数学人教版九年级上册22.1.2y=ax2的图象和性质同步训练(解析版)-word文档

2019-2019学年数学人教版九年级上册22.1.2 y=ax2的图象和性质同步训

练

一、选择题

1.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（）

A.±2

B.－2

C.2

D.3

2.抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）

A.对称轴是y轴

B.开口向下

C.当x＜0时，y随x的增大而减小

D.顶点坐标是（0，0）

3.对于函数，下列结论正确的是( )

A.y随x的增大而增大

B.图象开口向下

C.图象关于y轴对称

D.无论x取何值，y的值总是正的

4.已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）

A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0

5.抛物线y＝－x2的图象一定经过( )

A. 第一、二象限

B. 第三、四象限

C. 第一、三象限

D. 第二、四象限

6.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④

，则的大小关系为( )

A. B. C. D.

7.下列说法中错误的是( )

A.在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0

B.在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大

C.抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大

D.不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点

8.在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y= x2的图象，它们的共同特点是（）

A. 抛物线的开口方向向上

B. 都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大

C. 都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小

D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点

二、填空题

9.若点A（-2，y1），B（-1，y2），C（8，y3）都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上，则从小到大的顺序是________．

10.若抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，则a的取值范围是________．

11.若二次函数y=m 的图象开口向下，则m=________

12.抛物线y＝－2x2的开口方向是________，它的形状与y＝2x2的形状________，它的顶点坐标是________，对称轴是________．

13.直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是________.

14.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是________．

15.已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是________(填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0

三、解答题

16.已知抛物线经过点A(－2，－8).

（1）求a的值,

（2）若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.

17.抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．

（1）求a，b的值．

（2）抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18.在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．

（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

（2）抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？

19.函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．

求：

（1）a和b的值；

（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）作y=ax2的草图．

20.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．

（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；

（2）求点C的坐标；

（3）求S△COB．

答案解析部分

一、选择题

1.【答案】C

【考点】待定系数法求二次函数解析式

【解析】【解答】把点(a,8)代λ:yax得:a'=8,解得:a=2故答案为：C

【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，解方程即求出a的值。

2.【答案】C

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】A.∵抛物线y=﹣x2的顶点在原点,对称轴是y轴,故不符合题意;B.∵:a=-1<0,此函数的图像开向下,故不符题意,.

C.当a<0时,抛物线在第三象限,y随x的增大而增大,故符合题意;

D.∵抛物线y=﹣x2的顶点在原点,∴顶点坐标是(0,0),故不符合题意

故答案为：C

【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0,0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上，当x＜0时，y 随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；a＜0，开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，即可解答。

3.【答案】C

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】∵在函数中，，

∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，

∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.

综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.

故答案为：C.

【分析】根据二次函数的图像与系数的关系，在函数y=5x2中，a=5>0 ，b=0 ，c=0 ，从而得出该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0，根据性质一一判断即可得出答案。

4.【答案】C

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】∵抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴是y轴，

∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．

又∵a＞0，0＜1＜2，且当x=0时，y=0，

∴0

故答案为：C．

【分析】利用二次函数的性质，可知A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1），再由a ＞0，0＜1＜2，且当x=0时，y=0，可得出答案。

5.【答案】B

【考点】二次函数y=ax^2的图像，二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故答案为：B.【分析】二次函数的解析式中b=0,c=0,a小于0，故抛物线的对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，从而得出答案。

6.【答案】A

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】通过抛物线的图像与二次项系数的关系分析可得：

.

故答案为：A

【分析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”及“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”即可得出答案。

7.【答案】C

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】A由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A不符合题意；

B由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B不符合题意；

C根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物

线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，C符合题意；

D不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】利用二次函数y=ax2的性质对各选项逐一判断即可解答。

8.【答案】D

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y= x2的图象，它们的共同特点是：（1）顶点都在原点：（2）对称轴都是y轴；

故答案为：D.

【分析】由于三个函数解析式中b=0,c=0,故顶点都在原点，对称轴都是y轴。

二、填空题

9.【答案】

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，开口向下，

∴x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，

∴y1

故答案是：

【分析】由于该二次函数的解析式中a小于0，b=0,c=0故图像对称轴为y轴，开口向下，对称轴左

侧是增函数，右侧是减函数，即x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，从而得出答案。

10.【答案】a＞2

【考点】二次函数y=ax^2的图像

【解析】【解答】解：∵抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，∴a﹣2＞0，解得：a＞2．故答案为：a ＞2．

【分析】因为二次函数的开口向上，所以a﹣2＞0，解不等式即可得a的取值范围。

11.【答案】m=－1

【考点】二次函数的定义，二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得:m2?m=2,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.【分析】根据二次函数的定义，自变量的次数为2，根据二次函数的图像开口向下值二次项系数小于0，从而得出混合组，求解得出m的值。

12.【答案】向下；相同；(0，0)；y轴

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】抛物线y＝－2x2的开口方向是向下，它的形状与y＝2x2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．故答案为：向下；相同；（0，0）；y轴．

【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0,0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上；a＜0，开口向下，即可解答。

13.【答案】（-1，1）和（2，4）

【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【解答】由题意可得：，解得：， .

∴直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是：（-1，1）和（2，4）.

【分析】求抛物线与直线的交点坐标，就是求直线解析式与抛物线的解析式组成的方程组的解的问题。

14.【答案】a＞b＞c

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】根据图象可以判断a>0，b<0,c<0, |C|＞|b|,所以b>c.故答案为：a＞b＞c【分析】抛物线图象开口方向由a的正负决定，a为正开口向上，a为负开口向下.抛物线图象开口的大小由a 的绝对值决定，a的绝对值越大，开口越小，a的绝对值越小，开口越大,从而得出答案。

15.【答案】②④

【考点】二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y 甲y乙”可知：存在以下3种情况：（1 ）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；

（2 ）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；

（3 ）若都为负数时，则n＜m＜0；

∴关于m，n的关系正确的是② 、④

【分析】根据偶次方的非负性得出x2一定不小于0，又对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，故有①y甲和y乙都为正数，②若y甲为正数，y乙为负数，③若y甲为负数，y乙为负数，三种情况，从而得出答案。

三、解答题

16.【答案】（1）解：将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2，可得4a=﹣8，即a=﹣2

（2）∵a=﹣2，∴y=﹣2x2，将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，解得m=± ，

则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y = ax2，即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2即可求出m的值，从而得出P点的坐标。

17.【答案】（1）解：∵直线y＝2x－3过点(1，b)，

∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．

∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，

∴－1＝a×12，∴a＝－1

（2）解：若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，

则|x|＝|y|.

∵a＝－1，∴y＝－x2，

∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，

∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1)

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）将点(1，b)代入直线y＝2x－3，求出b的值，从而得出抛物线与直线交点的坐标，再将这个点的坐标代入抛物线y＝ax2即可求出a的值；（2）设点P的坐标为(x，y)，根据题意得出|x|＝|y|，又y＝－x2，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出P点的坐标。

18.【答案】（1）解：抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)

（2）解：抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到

【考点】二次函数y=ax^2的图像，二次函数y=ax^2的性质

【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式分别找到a,b,c的值，根据抛物线的图像与系数的关系即可得出开口方向，对称轴，及顶点坐标；

（2）根据两抛物线顶点坐标即可找到平移规律。

19.【答案】（1）解：

把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，

把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1

（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，

∴抛物线开口向下；

抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）

（3）解：作函数y=ax2的草图如下：

【考点】二次函数y=ax^2的图像，二次函数y=ax^2的性质

【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3即可求出b的值，从而得出其交点坐标，再将交点坐标代入函数y=ax2（a≠0），即可求出a的值；

（2）根据（1）求出的抛物线的解析式，可知a=-1<0，b=0,c=0,从而得出抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；

（3）利用描点法，围绕抛物线的顶点坐标对称的取值，再在坐标平面内描点，并用平滑的线按自变量从小到大顺次连接即可得出抛物线的图像。

20.【答案】（1）解：设直线表达式为y=kx+b．

∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，

∴，解得，，

∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；

∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，

∴a=1，其表达式为y=x2

（2）解：由，解得或，

∴点C坐标为（﹣2，4）

（3）解：S△COB=S△AOC﹣S△OAB= ×2×4﹣×2×1=3

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，将A,B的坐标分别代入即可得出关于k,b的方程组，求解得出k,b的值，从而得出直线AB的表达式；将B点的坐标代入y=ax2即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）解联立直线AB的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出C点的坐标；

（3）由S△COB=S△AOC﹣S△OAB即可求出S△COB．