2019年高三数学最新信息卷五文科(含答案)

2019年高考高三最新信息卷

文 科 数 学（五）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·南洋模范中学] “1

12

x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分也不必要条件

2．[2019·吉林调研]欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有

非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，

π

i 4

i

e 表示的复数位于复平面内（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．[2019·安阳一模]2291

sin cos αα

+

的最小值为（ ） A ．18

B ．16

C ．8

D ．6

4．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A ．()f x x x =+ B ．()1f x x x -=+ C ．()1

tan f x x x

=

+

D ．()πsin 2f x x ?

?=+ ??

?

5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）

A ．84

B

．78+C

．76+ D

．80+

6．[2019·维吾尔二模]将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于 直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．()ln 1x +

B ．()ln 1x -

C ．1e x +

D ．1e x -

7．[2019·河南联考]已知函数()()π2sin 02f x x ω???

?=+<< ??

?，且()01f =，若函数()f x 的图象

关于4

π9

x =对称，则ω的取值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ， 则下列选项正确的是（ ）

A ．12P P =

B ．123P P P +=

C ．40.5P =

D ．2432P P P +=

9．[2019·虹口二模]已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤??

+-≥??-≤?

表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B

两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．20y -= B ．40x y -+= C ．20x y +-=

D ．32130x y +-=

10．[2019·凯里一中]已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=?，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）

A

B

．C

D

．11．[2019·衡阳毕业]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”

及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“222+=勾股弦”．设F 是椭圆

()22

22

10x y a b a b +=>>的左焦点，

直线y =交椭圆于A 、B 两点，若AF ，BF 恰好是Rt ABF △的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A

1

B

C

D ．

12

12．[2019·六安一中]若函数()()log 30,1x

a f x x a a -=->≠的两个零点是m ，n ，则（ ）

A ．1mn =

B ．1mn >

C ．1mn <

D ．无法判断

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．

某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．

14．[2019·衡水中学]某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m （单位：万元）与年销售额t （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示．

经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.5175?.t

m =+，则p 的值为_____． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =?，45C =?，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若60BPC ∠=?，则PBC △面积的最大值是__________． 16．[2019·北京四中]设函数(

)1

2

f x =对于任意[]1,1x ∈-，都有()0f x ≤成立，则实数a =________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列{}n a 中，11a =，()

*112,2n n a a n n n --+=∈≥N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设141

n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．

18．（12分）[2019·贵州适应]如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD

为等边三角形，AB =

，AD =

PB =

（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；

（2）M 是棱PD 上一点，三棱锥M ABC -的体积为1，记三棱锥P MAC -的体积为1V ，三棱锥M ACD -的体积为2V ，求

1

2

V V ．

19．（12分）[2019·汉中质检]社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．

（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．

抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表

学生社区服务时间合格与性别的列联表

（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由．

（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率．

（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．

（ii）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价．

参考公式：

（

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其n a b c d

=+++）

20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆()

22

22

:10

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

1

2

，M是椭圆C的上顶点，

1

F，

2

F是

椭圆C的焦点，

12

MF F

△的周长是6．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过动点()

1

P t,作直线交椭圆C于A，B两点，且PA PB

=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

21．（12分）[2019·拉萨中学]已知函数()()21

1e 2

x f x x a x ax =---+．

（1）讨论()f x 的单调性．

（2）若[]01,2x ?∈，()0f x <，求a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ?=+?

?=??

（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴

的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π

6

θρ=

∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（2）若直线3C

的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △

的面积为a 的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()41f x x >-+的解集； （2）设a ，10,2b ??

∈ ???

，若

126f f a b ????

+= ? ???

??

，求证：225b a +≥．

绝密 ★ 启用前

2019年高考高三最新信息卷

文科数学答案（五）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A

【解析】不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“

1

12

x <<”是“不等式11x -<成立”的充分条件．故选A ． 2．【答案】A 【解析】

∵π

i 4

ππe cos

isin 44==+

，∴πi 4

i i e ?=

==???

+?，

此复数在复平面中对应的点22? ??

位于第一象限，故选A ．

3．【答案】B

【解析】()22

2222

9191sin cos sin cos sin cos αααααα??+=++ ??

?

9116≥++=， 故选B ． 4．【答案】C

【解析】A ．∵()f x x x =+，∴()f x x x -=-+，而()f x x x -=--，∴不是奇函数，排除A ； D ．∵()πsin cos 2f x x x ?

?=+= ??

?，∴()()cos f x x f x -==，即()f x 为偶函数，排除D ；

B ．∵()1f x x x -=+，∴()()1f x x x f x --=--=-，∴函数()f x 是奇函数， 但令()0f x =，可知方程无解，即()f x 没有零点，∴排除B ；

C ．∵()1tan f x x x =

+，∴()()1

tan f x x f x x

-=--=-，∴()f x 是奇函数， 又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，1

y x

=-与tan y x =必然有交点，

因此函数()1

tan f x x x

=+必有零点．故选C ． 5．【答案】C

【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，

∴五棱柱的表面积为(

144222442??

?-???+++? ???

C ．

6．【答案】C

【解析】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数e x y =的图像，

再把e x y =的图像向左平移一个单位得函数1e x y +=的图像，∴()1e x f x +=．故选C ． 7．【答案】C

【解析】∵()()2sin f x x ω?=+，∴由()01f =，得1

sin 2

?=． 又∵π02?<<

，∴π6?=，∴()π2sin 6f x x ω?

?=+ ??

?．

又∵()f x 关于4π9x =对称，∴4ππππ962k ω?+=+，39

44

k ω=+，

令1k =，则3ω=．故选C ．

8．【答案】D

【解析】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为21πS r =，22224ππ3πS r r r =-=，

22239π4π5πS r r r =-=，222416π9π7πS r r r =-= 22222π3π5π7π16πS r r r r r =+++=总；()i

i i 1,2,3,4S P S =

=总

， 则1116P =

，2316P =，3516P =，47

16

P =， 验证选项，可知只有选项D 正确．故选D ． 9．【答案】D

【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP OP ⊥，

∴OP 最长时，AB 最小， ∵最小l 经过可行域，

由图形可知点P 为直线210x y -+=与20y -=的交点()3,2时，OP 最长， ∵23OP k =

，则直线l 的方程为()3

2

24y x ---=，即32130x y +-=．故选D ．

10．【答案】C

【解析】由题得22

π1cos

32

AB AC a a ?==， ()()

()()2222111122BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ?=+?+=---+-221

112

22a λλ??=-+- ???，

∴当1=2λ时，()f λ的最大值为2328a -=-

，∴a ．故选C ．

11．【答案】A

【解析】如图，设2F 是椭圆C 的右焦点，

∵线段AB 与2FF 被点O 互相平分，且AF BF ⊥，∴四边形2AFBF 是矩形．

又AB k =，∴260AOF ∠=?，∴2AOF △是等边三角形， 由22FF c =，∴2AF c =

，AF =，

∴22AF AF c a +=+=

，∴1c e a ===．故选A ． 12．【答案】C

【解析】令()0f x =得log 3x

a x -=，则log a y x =与3x

y -=的图象有2个交点，

不妨设m n <，1a >，作出两个函数的图象如图：

∴33m n -->，即log log a a m n ->，∴log log 0a a m n +<，即()log 0a mn <， ∴1mn <．故选C ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】D

【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ， 故听报告D 最不合适，故答案为D ． 14．【答案】60 【解析】由题意可得2456855m ++++=

=，3040507019055

p p

t +++++==

， 又回归直线必过样本中心， 6.5175?.t

m =+， ∴

190 6.5517.55

p

+=?+，解得60p =．故答案为60． 15．

【解析】∵30A =?，45C =?，3c =，

∴由正弦定理

sin sin a c

A C

=

，可得1

3sin sin c A a C ?

?===

又60BPC ∠=?，∴在三角形PBC 中，令PB m =，令PC n =，

由余弦定理可得229

12cos 22

m n BPC mn +-

∠==， ∴2299

222

m n mn mn +-=≥-，

（当且仅当m n =时等号成立） ∴9

2

mn ≤

，∴1sin 2S mn BPC =∠=

．

16．【答案】1

【解析】∵函数(

)1

2

f x =在[]1,1x ∈-有意义， ∴20a x -≥在[]1,1x ∈-恒成立，故()2max

a x ≥，即1a ≥；

又∵函数(

)1

2

f x =对任意[]1,1x ∈-，都有()0f x ≤成立， 1?，当[]1,0x ∈-时，()0f x ≤恒成立， 2?，当(]0,1x ∈

时，有102≤

1

2x

， 两边平方得2214a x x -≤，分离变量得2

214a x x ≤+，即求函数22

14y x x

=+的最小值，

而

22114x x +≥，当且仅当2

2

14x

x =

，即x 时，取“=”， ∴1a ≤，综上：1a =．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）()

2*n a n n =∈N ；（2）21

n n

T n =

+． 【解析】（1）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =， ∴()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-+

+-+=++

+-=，

又11a =满足上式，故()

2*n a n n =∈N ． （2）()()2111

11141

41

212122121n n b a n n n n n ??

=

=

=

=- ?--+--+??．

∴1111

1111112335

212122121

n n

T n

n n n ????=-+-+

+

-=-=

? ?-+++????． 18．【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】（1）由已知PA AD ==，于是22215PA AB PB +==，故AB PA ⊥，

∵

ABCD 是矩形，故AB AD ⊥，∴

AB ⊥平面PAD ， 又AB ?平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． （2）依题意，21M ABC V V -==，

由（1）知点P 到底面的距离为正三角形的高，为3． ∴113332P ACD V -?=??= ?，

∴1312P ACD M ACD V V V --=-=-=，故12

2V

V =．

19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量， 这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容，

[)0,10段：人数0.051005=?=；[)10,20段：频率201000.2=÷=； [)20,30段：人数0.35100

35=?=；[)30,40段：频率301000.3=÷=；

[]40,50段：人数100520353010=--

--=，频率10.050.20.350.30.1=----=．

补全抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表，如下表：

根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1， ∴有10.01100.025100.02100.01100.35-?-?-?-?=， 补完频率分布直方图如下图：

（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人， 学生社区服务时间合格人数与性别的列联表

()2

220025653575 2.38 2.70660140100100

K ??-?=

≈

∴没有90%以上把握认为社区服务时间达到合格与性格有关．

（3）（i ）抽取的样本中社区服务时间不少于30个小时的人数为70人，频率为707

20020

=

， ∴全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率为

7

20

，

∴全市高中生社区服务时间不少于30个小时的人数为7

9 3.1520

?

=万人． （ii ）可从以下四个角度分析，也可以从其它角度分析，角度正确，分析合理即可。

A 从抽样数据可以得到全市高中生还有一部分学生参与社区服务的时间太少，不能达到高中素质评价的要求。

B 全市所有学生参与社区服务的时间都偏少。

C 全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生短。

D 全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中在2040h ~之间．

20．【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）见解析． 【解析】（1）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为

12，即1

2

c a =，解得2a =，1c =， 又222

3b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程22143

x y +=．

（2）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，

联立()

22

34121x y y t k x ?+=??-=-??，得()

()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，

由题意，0?>，

设()11,A x y ，()22,B x y ，则()122

834k t k x x k -+=-

+，

∵PA PB =，∴P 是AB 的中点．即1212x x

+=，得()28234k t k k --=+，340kt +=， ①

又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()1

1y t x k -=--， ②

把①代入②可得114y x k ??=-- ???，∴直线l 恒过定点1,04??

???

．

当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04??

???

．

综上所述，直线l 恒过点1,04??

???

．

21．【答案】（1）见解析；（2）()1,21e ??

+∞ ? ?-??

．

【解析】（1）()()()()

'e e 1x x f x x a x a x a =--+=-- 当0a <时，()

(),0,x a ∈-∞+∞，()'0f x >；(),0x a ∈，()'0f x <．

∴()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 当0a =时，()'0f x ≥对x ∈R 恒成立，∴()f x 在R 上单调递增．

当0a >时，()(),0,x a ∈-∞+∞，()'0f x >；()0,x a ∈，()'0f x <．

∴()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．

（2）①当0a ≤时，由（1）知()f x 在()0,+∞上单调递增，则()f x 在[]1,2上单调递增， ∴()()()min 11

1e 1e 022

f x f a a a ==--

+=--<，解得

()1021e a <≤-， ②当0a >时，由（1）知()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 当01a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增． ∴()()()min 11

1e 1e 022

f x f a a a ==--

+=--<对(]0,1a ∈恒成立，则01a <≤符合题意； 当12a <<时，()f x 在[)1,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增． ∴()()2min 1

e 2

a f x f a a ==-+．

设函数()21

e 2x g x x =-+，()1,2x ∈，

易得知()1,2x ∈时，211,222x ??

∈ ???

，()

2e e ,e x -∈--，∴()0g x <，

故()()2min 1

e 02

a f x f a a ==-+<对()1,2a ∈恒成立，即12a <<符合题意．

当2a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减．

∴()()()()()

22min 21e 221e 20f x f a a a ==--+=--<对[)2,a ∈+∞恒成立， 则2a ≥符合题意．

综上所述：a 的取值范围为()1,21e ??

+∞ ? ?-??

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，1C 的极坐标方程2cos a ρθ=； （2）2a =．

【解析】 （1）由已知得1sin cos x

t a y t a

?-=????=??平方相加消去参数t 得到2211x y a a ????

-+ ? ?????=，

即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()2

22x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，

再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=．

（2）3C 的极坐标方程()5π

3

θρ=∈R ，

将π6θ=

，5π3

θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ=，2a ρ=，

则OMN △的面积为21ππsin 263a ??

??+= ???2a =． 23．【答案】（1）35,,22????

-∞-+∞ ? ?????

；（2）见解析．

【解析】（1）()41f x x >-+可化为241x x ->-+，即124x x ++->， 当1x ≤-时，()()124x x -+-->，解得3

2

x <-；

当12x -<<时，()124x x +-->，无解； 当2x ≥时，124x x ++->，解得5

2

x >． 综上可得32x <-或5

2

x >，

故不等式()41f x x >-+的解集为35,,22????

-∞-+∞ ? ?????

．

（2）∵a ，10,2b ??∈ ???，∴121

2226f f a b a

b ????+=-+-= ? ?????，即1210a b +=，

∴12222422b b a a a b a b ?

???++=+

+≥+ ???????， 当且仅当

22b a a b =

，即15a =，2

5b =时取等号， ∴1042b a ?

?+≥ ??

?，即225b a +≥．