上海市浦东新区2014届高三数学一模试卷(理科,含答案)

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷（理卷）

2014.1

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，

否则一律得零分.

1. 221

lim 2n n n n

→∞+=-___________. 2. 不等式

01

x

x <-的解是___________. 3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________. 4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.

5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.

6.已知函数11()24x

x

f x -=

的反函数为1

()f

x -，则1(12)f -=___________.

7.已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈?是 实数，则12z z +=___________. 8．二项式291()x x

-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.

9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于AB 的长为___________. 10. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.

11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）.

13. 用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 有为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =?I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．

14. 已知函数*

*

(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15.设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（ ）

(A) 22a b > (B)

11

a b

< (C) 2a ab > (D) 22a b > 16. 方程5log sin x x =的解的个数为（ ）

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

17.已知函数,1

)(22

+=x x x f 则

()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ??

??????

++++++

+++= ? ? ? ???

??????

K L （ ）

(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132

1

18. 如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于

圆内一点,若OC mOA nOB uuu r uu r uu u r

=+，则（ ）

(A)01m n <+<； (B)1m n +>；

(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD

，2SD AD == （1）求证：AC SB ⊥； （2）求二面角C SA D --的大小.

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2

cm W I 为声音能量.

（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为213

/10

cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说

话，声音能量为212

/10

cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，

一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，

设1()22

A 是单位圆上一点，

一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设

(,)

P x y ，其纵坐标满足

()sin()()2

2

y f t t π

π

ω??==+-

<<

.

（1）求点B 的坐标，并求()f t ；

（2）若06t ≤≤，求AP AB ?

的取值范围.

22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知实数0a >

，函数()f x =（1）当1a =时，求()f x 的最小值;

（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；

（3）求实数a

的范围，使得对于区间5

5?-???上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.

23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

设项数均为k （*

2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U . 已知集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k - .

（1）已知n

n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式； （2）若22

n

n n S T n -=+*(1,)n k n N ≤≤∈，试研究4k =和6k ≥时是否存在符合

条件的数列对（}{n a ，}{n b ），并说明理由；

（3）若*

2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.

x

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷答案（理卷）

2014.1

一、填空题. 1.

1

2

2. 01x <<（或(0,1)）

3. 32n -

4. 1

5. 30

6. 2log 3

7. 8． -126 9. 10. 15π

11. （理）

4

7

12. 1＜a ＜4 13. 96 14.6 二、选择题

15. D 16. B 17. D 18. B

三、解答题

19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCD

AC ?平面ABCD

∴AC ⊥SD ………………4分

又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD

∴AC ⊥SB . ………………6分

（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD =AD ，CS =CA , ∴DE ⊥SA ， CE ⊥SA .

∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分

计算得：DE ，CE ，CD ＝2，则CD ⊥DE .

cos CED ∠=

CED ∠=

所以所求二面角的大小为arccos 3

.………12分 20.解：（1）32132D D D =+

)lg (3)lg (2lg 321b I a b I a b I a +=+++∴ …………………………2分 321lg 3lg 2lg I I I =+∴ ………………………………………………4分 3

32

21I I I =?∴ …………………………………………………6分

（2）由题意得?

??=+-=+-401230

13b a b a ………………………………………8分

??

?==160

10

b a ………………………………………10分

∴120160lg 10100<+

1010

--<

答：当声音能量)10,10(4

6

--∈I 时，人会暂时性失聪. ………………………………14分 21、解: (1)当2t =时，22123

AOB ππ∠=?

=， 所以2

XOB π

∠=

所以，点B 的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分 又t 秒时，6

6

XOP t π

π

∠=

+

………………………………………………………4分

sin ,(0)6

6y t t π

π??∴=+≥ ???. …………………………………………………………6分

（2

）由1,22A ?? ? ???，(0,1)B

，得1,22AB ??

=- ? ???

， 又cos ,sin 666

6P t t πππ

π??????++

? ? ???????，

1cos 66662AP t t πππ

π??????∴=++- ? ? ? ???????

，…………………………8分

311sin 466426

6AP AB t t π

πππ????∴?=+-++ ? ????? 1sin 2663t πππ??=

++- ???1sin 26

6t π

π??=+- ???………………………………10分 06t ≤≤，5,6

666t π

π

ππ??∴

-

∈-????，1sin ,16

62t π

π????∴-∈- ??????? …………12分 所以，AP AB ? 的取值范围是30,2??

????

………………………………14分

22、解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.

（1）1a =时, (

)f x ==………………………2分

0x =时(

)f x = 2. ………………………4分 （2）1a =时, (

)f x == [)0,1x ∈时， ()f x 递增； (]1,0x ∈-时，()f x 递减； ………………………6分

()f x 为偶函数.所以只对[)0,1x ∈时，说明()f x 递增.

设1201x x ≤<<

0>>

<

()(

)120f x f x -=

<

所以[)0,1x ∈时， ()f x 递增； ……………………………………………10分

（3

）t =

1,[,1]553x t ?∈-∴∈???

，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1

[,1]3

上，

恒有min max 2y y >. ……………………………………………………………11分

①当109a <≤

时，a y t t =+在1

[,1]3

上单调递增， min max 13,1,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得1

15

a >，

从而11159a <≤； …………………………………………………………………12分

②当1193a <≤时，a y t t =+

在1

[3

上单调递减，在上单调递增，

min max 1

max{3,1}13

y y a a a ∴==++=+，

由min max 2y y >

得77a -<<+从而11

93

a <≤；……………………13分

③当113a <<时，a y t t =+

在1

[3

上单调递减，在上单调递增，

min max 11

max{3,1}333

y y a a a ∴==++=+，

由min max 2y y >

得

7799a -+<<，从而113

a <<； …………………14分

④当1a ≥时，a y t t =+

在1

[,1]3

上单调递减， min max 1

1,3,3

y a y a ∴=+=+

由min max 2y y >得53a <，从而5

13

a ≤<；……………………………………………15分

综上，15

153

a <<. …………………………………………………………………16分

23、解：（1）1=n 时，411==U c

2≥n 时，111222)1(222---+=---+=-=n n n n n n n n U U c ，41=c 不适合该式 故，1

4,1

22,2n n n c n k -=?=?+≤≤?

…………………………………………………………4分 （2）11114a b S T -=-=，

2n ≥时，1111()()()()n n n n n n n n n n a b S S T T S T S T -----=---=---

1

1222(1)2

22n

n n n n --=+---=+ ……………………6分

当4k =时，114a b -=，224a b -=，336a b -=，4410a b -=

12341234{,,,,,,,}a a a a b b b b ={2,4,6,8,10,12,14,16}

数列}{n a 、}{n b 可以为（不唯一）：

① 6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16,10,8,14；12,6,2,4 …………………8分 当6k ≥时，1

1122

222(11)k k k k k a b ---=++>+=++

1

2

2

1

111112k k k k k k k C C C C C -------=++++++

0122

11122()4k k k C C C k k ---≥+++=-+(1)(4)44k k k k =--+> 此时k a 不存在. 故数列对（}{n a ，}{n b ）不存在. ………………………………10分 另证：1

122

224284k k k k k a b k k --=++>+>?>-

当6k ≥时，01

2

1

01

222()k

k k k k k k

k k k k C C C C C C C C -=+++++>++ 2284k k k =++≥-

（3）令42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*

1,n k n N ≤≤∈） …………………12分

(42)(42)2n n n n n n d e k b k a a b n -=+--+-=-=

又1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,4}k ，得

1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-

={2,4,6,,4}k

所以，数列对（}{n a ，}{n b ）与（}{n d ，}{n e ）成对出现。 ……………………16分 假设数列}{n a 与}{n d 相同，则由22242d k b a =+-=及422=-b a ，得223a k =+，

221b k =-，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对。 ……………………18分