对一道竞赛预选题的探究

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对一道竞赛预选题的探究

作者：祁木秀

来源：《中学生数理化·学研版》2014年第07期

图1

题目如图1，在一条直线l的一侧画一个半圆Γ，分别过半圆Γ上两点C，D作Γ的切线

与l交于点B，A且使Γ的圆心在线段AB上，AC与BD交于点E，过E作EF⊥l于点F.求证：EF平分∠CFD.

这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题.

笔者通过探究，发现了几个结论，现介绍如下.

一、对预选题的探究

在预选题中，A，B是半圆的两切线与直线l的交点，有EF平分∠CFD.笔者心里就想，如果改变条件，假设A，B是半圆与直线l的交点，是否也会有某种结论呢？经过探究，得到如下结论.

图2

定理1如图2，A，B是圆O：x2+y2=r2与x轴的两交点，C，D是圆上异于A，B的任意两点.分别过C，D作圆的切线交于点P，直线AC，BD交于点E，直线AD，BC交于点F，则：

（1）PE⊥x轴；

（2）F在直线PE上；

（3）P是线段EF的中点.

证明：（1）设P（x0，y0），C（rcosα，rsinα），D（rcosβ，rsinβ），则切线PC，PD的方程分别为rcosα·x+rsinα·y=r2，rcosβ·x+rsinβ·y=r2.

因为点P（x0，y0）在两切线上，

所以cosα·x0+sinα·y0=r

cosβ·x0+sinβ·y0=r，