Nearest Manifold Approach for Face Recognition”, The
非线性动力学之一瞥_Lorenz系统
非线性动力学 非线性系统之一瞥——Lorenz系统 2013-01-30
0 前言 0.1非线性系统动力学 线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。 非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。 0.2洛伦兹方程 洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。洛伦兹方程如下。 方程中，、和都为实参数。实参不同，系统的奇点及数目也是不同的。
1 奇点和稳定性 1.1 奇点 洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。首先，一定是系统的奇点。时，当时，系统仅有一个奇点；当时，系统还有另外两个奇点。 下面仅解时的两个非原点奇点。令 方程第一式得，第三式可得，将两式代入第二式得 即，。 1.2 奇点稳定性判别 下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大围渐进稳定的条件，取Liapunov函数。考虑，的情况。则有 将洛伦兹方程 代入上式，可得 变换为二次型，系数矩阵为
已知，，则系数矩阵负定的条件是。所以该系统是大围渐进稳定的条件是，前提是，。 Liapunov函数V总是存在的，只要构造出合适的Liapunov函数，就可以通过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性，而不需要求解非线性方程组。有的Liapunov函数不易构造，则可以通过奇点处导算子的特征值来判断：若所有的特征值实部都小于0，则方程组在该奇点是局部渐进稳定的；若特征值实部至少有一个为正，该奇点是不稳定的。仍以洛伦兹系统为例，求出导算子的特征值。 特征矩阵的行列式（特征方程）为 特征值 显然，当，时，，，要使方程在原点处渐进稳定，必须小于0，因此 两边同时平方可得 因此
现代控制理论的若干进展及展望_陈翰馥
现代控制理论的若干进展及展望 陈翰馥郭雷 (中国科学院系统科学研究所,北京100080) 摘要首先对近年来现代控制理论在非线性系统控制、分布参数系统控制、系统辨识、随机与自适应控制、稳健控制与分析、离散事件动态系统以及智能化控制待方向上的国内外主要进展及研究热点作了简要介绍;然后对现代控制理论领域的几个主要特点和发展趋势作了概述;最后,简述了国内控制理论研究的状况及发展前景。 关键词非线性系统分布参数系统系统辨识自适应控制稳健控制鲁棒控制 控制理论是关于各种系统的一般性控制规律的科学.它研究如何通过信号反馈来修正动态系统的行为和性能,以达到预期的控制目的.实际系统往往含有许多未知的不确定性因素,为了对它进行有效的控制,就要对它进行辨识、建模或跟踪,对量测信号进行包括滤波、预测、状态估计在内的各种科学处理,然后设计反馈控制规律,使系统的某些性能达到预期的最优指标[1]. 自动控制的历史可分为下列4个时期[2]:1)早期(~1900);2)预古典期(1900~1940);3)古典期(1935~1960);4)现代时期(1955~).古典控制理论主要讨论单输入/单输出线性系统,代表性的理论和方法包括Routh_Hurw itz稳定性判据,Ny quist分析、Bode图、Ziegler_ N ichols调节律和Wiener滤波等.单复变函数论和平稳过程理论等是古典时期重要的数学工具.进入现代时期后,随着研究范围及深度的扩大,控制理论几乎涉及到所有的数学分支,以至作为自动控制技术基础的控制理论,也被认为是应用数学的分支之一.现代控制理论诞生的标志包括前苏联数学家 à????′o?的极大值原理,美国数学家Bellman的动态规划和Kalman的递推滤波以及能控性、能观测性、反馈镇定等代数理论的出现等. 本文拟对近期国内外控制理论的若干进展与热点,以及它的特色与趋势进行简要介绍.由于篇幅和作者的知识面及研究兴趣所限,难以做到面面俱到,不周之处望读者谅解. 1进展与热点 近年来,控制理论在非线性系统控制、分布参数系统控制、系统辨识、随机与自适应控制、稳健控制与分析、离散事件动态系统、智能化控制等几个主要方向上取得了重要进展.预计今后若干年内,这些方向仍将是控制理论发展的中心.下面分别对它们的主要进展、热点及问题进行简要介绍: 1.1非线性系统控制 在非线性控制方面,对仿射非线性系统[3],证明了用状态非线性反馈及局部微分同胚把它线性化的充分必要条件,它是用Lie代数、分布等来表达的,并且在机械臂、直升飞机与电力系统控制等一些实际工程问题中得到应用.因此,在工程设计中可以用反馈等价的线性系统来取代非线性模型.近年来,借助于几何理论得到了较好的一般非线性系统线性化结果.但至今有关的实用结果大都是局部的.如何求有效的全局解,以及反馈镇定、反馈解耦等,都是非线性控制系统中引人注目的问题.和线性系统不同,对非线性反馈设计目前还缺乏统一理
第二章 非线性微分方程动力系统的一般性研究
1 第二章 非线性微分动力系统的一般性研究 在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。 本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统： ()dx x f x dt '== (2.1) 其中n x R ∈，()f x 是定义在某个开集n G R ?中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。 2.1 常点流、直化定理 本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。 定理2.1 设有定义在开集n G R ?上的动力系统(2.1)，0x G ∈是它的一个常点，则存在0x 的邻域0()U x 及其上的r C 微分同胚α，它将0()U x 内的流对应为n R 内原点邻域的一族平行直线段。 证明：由于0x 是常点，0()f x 是n R 中的非零向量，通过非奇异线性变换β（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将0x 对应为新坐标系的原点，且0()f x 化为列向量 (1,0,,0)T L （简记为(1,0)T r ），其中T 表示向量的转置，0r 代表(1)n -维零向量，而微分系统可化为 (),(0,0)(1,0)T x f x f ββ==r r & (2.2) 与此同时，0x 的邻域V ，在线性变换β的作用下化为
专业综合(基础数学)
《基础数学》专业博士生入学考试大纲 课程名称：专业综合 一、考试要求 1．在以下6个科目中选择二个科目（专业基础与专业综合不能选同名的科目），每科25分，共50分： 泛函分析、抽象代数、现代数值分析、概率论、常微分方程、偏微分方程。 2．各科目要求：要求考生全面系统地掌握所选科目的基本知识，具备较强的分析问题与解决问题的能力。 二、考试内容 1．泛函分析： 1) 度量空间、赋（准）范线性空间、内积空间的基本定义，基本定理，基本性质及这些空间的具体例子；凸集与Minkowski泛函的定义及基本性质。 2) 算子和泛函的线性性、有界性、连续性的定义、关系、基本性质；Riesz定理及应用。 3) 纲，开映像定理与闭图像定理及推论（含Banach逆算子定理等），共鸣定理及应用。 4) 线性泛函的延拓定理及其几何形式。 5) 共轭空间（含例子）与共轭算子，以及二次共轭空间与空间的自反性，弱收敛及弱* 收敛，弱列紧性及弱*列紧性。 6) 线性算子的譜的定义和例；紧算子的定义和基本性质。 2．抽象代数： 1) 群论：在掌握群、子群、正规子群、商群等概念和有关性质及群同态基本定理的基础上，要求应试者进一步了解与掌握：作用在集上的群；p群?Sylow子群；可解群与Jordan-Holder定理；有限生成Abel群的结构。 2) 环论：在掌握环、子环、理想、商环等概念和有关性质及环同态基本定理的基础上，要求应试者进一步了解与掌握：交换环中的素理想、极大理想的基本性质，交换环中的可逆元，幂等元，零因子等的基本性质；交换环的大根与小根；有关交换环的局部化理论；链条件；分式理想与类群。 3) 模论：模与模同态；Hom与 ；直积与直和；自由模、投射模、入射模；正合列与交换图；一些特殊环上的模。 4) 域论：单纯扩张与有限扩张；分裂域，正规扩张；可离扩张；有限域；有限扩张的
分支理论
三维Hopf 分支 定理1 考虑系统 ()3,,.dx F x x R dt λ=∈（1.1） 设(),F x λ在3R R ?包含原点的一个领域U 内解析，()0,0,F λ= ()()0,A DF λλ=有特征值()()i αλβλ±和()()()(),00,00,00,δλαβδ=>< '0.α>则有下列结论： （1）若（1.1）式的原点当0λ=时是稳定而不渐近稳定的平衡点时，则方程（1.1）的解在原点邻域内的某一曲面上全是闭轨； （2）若（1.1）的原点当0λ=时是渐近稳定（不稳定）的平衡点，则对充分小的0λ>()0λ<，（1.1）在原点的邻域内有渐近稳定的闭轨. 证 不妨假设(),F x λ在0x =的导算子形式为 ()101 0,001A λλλ-?? ?= ? ?-?? 否则可以通过线性变换化为这一形式.在（1.1）中增添一个方程后得四维系统 ()()()112112322221233331230, ,,,,,,,,,,,,d dt dx x x F x x x dt dx x x F x x x dt dx x F x x x dt λλλλλλ?=???=-+???=++???=-+?（1.2） 其中()()123,,, 1,2,3k F x x x k λ=在()0,0,0,0点的一个邻域内解析，且是()123,,x x x 的高次项. 系统（1.2）满足中心流形定理的条件，所以有常数0η>和在
上定义的任意阶连续可微函数()312,,,x h x x λ=它满足()0,0,00,h = ()()()120,0,00,0,00,0,00,0,.h h x x λ ???==??? 且集合()(){}2222121212,,,,,S x x h x x x x λλλη=++<是（1.2）的不变流形. 从中心流形满足的偏微分方程还可得到()0,0,0.h λ=将()12,,x h x x λ=代入（1.2）前三个方程（1.2）的中心流形上解所满足的方程为 ()()()()11211212222212120, ,,,,,,,,,,,.d dt dx x x F x x h x x dt dx x x F x x h x x dt λλλλλλλ?=???=-+???=++?? （1.3） 从（1.3）的第一个方程看出，在中心流形上λ保持为常数，故（1.3）可简化为 ()()112112222212,,,,,,dx x x f x x dt dx x x f x x dt λλλλ?=-+????=++??（1.4） 其中()()()()121212,,,,,,,1,2.k k f x x F x x h x x k λλλ==由定理的条件知 ()()12,,1,2k f x x k λ=是C ∞类函数，且 ()()()0,0,00,0,0,00,1,2,k k f F k === ()()()()30,0,00,0,0,00,0,0,00,0,00,0.1,2.k k k j j j f F F h j x x x x ????=+==???? （1.4）满足平面分支定理的条件，，故由学过的定理可以得到在三维空间的曲面()312,,x h x x λ=上存在（1.1）的周期解.定理1 中的情况（1）或（2）的区分及周期解的稳定性可以通过讨论（1.4）周期解的稳定性再用中心流形的简化原理得出.
《分岔与混沌理论及应用》阅读
总览 1运动稳定性理论 在实际应用中，微分方程所描述的是物质系统。从实际问题中提出的微分方程，人们分为两部分：主要因素、次要因素（干扰因素）。从数学角度来看，主要因素引起初值的变化，而次要因素引起微分方程本身的变化。这里所研究的问题是：初始条件或微分方程本身的微小变化是否只引起对应解的微小变化，或者是否会由于初始条件或微分方程微小变化使得对应的解发生很大的变化。 对于一些运动，微小的干扰带来的影响并不显著，受干扰的运动与不受干扰的运动超别很小，这类运动为稳定的运动；对于令一下运动，无论干扰有多小，随着时间的发展，受干扰的运动与不受干扰的运动相差很大，这类运动为不稳定运动。 稳定性定义：如果对于任意小的正数ε，总存在正数()ηε，使得对于所有受干扰的运动()(1,2, ,)i i y y t i n ==，当其在初始时刻0t t =时满足不等式 00()()()(1,2,3,,)i i y t y t i n ηε=≤= 而在所有0t t ≥时，满足不等式 ()()(1,2,3,,)i i y t y t i n ε-<= 则未受干扰的运动就称为对变量是稳定的。 ()i i y y t =为初始运动；()i i y y t =为受n 维扰动向量η干扰的运动。 2分岔的基本概念 分岔理论研究非线性常微分系统由于参数的变化而引起的解的不稳定性从而导致解的数目的变化的行为。如果一个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓扑发生突然的质的变化，这种值的变化称为分岔。 处理局部分岔的一般步骤为：对于一个高维系统，通常先用L-S 方法或中心流形定理将其降维，再用范式理论将其简化，从而得到最简形式的约化方程，之后用奇异性理论处理静态的分岔。 全局分岔：除了依靠竖直计算外，主要依靠根据相空间里各平衡点/闭轨的局部分岔性得出轨线的局部流向，并进行行综合以推测出相空间全局的轨线性态。 3混沌理论 对于一个确定性动力系统施加确定性的输入，则该系统的输出一定是确定的。但对于非线性系统，则可能出现一种无法精确重复、貌似随机的运动，人们称之为混沌。 混动运动是一种不稳定的有限定常运动，局限于有限区域但轨道永不重复，也被描述为具有无穷大周期的周期运动。混动运动时确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，但对于这样的系统也只有当系统参数处于某一范围时才表现为混沌运动，在其他情况下仍然表现为通常的确定性运动。 由于混沌遇到弄的不确定性，多数情况下人们希望避免混沌运动的发生，因此混沌控制主要集中于消除和抑制混沌现象。