上海市四区(静安宝山杨浦青浦)2012年高考二模数学(文)试题(解析版)

3 左视图

主视图

四区2011学年度第二学期高三模拟

数学试卷（文科） 2012.4.

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直

接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若函数()1f x x =+的反函数为()1

x -，则()1

1f -= .

2．若复数z 满足

211

z i i

=+-，

（其中i 为虚数单位），则z = . 3．已知全集U R =，函数12-=

y 的定义域为集合A ，则=A C U .

4．第一届现代奥运会于1896年在希腊瑞典举行，此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能举行，届数照算.2008年北京奥运会是第届.

5. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0） 6．直线l 的一个方向向量(12)d =

，，则直线l 与02=+-y x 的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示）

7. 如果实数y x ,满足：??

??≥+≤-+≤+-.01,02,01x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为 .

8. 函数()321-+-+-=x x x x f 的最小值点为 . 9. 一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．

①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是

10. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（如图），已知该圆锥的母线与

底面所在平面的夹角为0

45，容器的高为10cm ，（衔接部分忽略不计）

则制作该容器需要的铁皮为 2cm .（结果精确到1.0 2cm ）11．已知过抛物线C ：

45o

10cm

(10题图) (9题图)

2y px =（0p >）焦点F 的直线l 和y 轴正半轴交于点A ，并且l 与 C 在第一象限内的

交点M 恰好为线段AF 的中点，则直线l 的倾斜角为___________. （结果用反三角函数值表示）

12．若把()()()n

x x x ++???+++++11112

展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a

（*N n ∈），则n a = . 13．若正实数y x ,满足:

11111=++

,则y x 的取值范围为 .

14．设双曲线

=-y

的右焦点为F ，点1P 、2P 、

…、n P 是其右上方一段（522≤≤x ，0≥y ）上的点，线段F P k 的长度为k a ，

（n k ,,3,2,1 =）．若数列{}n a 成等差数列且公差)5

(∈d ，则n 最大取值为．

[来源:www .sh u h u a n e t ]

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．“3>x ”是“03>-x ”的 ………（）.

()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 (

充要条件

(

既非充分又非必要条件

16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ………（）.

()A 3 (

(

10 (

15-

17．直线3y kx =+与圆()()2

324x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 ………（）.

()A 3[,0]4

(

[)∞+???

∞

-,043, (

33[,

(

2[,0]3

(16题图)

18. 如图所示，点P 是函数)sin(2?ω+=x y )0,(>∈ωR x 的图像的最高点，M ，N 是该图像与x 轴的交点，若0=?PN PM ，则ω的值为 ………（）.

()A

(

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知)(2)14(log )(2R ∈++=x kx x f x 是偶函数.

（1）求实数k 的值；

（2）若关于x 的方程0)(=-m x f 有解，求实数m 的取值范围.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分．直三棱柱111C B A ABC -的底面为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，2==AC AB ，

221=AA ，F E 、分别是1AA BC 、的中点．求：

（1）异面直线EF 和B A 1所成的角；（2）直三棱柱111C B A ABC -的体积．

[来源:ww w.sh u h u a n e tw ww.s h u li h u a n e t]

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知向量)sin ,)6

2(sin(x x m π

=，)sin ,1(x n =，n m x f ?=)(.

（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；

C B

A 1

E F C 1

B 1

(18题图)

(20题图)

（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若2

12)2

(

B f ，

3,5=

=c b ，求a 的值.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

已知x 轴上的点 ,,,,21n A A A 满足n n n n A A A A 112

1-+=

（*,2N n n ∈≥），其中

)0,5(),0,1(21A A ；点 ,,,,21n B B B 在射线)0(≥=x x y 上，满足22||||1+=+n n OB OB （*N n ∈），其中)3,3(1B ．（1）用n 表示点n n B A 与的坐标；

（2）设直线n n B A 的斜率为n k ，求n n k ∞

→lim 的值；

（3）求四边形n n n n B B A A 11++面积S 的取值范围.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆

2=+

y a

x )0(>>b a ，半焦距为)0(>c c ，且满足i i c a c a =-+-)()32(（其

中i 为虚数单位），经过椭圆的左焦点)0,(c F -，斜率为1k )0(1≠k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）当11k =时，求AOB S ?的值；

（3）设)0,1(R ，延长A R ，B R 分别与椭圆交于,C D 两点，直线C D 的斜率为2k ，求证：

1k k 为定值.

[来源:w w w .s h u l i h u a .n e t ]

四区2011学年度第二学期高三模拟答案

一、填空

1. 0 ；提示：011=?=+x x

2 ；提示：

211

z i i

=+-i zi +=+?12i zi +-=?1两边取模得2=

3. ()0,∞-；提示：[)∞+=?≥-,0012A x ()0,∞-=∴A C U

4. 29；提示： 2914)18962008(=+÷-

5. 0.381；提示：

381.08164

8≈C

C C

6.10

103arccos

；提示：取直线的一个方向向量是)1,1(=d 则

1032

211cos =

?+?=

7. 文

7，提示：可行域三个顶点坐标为()()0,123,

213,1-??

??-、

、理

2；提示：化为普通方程y x y x +=+2

8.文2=x ，理2；提示：∴=++,1x y x 2)2(232=+=++=y x x y x E ξ 9.文②③，理

π3

28；提示：小圆的半径为1，所以大圆半径为2，故=

4R V ππ3

10. 444.3；提示：侧面展开图扇形的半径为210，底面周长π20，

所以3.4442100

210

202

1≈=??=

ππS

11 . 22arctan -π；提示：由)0,2

(

p F ，可设),0(b A ，则)2

,4(

p M ，由题意可得22

()24

()2

b p

p p p +-

=--，p b 2=∴，222

00-=-

∴p b k

12. 文121-+n ,理2；提示：令0=x 得12222112-=+++++n n 13. [)∞+,9；提示：将

11111=++

整理成3)(++=y x xy

由323)(+≥++=xy y x xy 解得3≥xy

14 ．提示：数列{}n a 递增，当1a 最小， n a 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大。所

以取251-=a ，3=n a ，算得)1(15

5>--

n n d ，又)5

,51(∈d ，所以5526455-<<-n ，又*N n ∈，故n 最大取值为14．

二、选择题

15. A ；

16. C ；1=i 时，1-=S ；2=i 时，3=S ；3=i 时，6-=S ；4=i 时，10=S ； 17. A ；利用圆心到直线的距离小于等于1来解；

18. B ；（文）由PN PM ⊥及最高点纵坐标为2得ωπ2242==T 4π

ω=∴

(理)解法一：特殊法，以AB 为斜边构建直角三角形可得16-=?BC AO

解法二：以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，不妨设)0,3(-A ，

)

0,3(B ，),0(t O ，),(y x C ，则AC 中点坐标)2

,23(

x D -由

???

=++==-+-?-=?4)3(0)2

(23)3(222

y x AC y t y x x DO AC 73-=+?x yt 又93-+=?ty x BC AO 1697-=--=?∴BC AO

一．填空题（本大题满分56分） 2012.4. 1. 0 ； 2.

2 ； 3. ()0,∞-； 4. 29； 5. 0.381； 6.10

103arccos

；

7. 文

7，理

2； 8.文2=x ，理2； 9.文②③，理

π3

28； 10. 444.3；

11 . 22arctan -π； 12. 文121-+n ,理2； 13. [)∞+,9； 14 ．14 二、选择题 15. A ； 16. C ； 18. B ； 17. A ；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19．（文）解：（1）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数…………………2分

.2)14

(log 2)14(log 22kx kx x

-+=++∴-

44log

4log 2

2kx kx x

-=-=++-即 ……………………………………4分

.42恒成立对一切R x kx x ∈-=∴ 2

=∴k ………………………………………………………6分

（2）由0)(=x F 得：x x f m x -+==)14(log )(2， …………………8分

).2

12(log 2

4log

m +

=+=∴ ………………………………9分

12≥+

， ……………………………………………………10分

.1≥∴m 故要使函数m x f x F -=)()(存在零点，则实数m 的取值范围是.1≥m …12分

学生可能出现的一种错解：

2log (41)x

m x +=+ ，??

? ??∈21,

0x 因为左边的函数y m x =+单调递增，右边的函数也单调递增

所以0220log (41)1log (21)2m m ?+>+??+<+??或0220log (41)1

log (21)2

m m ?+<+??+>+?? 得到的答案也是22

log

20．（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分．解：（1）取AB 的中点D ，连DF DE 、，则B A DF 1//， ………………1分直线EF 和DF 所成的角的大小等于异面直线EF 和B A 1所成的角的大小，即DFE ∠（或

其补角）即为所求， ………………………………………………………………3分由题意易知，3=

DF ，1,1==AE DE ………………………………………5分

由AB DE ⊥、1AA DE ⊥得⊥DE 平面11A ABB

∴DF DE ⊥，即EDF ?为直角三角形， ………………………………………6分 ∴=

∠DF

DE DEF tan 3

∴ 30=∠DEF ………………………………8分

异面直线EF 和B A 1所成的角为030 ． ……………………………………………9分（2）直三棱柱111C B A ABC -的体积2422222

1AA

AC AB 2

1V 1

=???=

??=

………………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）x x x f 2

sin

)62sin()(++

=π

2cos 212cos 2

12sin 2

x x -+

12sin 2

x ……………………………………………………………3分

所以T π=， …………………………………………………………………………4分

[来源学。科。

网]

递减区间是3,,4

4k k k Z ππππ??

∈???

； …………………………………………………6分（2）由2

12)2

(+=

B f 得2sin 3

B =，1cos 3

B =± ………………………………10分

当1cos 3

B =

时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222

=--a a ，31±

=a 负舍

31+

=∴a ； ……………………………………………………………………12分

当1cos 3

B =-

时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222

=-+a a ，31±

-=a 负舍。

31+

-=∴a ； …………………………………………………………………14分

22. （文科）（1）设)0,(n n a A 则由n n n n A A A A 112

1-+=

得2),(2

111≥-=

--+n a a a a n n n n ……………………………………1分

n n n a a a a )21(8)()21(1211=-=-∴-+

1)2

1(8--=-∴n n n a a (1)

122

-a a (n-1)

将（1）+（2）+…+（n-1）累加[来源:w w w.s h u l i h u a.n e t w w w .s h u l i h u a .n e t ]

得12

8+++

--- n n n a a 2

112112181

???

???????? ??-?

=-n n

n a 2

169-

=∴ n A ∴坐标为*

),0,2

169(N n n

∈-

………………………2分

设n n b B (，)n b 则n n b OB 2=

22221+=

∴

-n n b b 21+=-n n b b …………………………3分

12)1(21+=-+=∴n n b b n ，n B ∴坐标为*

)12,12(N n n n ∈++ ……4分

（2）?

?? ?

--++=∞

→∞

→n n n n n n k 21691212lim

lim 12

168212lim

-+=∞

→n

n n n ……………………10分

（3）)12(216921)32(289211

1+???

??--+???? ??-?=

-=??++n n S S S n n B OA B OA n n n n n

n 2

489-+

= …………………………………………………12分

记n

n n g 2

48)(-=

，则n

n n g n g 2

46)()1(-=

1=n 时，)1()2(g g >，2≥n 时)()1(n g n g <+

即 >>>>>)()4()3()2(n g g g g ………………………14分故3)2()(max ==g n g 又02

812lim

,2)1(=-=∞

→n

n n g 3)(0≤<∴n g ………………………………15分

则S 的取值范围为(]9,12 ………………………………………………………16分

23（文科）:

解：（1）由题意可知，222231c a a c a b c ?=??

-=??=+??

, ………2分

所以5,3=

=b a ,

所以椭圆Γ的方程为

. ………4分

（2）11,(2,0)k F =- ,∴设直线方程为2y x =+，),(11y x A ，),(22y x B

联立方程组22219

5y x x y =+??

?+=?

?，整理得2143690x x +-=， ………6分

121218

9,714

x x x x +=-

=-， 2

1212123022()47

A B x x x x x x ∴=

+-=

………7分设O 点到直线A B 的距离为d ，则002

d -+=

130

152

S d A B ?∴=?=??=. ………10分（3）设),(33y x C ，),(44y x D ，直线A R 的方程为)1(1

11--=

x x y y ，所以111

1+-=

y y x x .

代入椭圆方程，消去x 得：

04151

1=--+

-y y x y y

x . ………13分

则1

3154x y y y --

=，且01≠y ，所以1

1354x y y --

代入直线A R 的方程，得5

95113--=

x x x ，所以)5

95(

1111---x y x x C .

同理)5

95(

2222---x y x x D ………15分

9559

454221122

2---

----

x x x x x y x y k )5)(95()5)(95()5(4)5(412211221--------=

x x x x x y x y )

(16)

55(412212121x x y x y y x y -+--=

因为A,F,B 三点共线，所以

2211

+x y x y .即)(2121221y y x y x y -=-.

所以1

21224

7x x y y k --?

而1

2121x x y y k --=

所以

1k k 7

4=为定值. ………18分