

Soit X0=1

Im(X0)et F=

O2

1R.Schaefke a communiqu′e`a l’auteur une autre preuve de ce r′e sultat,reposant n′e anmoins sur un lemme analogue au lemme de division4.2.

Le quotient F/E est un espace vectoriel de dimension?nieμ.Ces modules sont munis d’une E-F connexion?:E→F(au sens d′e?ni dans[6])que l’on construit

`a l’aide d’un lemme de division:

Lemme4.2(lemme de division)Pour tout′e l′e ment f de J0,il existe a et b

dans O2tels que

f=ah+X0(b).

De plus,dans cette′e criture,le coe?cient a repr′e sente un unique′e l′e ment de F.

Preuve du lemme de division.On remarque d’abord que pour toute constante

c non enti`e re n′e gative,les op′e rateurs R+c sont bijectifs.En e?et,en utilisant les d′e compositions en composantes quasi-homog`e nesα= αi,β= βi,l’′e galit′e (R+c)(α)=β′e quivaut`a(i+c)αi=βi pour tout i,syst`e me que l’on r′e soud

formellement ou analytiquement sans autre obstruction que celle annonc′e e.De plus,pour toute constante c on a la relation de commutation

(R+c)X0=[R,X0]+X0R+cX0=δ0X0+X0R+cX0=X0(R+c+δ0).(1) ou encore,lorsque R+c est inversible,

(R+c)?1X0=X0(R+c+δ0)?1.(2) Pour tout′e l′e ment f de J0,il existe un champ X tel que f=X(h).Choisissons un coe?cientαde sorte que le champ X?αR soit de divergence nulle.Ceci est possible car,si p d′e signe la somme des poids de R,

div(X?αR)=0?div(X)?R(α)?αdiv(R)=0

?(R+p)(α)=div(X).

et on utilise la surjectivit′e de l’op′e rateur R+p.Pour tout f de J0on a

f=X(h)=αR(h)+(X?αR)(h)=ah+Y(h).

Le champ Y′e tant de divergence nulle,il existe une fonction?b telle que

Y=?b y?x??b x?y.

On a donc Y(h)=?b y h x??b x h y=X h(?b)=X0(b),pour b=δ?b,d’o`u l’existence de la d′e composition annonc′e e.Pour′e tablir son unicit′e,il nous faut d′e montrer que si ah=?X0(b),alors a est dans l’image de X0.L’′e galit′e pr′e c′e dente s’′e crit encore

R

(a

+Y=cX0.

δ

Puisque X0et Y sont de divergence nulle,on obtient en appliquant l’op′e rateur de divergence,

R+p

Im(X0)?→

O2

δh .En e?et,pour tout′e l′e ment de la source repr′e sent′e par

f=ah,

?(f)=R

δh

(ah)=

R+δ

Im(X0).Cet op′e rateur C-lin′e aire est une

connexion de C{h}-modules:

?(l(h)f)=l′(h)R

δh

(f)=l′(h)f+l(h)?(f).

De plus,l’op′e rateur?est un isomorphisme:ceci r′e sulte de la bijectivit′e de l’op′e rateur R+δet de l’unicit′e du coe?cient a obtenu au lemme de division. L’indiceχ(?,O2)de cet op′e rateur est donc nul.Un th′e or`e me d’indice analytique pour les E-F-connexions(voir[6],th′e or`e me(3.2)page408)nous assure alors que le rang r du module E est donn′e par

r=χ(?,O2)+dim C F/E=μ.

Pour trouver un syst`e me g′e n′e rateur du module F,il su?t de remarquer que le module E est isomorphe`a M·F o`u M d′e signe l’id′e al maximal de C{h}.En e?et,le lemme de division nous permet de d′e?nir une application injective

E?→M·F

f→ah.

La surjectivit′e de cette application provient de la quasi-homog′e n′e it′e de h.L’espace vectoriel F/M·F est donc isomorphe`a F/E=O2/J0et on obtient un syst`e me g′e n′e rateur de F`a partir de repr′e sentants d’une base de cet espace vectoriel par le lemme de Nakayama.