武汉大学2014年线性代数真题

武汉大学２０１４年线性代数真题

一．由120

0130000020

010A ?? ? ?= ? ?-??，且11[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算0

111

2

1211n n

n

n n n s s s s s s x D s s s x -+-=

，其中12k k k k n s x x x =++ . 三．有121,,,,s s αααα+ ，且1

,1,,i i i s t

i s βαα+=+= ，证明如果12,,,s βββ 线性无关，则121,,,s ααα+ 必定线性无关.

四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即

(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=；

(4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.

证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.

五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明2dim(())1n sl F n =-.

六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明

(1)(,')k Hom V V 是线性空间；

(2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．

七．已知0132101010101n n n c c F c c c ----?? ?- ? ?= ?- ? ?- ? ?-?

? ， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ；

（２）求所有与F 可交换的矩阵．

八．设?是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为?的一个特征值，0λ在?的最小多

项式中的重数1000min{|ker()ker()}k k k

m k N λε?λε?++=∈-=-．

九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ?∈，存在唯一的V α∈，使得(,)(),f g V αβββ=?∈．

十．设?是欧式空间V 上的正交变换，且,1m m ?ε=>，记{|()}W x V x x ??=∈=，

W ?⊥

为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ??αβγβγ⊥=+∈∈其中，证明11

1=()m i i m β?α-=∑.