北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学理试题

北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷

（理科）

一、选择题：（本大题有8道小题，共40分，每小题5分）

1. 已知集合{}

R x x y y M ∈+==,12

，{

}

1+=

=x y x N ，则=N M （ ）

A. ()10，

B.

(){}1,0 C. {}1-≥x x D. {}1≥y y

2. 若函数()?????>≤=1

,log 1

,3

cos 2x x x x

x f π则()()=2f f （ ） A.

2

1

B. 1

C. 23

D. 3

3. 定义在R 上的函数()x f 在区间()2,∞-上是增函数，且()2+x f 的图象关于1=x 对称，则（ ）

A. ()()15f f <

B. ()()15f f >

C. ()()15f f =

D. ()()05f f = 4. 设复数i z -=1，则

=+-1

43z i

（ ） A. i +-2 B. i -2 C. i 21+- D. i 21-

5. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）

A.

35a a B. 35S S C. n n a a 1+ D. n

n S S

1+

6. 已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积V 的大小为（ ）

A.

3

35

B. 12

C.

3

40

D. 16 7. 已知点()y x P ,的坐标满足条件??

???>-+≤≤02221y x y x ，那么()2

21y x ++的取值范围为（ ）

A. []8,2

B. (]8,2

C. ??????8,516

D. ??

?

??8,516

8. 过点()2,11A 作圆0164422

2

=--++y x y x 的弦，其中弦长为整数的共有（ ）

A. 16条

B. 17条

C. 32条

D. 34条

二、填空题：（本大题有6道小题，共30分，每小题5分）

9. “函数()3+=ax x f 在[]2,1-上存在零点”的充要条件是 。 10. 若dx x a ?

=

2

2，dx x b ?=20

3，dx x c ?=2

sin ，

则c b a ,,从小到大的顺序为 。 11. 函数()??

?

?

?

+

=3sin 2πωx x f ()R x ∈，()2-=αf ，()0=βf ，且βα-最小值等于

2

π

，则正数ω的值为 。 12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为

90，点C 在以O 为圆心的劣弧?

AB 上运动，若=x +y ，其中R y x ∈,，则xy 的取值范围是 。 13. 如果执行如图所示的程序框图，输入1-=x ，3=n ，则输出的数=S 。

14. 若数列{}n a 的通项公式()

2

11

+=

n a n ，记()()()n n a a a c ---=111221 ，试计算

=3c ，推测=n c 。

三、解答题：（本大题有6小题，共80分）

15. （本小题13分）在ABC ?中，已知()C A A B +=sin cos sin 2 （1）求A ∠；

（2）若2=BC ，ABC ?的面积是3，求AB 。

16. （本小题13分）如图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，

22==AD AB ，点E 为AB 的中点。

（1）求证：1BD ∥平面DE A 1；

（2）求证：E D 1⊥D A 1；

（3）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6

π

？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

17. （本小题13分）某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客若一次付款，其利润为1万元；若分2期付款或3期付款，其利润为1.5万元；若分4期付款或5期付款，其利润为2万元。用η表示经销一辆该品牌汽车的利润。

用分3期付款”的概率()A P ；

（2）求η的分布列及其数学期望()ηE 。 18. （本小题14分）已知函数()x x x f ln =， （1）求函数()x f 的极值点；

（2）若直线l 过点()1,0-，并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；

（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值（其中e 为自然对数的底数）。

19. （本小题14分）已知椭圆C ：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为

2

3

，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点）

，求直线l 的斜率k 的取值范围； （3）过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆C ：122

22=+b

y a x )0(>>b a 相交于

Q R S P ,,,四点，

设原点O 到四边形PQSR 的一边距离为d ，试求1=d 时b a ,满足的条件。 20. （本小题13分）设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。

（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的

各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1

（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和

与每列的各数之和均为非负整数，求整数

．．a的所有可能值；表2

个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以（3）对由m n

后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由。

【试题答案】

一、选择题： 1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C 7. D 8. C

二、填空题： 9. 3≥a 或2

3

-

≤a 10. b a c << 11. 1 12. ??

????21,0

13. 4- 14.

4

5 1

2

++n n

三、解答题： 15. （1）3

π

=

∠A ；（2）2=AB

16. （1）略；（2）略； （3）存在点M ，332-=AM ，使二面角D MC D --1的大小为6

π

17. （1）()896.0=A P ； （2）η的分布列为

()4.1=ηE

18. （1）e

x 1

=

是函数的极小值点，极大值点不存在； （2）1--x y ；

（3）当1a ≤时，()g x 的最小值为0； 当12a <<时，()g x 的最小值为1a a e -- 当2a ≥时，()g x 的最小值为ae e a -+

19. （1）11

42

2=+y x

（2）???

? ?????? ??--∈2,2323,2 k （3）11122=+b

a 20.

（1）解：法1：

421237

1237

1237

210

1

2101

2101

-?????→

?????→

----改变第列

改变第行

法2：

241237

1237

1237

210

1

2101

2101

--?????→

?????→

----改变第行

改变第列

法3：

141237

12371237

210

1

2

10

1

2

101

----?????→

?????→

--改变第列

改变第列

……3分

（2）每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1； ①如果首先操作第三列，则有

222

2

1212a a a a a a a

a -----

则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以12a ≤

或5

2

a ≥ 当1

2

a ≤时，则接下只能操作第一行，

22

22

1212a a a

a a a a a ------

此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =-

当5

2

a ≥时，则接下操作第二行，22221212a a a a a a a a ------

此时第4列之和为负，不符合题意。 ……6分 ②如果首先操作第一行，则有

22

22

1212a a a a a a a a -----

则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a

当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，

所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求

综上：0,1a =- ……9分

（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数。证明如下：

记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n == ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a ，

各列的数字之和分别为12,,,n b b b ，12m A a a a =+++ ，12n B b b b =+++ ，数表中m n ?个实数之和为S ，则S A B ==。记

{}

112211221min 11(1,2,,)0

|i i n in l i i n in i m

K k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠ 或且{

}

112211221min 11(1,2,,)0|

j j m mj s j j m mj j n

T t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠ 或且

{}min ,K T λ=。

按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正，都会引起A （和B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S 必然小于等于最初的数表中m n ?个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 ……13分