高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修2-2讲义

高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的

引入教材习题点拨 北师大版选修2-2

教材习题点拨

练习(P 101)

1.解:(1)1＋2i 实部为1,虚部为2,它是虚数; (2)21-+23i 实部为21-21-,虚部为2

3,它是虚数; (3)（3-1）i 实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;

(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.

思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.

2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0?????=-=????==+-?.

4,23,4,032y x y x (2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i ???

????-=-=????-=+=-?.85

2,43,62,323y x y x y x

思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.

3.解:A 点表示的复数是4+3i,B 点表示的复数是-3+2i,C 点表示的复数是-4-3i,D 点表示的复数是-3i,E 点表示的复数是3-2i.

思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.

4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.

思路分析:(1)点Z 位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z 位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z 位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z 位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.

5.

解:(1)|z 1|=2212)5(+-=13;(2)|z 2|=41)5(422=-+;(3)|z 3|=22)1()3(-+=2

.

思路分析:利用公式|z|=22b a +计算即可.

习题51(P 102)

A 组

1.解:(1)复数（m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为实数的充要条件是:m 2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;

(2)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为纯虚数的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4≠0,可以得出m=3;

(3)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为零的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4=0,可以得出m=-1.

2.解:(1)???=-=???-==????=-=+,

7,1.1,7,7,6y x y x xy y x 或 (2)???=-=???-=-=???==?

??-==??????=-+=--.1,1,4,1,1,5,4,5,043,05422y x y x y x y x y y y x 或或或 思路分析:利用复数为零或复数相等的条件列出方程组,解出相应的未知数即可.

3.解:如下图

:

-1+2i 对应的点为A,23+2

1i 对应的点为B,3i 对应的点为C,5对应的点为D. 思路分析:复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部,依据相应的数据分别画出各点即可.

4.解:(1)|3-4i|=22)4()3(-+=5; (2)|21-23i|=22)2

3()21(-+=1; (3)|-6|=6;

(4)|-5i|=5.

思路分析:利用求复数模的公式即可.

B 组

解:(1)点Z 不在实轴上实际上就是要求m 2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠-1.

(2)点Z 位于虚轴上,实际上就是要求m-1=0,由此可以得出m=1.

(3)点Z 在实轴下方,实际上就是要求m 2-4m-5<0,由此可以得出-1

(4)点Z 在虚轴右方,实际上就是要求m-1>0,由此可以得出m>1.

STS

数的概念的五次扩充

数的概念是现代数学的基本概念之一,它是人类由于生产和生活的实际需要而逐步形成并加以扩展的.

人类最初为了实际需要,要对某种物体的集合作出量的估计.随着经验的积累,人们逐渐形成了“多少”的概念.但在这个历史时期里,数还没有被人们从具体的事物中分离出来. 随着历史的发展,人们千百万次地重复进行比较和计算,最后才把数与具体事物相分离,引进了数字符号.希腊人已经知道了自然数1,2,……的集N .公元6世纪,印度数学家运用了“0”.

我国古代也在筹算中利用空位来表示“0”.引进数0,把自然数集扩充成为扩大的自然数集,即非负整数集.

生产、生活的发展,对于像长度、时间、重量等量,仅用自然数就不能把它们完全表示出来,这便促使人们引进正分数,形成非负有理数集,即算术数集.这是数的概念的第二次扩充.希腊人知道了正有理数q

p (p,q 为正整数).

由于表示具有相反意义的量的需要,在算术数的基础上,引进负数形成有理数集,这是数的概念的第三次扩充.阿拉伯人受印度的影响而发明了代数之后,提出了求解像3x+2=0一类的方程,“负数”也就应运而生了.我国古代数学巨著《九章算术》第八章“方程”章里,提出了“正负术”,完整地叙述了正负数的不同表示法和正负数的加减法则.

公元6世纪,希腊数学家毕达哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长,去度量这个正方形的对角线时,发现两者是不能用分数表示.为了解决这个矛盾,导致了无理数概念的产生.这是数的概念的第四次扩充.

15世纪中叶,欧洲工商业的繁荣与发展提出了大量的、新的数学问题.1545年,意大利数学家卡丹在解三次方程中引用了负数开平方的运算,并引进了新的数——虚数i=1 .但许多数学家都不承认这种新数.1572年意大利邦别利第一次在代数里给复数的运算以正式的论据,1777年数学家欧拉建立了复数的系统理论,对这种数才有了进一步的认识.这是数的概念的第五次扩充.