高中数学复习专题之求数列的十种方法

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+?两边除以1

n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以2

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

1(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解： 22(1)

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当

1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的

通项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32

=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =

，证明：1

32n

i i T =<∑

解：（I ）

2111412

2333a S a ==-?+

，解得：12a = ()21111441

22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+

所以数列{}

n a +是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+?

得：42n n

n a =- （其中n 为正整数）

（II ）()()()1114124122

242221213333333n n n n n n n n S a +++=-?+=--?+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++??

==?=?- ?

----??

所以： 11

3113221212n

i n i T +=??=?-< ?--??∑ 三、累加法

例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n

n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211

122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231

n n a a +-=?+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例5已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

111

3333n n n n n a a +++=++，则

111

3333

n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--?，则211

33.322

n n n a n =

??+?- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+?+转化为

111

3333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********(

)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+ ，即得数列3n n a ??????

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。四、累乘法

例6 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

2(1)5n n n

a n a +=+，故13211221

12211(1)(2)21(1)

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出13211221

n n n n a a a a a a a a a ---????? ，即得数列{}n a 的通项公式。例7已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???= ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!

13452

n n a n =?????=

。

所以，{}n a 的通项公式为.2

n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥

转化为

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a a a a a ---???? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。五.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+

例8（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=

即

2*21().n a n N =-∈

例9．已知数列{}n a 中，11a =,1111

()22

n n n a a ++=+，求n a 。解：在1111

()22

n n n a a ++=

+两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令n n n a b ?=2，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=- 所以122

n n n n b n a -=

= 练习. 已知数列}a {n 满足）

（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。（1）求321a a a ，，；

（2）求数列}a {n 的通项公式。

解：（1）33a 13a 5a 321===，，

（2）n 1n n n 1n n 2)1a (21a 12a 2a +-=-?-+=--

1n 21a 121a 21a n

n 1

n 1n n

n +=-?

+-=

∴12)1n (a n n ++=

六、待定系数法

例10已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n n n a x a x +++?=+?

④

将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得

135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。例11 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+ ⑥

将13524n n n a a +=+?+代入⑥式，得

1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+

整理得(52)24323n

x y x y +?++=?+。

令52343x x y y +=??

+=?，则5

x y =??=?，代入⑥式得

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+

⑦

由11522112130a +?+=+=≠及⑦式，

得5220n

n a +?+≠，则115223522

n n n n a a +++?+=+?+，

故数列{522}n n a +?+是以1

152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此

1522133n n n a -+?+=?，则1133522n n n a -=?-?-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。例12 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得

2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++

等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，

解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??

=??=?

，代入⑧式，得

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨

由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠

则212

3(1)10(1)18231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2

{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出

数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。七、对数变换法

例13 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5

123n n n

a a +=??式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++

⑩

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ ○

11 将⑩式代入○11式，得5l g l g 3

l g 2(1)5(l g n n a n x n y a xn y +++++=

++，两边消去5lg n a 并整理，得

(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则

lg35lg 25x x x y y +=??

++=?，故lg 34lg 3lg 2164x y ?

=????=+??

代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (1)5(lg )41644164

n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○12式，得lg 3lg 3lg 2lg 04164

n a n +

++≠，则

1lg3lg3lg 2

lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164

n n a n a n ++

+++=+++

，所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +

++是以lg 3lg 3lg 2

lg 74164

+++为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164

n n a n -+++=+++，因此

111111

1116

164

111111

11111116

55514

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)54164464

(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2

[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)5lg(332)lg(733

n n n n n n n n n n n n a n ---------=+

++---=+++---=???-??=???-??=??1115116

541515116

lg(73

)

n n n n n -------?=??

则11

54151516

n n n n n a -----=??。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg 3lg 3lg 2

{lg }4164

n a n +++是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。八、迭代法

例14已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n n n n a a ++=，所以1

323(1)2321

[]n n n n n n n n

n a a a ---?-??--== 2(2)(1)

(2)(1)

(3)(2)(1)

112(3)(2)(1)

(1)12

3(1)22

3(2)23(1)233(2)(1)23

323(2)(1)213!21

[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a

a a a a

-+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

n n n n n a --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2

n n n a a ++=两边取常用对数得

1lg 3(1)2lg n n n

a n a +=+??，即

lg 3(1)2lg n

n n

a n a +=+，再由

累乘法可推知

(1)12

3!2

13211221

lg lg lg lg lg lg lg5

lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????= ，从而1(1)3!2

n n n n n a --??=。

九、数学归纳法

例15已知数列{}n a 满足11

228(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。解：由122

8(1)

(21)(23)

n n n a a n n ++=+

++及189a =，得

2122322243228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=

?+?+?+?=+=+=

?+?+? 由此可猜测22

(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n =时，212

(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。（2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)

k k a k +-=+，则当1n k =+时， 122

8(1)

(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++ 22222222

222222

222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N

∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法

例16已知数列{}n a 满足111

(14116

n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

(1)24

n n a b =-

故2111(1)24n n a b ++=

-，代入11

(1416

n n a a +=+得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =，故10n b +=≥ 则123n n b b +=+，即113

n n b b +=+，可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -是以13332b -===为首项，以

为公比的等比数列，因此

121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+21

()32n -=+，得

2111()()3423

n n n a =

++。

评注：n b ，使得所给递推关系式转化113

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

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