2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高二预赛试卷及答案
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
（高二年级）
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）
1．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为
3
1．
2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．
3．若66554433221032)2(x a x a x a x a x a x a a x x ++++++=--，则=++531a a a －4 ． 4．已知顶角为?20的等腰三角形的底边长为a ，腰长为b ，则
2
3
3ab
b a +的值为 3 ．
5．设∈-==n n b a n n n (15,2N *，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元
素的个数为 504 ．
6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，?=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=?AC AP ，
1=?AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，=
∠CAP tan 2
7
．
7．已知正三棱锥ABC P -的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为 1 ．
8．函数)11)(211()(2
+-+-++=x x x x f 的值域为]8,22[+
．
9．已知21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线
段AB 上，则2
1PF PF ?的最小值为5
11-． 10．使得21+p 和2
1
2+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．
二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）
11．设平面点集}0)2518
()(|),{(≥-?-=x
y x y y x A ，}1)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x B ．若B A y x ∈),(，求y x -2的最小值．
解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .
令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵
截距.
易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）
因为点P 在圆2
2
(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为
(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2
π
θπ∈
.
又点P 在曲线1825y x =
上，所以有18
(1cos )(1sin )25
θθ++=， 即7
sin cos sin cos 025
θθθθ+++=. ………………………………………（10分） 设sin cos t θθ+=，则21sin cos
(1)2t θθ=-，代入得217
(1)0225
t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos 5
θθ+=. ………………………………………（15分）
结合22
sin cos 1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin 5
θ=，3cos 5θ=-．
所以，点P 的坐标为29(,)55，2z x y =-的最小值为min 29
2155
z =?-=-． ………（20分）
12．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足∈-=n a T n n ,1N *． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设22
221n n T T T S +++= ，求证：3
1
2111-<<-
++n n n a S a ． 解 （1）易知2
1
11==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即n
n n a a a -=
-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分） 所以112
111111111
+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故
1
111+=+-=n n
n a n ． ………………………………………（10分）
（2）由（1）得1
1
21+==n a a a T n n ．
一方面，2
22)1(1
3121++++=n S n 2
12121)2)(1(14313211-=+-=++++?+?>+n a n n n ；……………（15分） 另一方面，
41)1(1
4131
4
1
21
222-
++
+-+
-
<
n S n 3
213
2
)
2
3
)(21(127
251
25231
+
-=
+++
+?+
?=
n n n ．
又3
131212132321
3
21-=-++=+-<+
-
+n a n n n n ． 所以 3
1
2
1
11-<<-
++n n n a S a ． ………………………………………（20分）
13．过直线0132=+-y x 上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线x y 82=的两条切线， N M ,为切点，直线AN AM ,分别与y 轴交于点C B ,．
（1）证明直线MN 恒过一定点；
（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设),(00y x A ，11(,)M x y ，22(,)N x y .
抛物线x y 82=的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：
)(411x x yy +=．而AM 过),(00y x A ，故
)(41010x x y y += ①
①式说明直线)(400x x y y +=恒过点),(11y x M ．
………………………………………（5分）
同理可证得直线)(400x x y y +=恒过点),(22y x N ．
故直线)(400x x y y +=过N M ,两点，则直线MN 的方程为：
)(400x x y y +=．
又13200-=y x ，代入)(400x x y y +=中，得)13(4)8(0-=-x y y ．
所以直线MN 恒过定点)8,13(． ………………………………………（10分）
（2）直线AM ：)(411x x yy +=与y 轴交于)4,0(1
1y x
B ．
抛物线x y 82=的焦点为)0,2(F ，则1
111
22004y x y x k BF -=--=，又14
y k BA =
，则1821
1-=-=?y x
k k BF BA ，所以BA BF ⊥.
同理可证CA CF ⊥．所以F C B A ,,,四点共圆，且AF 为直径．
因此，△ABC 的外接圆恒过定点)0,2(F ． ………………………………………（15分） 在AF 和直线0132=+-y x 垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：)2(20--=-x y ，
与0132=+-y x 联立，求得)6,1(-A
，则||AF =.
所以，△ABC
． ……………………………………（20分）