一次函数讲义1(精)

一次函数复习课1

【知识点总结】

一、函数

1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每一个确定

的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的

值称为函数值．

4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．

用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义：○1整式（多项式和单项式）时为全体实数；○2分式时，让分母

≠0；○3含二次根号时，让被开方数≠0 。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

7.描点法画函数图象的一般步骤如下：

Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

8.判断y是不是x的函数的题型

○1给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。○2给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否

则y是x的函数。

二、正比例函数

1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，?其中k

叫做比例系数。注意点○1自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；○2比例系

数k≠0；○3不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2.正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，

?我们称它为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

画正比例函数的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。

三、一次函数

1.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0

时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点○1自

变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；○2比例系数k≠0；○3常数项

可有可无。

2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b

│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．3.系数k的意义：k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。

系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）

与x轴的交点是点（-b

k

，0）

4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系

K<0，捺

b>0，与y轴交点在x轴上方

一二四象限

从左到右下降

Y随x的增大而减小k>0，撇

b<0，与y轴交点在x轴下方一三四象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

k>0，撇

b>0，与y轴交点在x轴上方一二三象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

X

Y

K<0，捺

二四象限

从左到右下降

Y随x的增大而减小

k>0，撇

一三象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

X

Y

5.画一次函数图像的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出点（0，b ）与点（-

b

k

，0）； （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k ）；

（3）过点（0，b ）与点（-b

k

，0）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx （k ≠0）的图象．

6. 待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点

坐标。步骤： ○1写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，?因此叫做待定系数）．○2?把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x 、y 的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）○3解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．

7.解析式与图像上点相互求解的题型

○

1求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x 、y 值代入解析式组成含有k 、b 两个未知数的方程组，求出k 、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。

○

2求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

四、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）?的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，?求相应的自变量x 的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b ，确定它与x ?轴交点的横坐标的值． 五、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y 大（小）于0时，求自变量x 相应的取值范围．

用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分，然后判断这部分线的x 的取值范围。

K<0，捺

b<0，与y 轴交点在x 轴下方 二三四象限 从左到右下降

Y 随x 的增大而减小

六、一次函数与二元一次方程（组）

1.解二元一次方程组35821x y x y +=??-=?可以看作求两个一次函数y=-35x+8

5与y=2x-1图象的交点坐标。

2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x 、y 的值即为两直

线交点坐标。

【典型例题分析】

1.当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 3

2

-m

+（m-4）是一次函数？

2.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是

3.已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ?的面积为

4.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第 象限。

5.已知直线y=-2x+m 不经过第三象限，则m 的取值范围是_________。

6.已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m 的取值范围是________。

7.某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y 的值随x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．

8.直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7），求函数的解析式。

9.已知一次函数

(63)(4),y m x n =++-求：（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）

,m n 分别为何值时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方？（3）,m n 分别为何值时，函数

的图象经过原点？（4）当1

,2m n =-=-时，设此一次函数与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，试求

AOB 面积。

10.直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 11.直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 12.直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线

13.直线14

3

+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________

14.过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____

15.如图，在直标系内，一次函数(0,0)y kx b kb b =+><的图象分别与x 轴、y 轴和直线4x =相交

于A 、B 、C 三点，直线4x =与x 轴交于点D ，四边形OBCD （O 是坐标原点）的面积是10，若点A

的横坐标是1

2

-，求这个一次函数解析式.

16.已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ； （1） 分别写出两条直线解析式； （2） 计算四边形ABCD 的面积；

（3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。

17.如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6； （1）求△COP 的面积；

（2）求点A 的坐标及p 的值；

（3）若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

O x

y

-346-2F E

D

C

B A (2,p)

y

P E D

C

18.已知直线L

1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L

2

经过点B，且与x轴相交于点P

（m，0）．

（1）求直线L

1

的解析式；

（2）若△APB的面积为3，求m的值．

19.下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：

（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？

（2）求这次比赛全程是多少千米？

（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．

20.铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t，柚子12t，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t和柚子1t，乙种货车可装西瓜，柚子各2t．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，?则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？

21.如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，?乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，?下列说法正确的（）

A．乙比甲先到达终点

B．乙测试的速度随时间增加而增大

C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇

D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

‘

22.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x

（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y?与x之间的函数关系．根据图像进行以下探究：

信息读取:

（1）甲，乙两地之间的距离为_____km;（2）请解释图中点B的实际意义．

图像理解:

（3）求慢车和快车的速度;

（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 问题解决:

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．?在第一列快车与慢车相

遇30min 后，第二列快车与慢车相遇，?求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．

作业题：

1.如图所示，直线L 1的解析表达式为y=－3x+3，且L 1与x 轴交于点D ．直线L 2经过点A ，B ，直线L 1，L 2交于点C ． （1）求点D 的坐标；

（2）求直线L 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；

（4）在直线L 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．

2.甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到

达山顶过程中，?各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题： （1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s （km ）与时间t （h ）的函数解析式；（不要求写出自变量t 的取值范围）

（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；

（3）在（2）的条件下，设乙同学从A 处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h ，沿原路下山，在点B 处与乙相遇，此时点B 与山顶距离为1.5km ，相遇后甲，?乙各自按原来的线路下山和

上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？