初三数学二次函数压轴题讲义
科教师辅导讲义
一、例题讲解:
例1:如图,二次函数22
++=bx ax y 的图象与y 轴相交于点A ,与反比例函数x
y 2
=在第一象限的图象相交于D 、E 两点,已知点D 、E 分别在正方形ABCO 的边AB 、BC 上. (1)求点A 、D 、E 的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标.
例题2.如图8,在直角坐标系中,O 为原点.点A 在x 轴的正半轴上,点B 在y 轴的正半轴上,tg 2OAB =∠.二次函数2
2y x mx =++的图象经过点A ,B ,顶点为D . (1)求这个二次函数的解析式;
(2)将OAB △绕点A 顺时针旋转90后,点B 落到点C 的位置.将上述二次函数图象沿y 轴向上或向下平移后经
过点C .请直接写出点C 的坐标和平移后所得图象的函数解析式;
(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y 轴的交点为1B ,顶点为1D .点P 在平移后的二次函数图象上,且满
足1PBB △的面积是1PDD △面积的2倍,求点P 的坐标.
y O
A
C
B x
D
E
y
B
A
x
O
图8
例3:△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=1,D 是边BC 的中点,点E 在边AC 上移动,且在边AB 上截取BF=AE (1)在点E 移动的过程中,四边形AEDF 的面积是否有变化?试说明理由;
(2)联接EF ,在点E 移动的过程中,△DEF 的面积是否会变化?若不会,说明理由;若会,设AE=x ,y DEF =?S ,求y 关于x 的函数解析式和函数的定义域
C A
B
D
E F
例4:如图,二次函数c bx x y ++-
=2
4
1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ,且与y 轴交于点C . (1)试求此二次函数的解析式;
(2)试证明:CAO BAO ∠=∠(其中O 是原点);
(3)若P 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合),过P 作y 轴的平行线,分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、
H 两点,试问:是否存在这样的点P ,使QH PH 2=?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
G
F
E
D
C
B
A
例5:如图,在ABC ?中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点(D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG . (1)试求ABC ?的面积;
(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长;
(3)设x AD =,ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (4)当BDG ?是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.
例6:如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点,其中A 点的坐标为(3,4),B 点在轴y 上.
(1)求m 的值及这个二次函数的关系式;
(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A 、B 不重合),过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点,设线段PE 的长为h ,点P 的横坐标为x ,求h 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB 上是否存在一点P ,使得四边形DCEP 是平行四形?若存在,请求出此时P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
E B
A
C
P
O x
y
D
二课堂练习:
1、2005年上海中考真题(22.本题满分10分,每小题满分各为5分)
在直角坐标平面中,O 为坐标原点,二次函数2
y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C (0,-3),BO =CO (1)求这个二次函数的解析式;
(2)设这个二次函数的图象的顶点为M ,求AM 的长.
2、2007年上海中考真题(22.本题满分12分,每小题满分各6分)
在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为(1
4)A -,,且过点(30)B ,. (1)求该二次函数的解析式;
(2) 将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴
x
y
C
B A -6
-4-2
8642
-6
-4
-264
2
O
的另一个交点的坐标.
3、2008年上海中考真题(24.本题满分12分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分7分)
如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点.二次函数2
3y x bx =-++的图像经过点(10)A -,,顶点为B . (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点B 的坐标;
(2)如果点C 的坐标为(40),,AE BC ⊥,垂足为点E ,点D 在直线AE 上,1DE =,求点D 的坐标.
4.某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP ,柱子顶端P 处装上喷头,由P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示)。若已知OP =3米,喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米,离柱子OP 的距离为1米。 (1)求这条抛物线的解析式;
(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外。
1- 1
1
O
x
y
A
B
C
A
O
三、课后作业
1、解下列各题:
(1)若抛物线m mx x y 22
++=的顶点在y 轴右侧,求m 的取值范围?
(2)已知抛物线()16122++-=x k x y 的顶点在x 轴上,求k 的值?顶点在y 轴上时,k 值又如何?
(3)已知二次函数b x ax y ++=42
的图像的最高点为(2,4),求b a ,的值. (4)已知抛物线122
2
-++-=m m mx x y 的顶点在第三象限,求m 的取值范围?
2、有一座抛物线拱桥,在正常水位时,水面AB 宽24米,拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6米,如图建立直角坐标系xoy (1)求抛物线的表达式
(2)当水面宽度小于18米时,为安全考虑,必须禁止较大船只通过 那么当水位比正常水位高出几米时,就应该对较大船只发出警告?
x
3、如图,已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B . (1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P (m ,m )与点Q 均在该函数图像上(其中m >0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的距离.
4、已知:如图,抛物线()4
22
c x b a x y ++-=,其中c b a ,,分别是ΔABC 的∠A ,∠B ,∠C 的对边。
(1)求证:该抛物线与x 轴必有两个交点
(2)设有直线b ax y -=与抛物线交于E 、F ,与y 轴交于M ,抛物线与y 轴交于N ,若抛物线的对称轴为a x =,
ΔMNE 与ΔMNF 的面积之比为5:1,求证:ΔABC 是等边三角形.
y
N E 0 F x M
x
y
O
3
-
9
-
1 -
1
A
B
5、如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点,顶点为P . (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点P 的坐标; (2)联结PC 、BC ,求BCP ∠的正切值;
(3)能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似?若能,请确定符合条件的点Q 共有几个,并请直接写出它们的坐标;若不能,请说明理由.
6、已知: ABCD 中,对角线AC ⊥AB ,AB =15,AC =20,点P 为射线BC 上一动点,AP ⊥PM (点M 与点B 分 别在直线AP 的两侧),且∠PAM =∠CAD ,连结MD 。
(1)当点M 在 ABCD 内时,如图(1),设BP =x ,AP =y ,求y 与x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)请在图(2)中画出符合题意的示意图,并探究:图中是否存在与△AMD 相似的三角形?若在在,请写出证明;
若不存在,请说明理由;
(3)当△AMD 为等腰三角形时,求BP 的长。
A
B C
D
P M
P D
C B A
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
初三数学上册《 二次函数》
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13. (1)求抛物线的解析式; (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113 +113 + 3)点Q的坐 标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式; (2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1 2 CD=CE.利 用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标; (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛 物线的解析式联立,得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ,求解即可得出点Q的坐标. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0), ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1), 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0中考数学二次函数-经典压轴题及答案
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
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