3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角
§3.2.3立体几何中的向量方法
——利用空间向量求空间角教学目标
1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面
角的向量方法;
2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;
3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解二面角的向量方法
教学难点
二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系
教学过程
一、复习引入
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)
2、向量的有关知识: (1)两向量数量积的定义:
(2)两向量夹角公式:
(3)平面的法向量:与平面垂直的向量
二、知识讲解与典例分析
知识点1、异面直线所成的角(范围:
)
(1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与
b′,那么直线a′与b′ 所成的不大于90°的角
,叫做异面直线a 与b 所成的角。
(2)用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a 、b 的方向向量分别为m
和 , 问题1 当
m 与n 的夹角不大于90°
时,异面直线a 、b 所成的角 与
m
??=
,cos ??? ??∈2,0πθθ
θb a ??=?a ′
b
′ ?
o
θ
和
的夹角的关系? 相等
问题 2 当m 与的夹角大于90°时,异面直线a 、b 所成的角
与
m 和 的夹角的关系? 互补
所以,异面直线a 、b
典型例题1:在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,现将△AOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置,已知OA=OB=OO 1,取A 1B 1 、A 1O 1的中点D 1 、F 1,求异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值。
解:以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,并设OA=1,则
A(1,0,0)
B(0,1,0) F 1
(21 ,0,1) D 1(21 ,
2
1
,1)
=cos θ =
),1,0,21(1-=∴AF )
1,2
1
,21(1-=BD =
?=
BD AF =?++-2
3451041
θ1030
所以,异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值为
知识点2、直线与平面所成的角(范围:
)
据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为 = 典型例题2:
正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点E 、F 分别为CD 、DD 1
的中点,
??
????∈2,0π
θ10
30
θsin
(1)求直线B 1C 1与平面AB 1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角
解: (1)以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,则: A(0,0,0) B 1(1,0,1) C(1,1,0) C 1(1,1,1)
,01
=?=?AC n AB n 则),0,1,0(11=∴C B )
0,1,1(),1,0,1(1==AC AB 设平面AB 1C 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 所以
X 1+z 1=0
X 1+y 1=0
取
x 1
=1,得y 1
=z 1
=-1
=
?=C B n 故所求直线B 1C 11 3
3
=?+-3101033
-
3、二面角(范围:
)
[]
πθ,0∈n
=θ
cos -2
n =θcos
取y 2=1,得x 2=z 2=-2
解:(2)由题意知 )
0,1,2
1
(),21,1,0(F E )
0,1,2
1
(),21,1,0(==∴设平面AEF 的法向量为m=(x 2
,y 2
,z 2
),
所以 02
1
22=+
z y 02
1
22=+y x 故m=(-2, 1,-2)
又平面AED 的法向量为AA 1=(0,0,1)
观察图形知,二面角F-AE-D 为锐角,所以所求二面角F-AE-D 的余弦值为
3
20
,0=?=?AE m AF m
则3
2
132-=?-=
??=
∴1
11AA m AA m AA 典型例题2 (2)点E 、F 分别为CD 、DD 1的中点,求二面角F-AE-D 的余弦值。
典型例题3 如图,甲站在水库底面上的点A 处,乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ,B 到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为c , AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解:如图. d AB c CD b BD a AC ====,,,
根据向量的加法法则, .DB CD AC AB ++=
22
2
)(DB CD AC AB d ++==
)
(22
2
2?+?+?+++=
l
DB AC b c a ?+++=2222
DB CA b c a ?-++=2222
于是,得2222
2d c b a
-++=?
设向量 与 的夹角为θ,θ就是库与水坝所成的二面角. 因此 .cos 22222d c b a ab -++=θ
所以
.2cos 2
222ab
d c b a -++=θ
库底与水坝所成二面角的余弦值是
.22
222ab
d c b a -++
三、巩固练习
如图,已知:直角梯形OABC 中,OA ∥BC ,∠AOC=90°,SO ⊥平面OABC ,且OS=OC=BC=1,OA=2.求
⑴异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值;
⑵直线OS 与平面SAB 所成角α的正弦值;
⑶二面角B -AS -O 的余弦值.
四、课堂小结
1、异面直线所成的角
2、直线和平面所成的角
O
A
B
C
S
5
10
6
63
6cos =θ=θ
sin
五、布置作业 课本第112页A 组第6题
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m
2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互
补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1).
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ=|cos 〈m 1,m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①,AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉. 2°如图②③,n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos 〈n 1,n 2〉或-cos 〈n 1,n 2〉. 2. 点面距的求法 如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到 平面α的距离d =|AB → ·n | |n | . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二面角的 范围是[0,π]. ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α-a -β的两个半平面α、β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α- a -β的大小是π-θ. ( × ) 2. 已知二面角α-l -β的大小是π 3 ,m ,n 是异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m ,n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α,n ⊥β, ∴异面直线m ,n 所成的角的补角与二面角α-l -β互补. 又∵异面直线所成角的范围为(0,π 2], ∴m ,n 所成的角为π 3 . 3. 在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量为n =(2,-2,1),已知点P (-1,3,2),
立体几何中的向量方法总结
立体几何中的向量方法基础篇一(几何证明) 一.求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量,求y x ,。 二.平面的法向量 2.在空间中,已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ,求平面ABC 的一个法向量。 3.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为正方形, 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面,E 为PC 中点 (1)分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量; (2)求平面EDB 的一个法向量; (3)求平面ADE 的一个法向量。 三.向量法证明空间平行与垂直 1.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,M AF AB ,1,2== 为EF 的中点,求 证:BDE AM 平面//
2. 如图,正方体''''D C B A ABCD -中,F E ,分别为CD BB ,'的中点,求证:ADE F D 平面⊥'。 3. 如图,在四棱锥ABCD E -中,BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ,求证:平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习: 1. 如图,在正方体''''D C B A ABCD -中,P 是'DD 的中点,O 是底面ABCD 的中心, (1)求证:O B '为平面PAC 的一个法向量;(2)求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图,在直棱柱'''C B A ABC -中,4',5,4,3====AA AB BC AC (1)求证:'BC AC ⊥ (2)在AB 上是否存在点D ,使得'//'CDB AC 平面,若存在,确定D 点位置,若不存在,说明理由。 3. 如图,已知长方体''''D C B A ABCD -中,2==BC AB ,E AA ,4'=为'CC 的上的点,C B BE '⊥, 求证:BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中,1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面,E 为'BB 的中点,求证:C C AA AEC '''平面平面⊥
用向量方法解立体几何题(老师用)
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1 求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b (2)求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n (3)求二面角 法一、在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||A O . (2)求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥ ,n b ⊥ ),则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== (此方法移植 于点面距离的求法).