《离散数学》期末试题及答案

326《离散数学》期末考试题(B)

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).

2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.

3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ).

4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.

5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.

2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.

3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(.

4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).

5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).

三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(

=?B A ，

)(=?B A ，)()(=A P .

2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.

3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).

4.所有6的因数组成的集合为( ).

5.不同构的5阶根树有( )棵.

四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g

不一定是单射.

五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,

1.画出R 的关系图R G .

2.判断R 所具有的性质.

3.求出R 的关系矩阵R M .

六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→?→→=的主析取范式

和主合取范式.

七、(10分) 边数30

《离散数学》期末考试题(B)参考答案

一、1. {{a , b }, a , b , ?}， {{a , b }, a , b }，16.

2.9

2, 27.

3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ?∧.

4. 2, 4, 6, 12.

5.4≤，奇数. 二、1.2

2,2,m m n mn .

2.g , g , g .

3.1,2,

4.

4.8，不存在，不存在.

5.连通，3，10.

三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =?，}}{{c B A =?，{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.

2.27933,3,

3. 3.0)(↓∨q p .

4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}.

5.9.

四、证 对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即

))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射.

例

如

取

},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，

)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射.

五、解 1. R 的关系图R G 如下：

2.(1)由于R b b ?),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.

(3)因为R b d ∈),(，而R d b ?),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.

(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ?=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.

综上所述，所给R 是传递的.

3.R 的关系矩阵??????

?

?

?=01

1101110000

0111R M . 六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→?→→=的真值表如下:

由表可知，))(())((p q r r q p A →→?→→=的主析取范式为

).

()()

()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p A ?∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧∨∧?∧∨∧∧=

A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ?∨?∨∧∨?∨?=.

七、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知

n v m v

5)deg(2≥=∑.

于是m n 52≤

，进而65

2

363-?≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .

八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数

()x x x x x x x E +???

? ??++???? ??+++=1!21!3!21)(232

6

543212

1211219619431x x x x x x ++++

++=, 因而38!412

19

4=?=

a .