江苏省南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷

江苏省南通市2013届高三第一次调研测试

数学I

（考试时间：120分钟满分：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位

置上．

1．已知全集U=R，集合{}

10

A x x

=+>，则

U A=

e▲．

答案：(,1]

-∞-．

2．已知复数z=32i

i

-(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．答案：三．

3．已知正四棱锥的底面边长是6

，这个正四棱锥的侧面积是▲．

答案：48.

4．定义在R上的函数()

f x，对任意x∈R都有(2)()

f x f x

+=，当(2,0)

x∈-时，()4x

f x=，

则(2013)

f=▲．

答案：1

4

．

5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．

6．已知双曲线

2

2

22

1

y

x

a b

-=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，

，则该双曲线的标准方程为▲．

答案：

2

2

1 520

y

x-=．

7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．

答案

：±．

8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．

答案：3

8

．

9．在△ABC 中，若AB =1，AC ||||AB AC BC += ，则||

BA BC BC ? = ▲ ． 答案：

12

． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为

▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1

()e (0)e 2x f f x f x x '=

-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1

e 2

y x =-

． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅

为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．

13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x

上，且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． 答案：(1,0)(0,2)- ．

14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x >图象上一动点，记3537

12

x y x y m x y +-+-=

+

--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应

写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)

如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ．

解：（1）连结11A B A C 和．

因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点，

(第12题)

A

B

C

D

E

F A 1

B 1

C 1

(第15题)

A 1

所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．

所以//EF BC ． ………………………………………………………3分 又BC ?平面ABC 中，EF ?平面ABC 中，

故//EF 平面ABC ． ………………………………………………6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．

故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ?为正三角形，所以BC AD ⊥． 故

由

//EF BC ，得

EF AD ⊥． …………………………………………………………………10分

而

1A A AD A

= ，

1,A A AD ?

平面

1A AD

，所以EF ⊥平面

1A AD ．…………………………………12分

又

EF ?平面AEF ，故平面AEF ⊥平面

1A AD ．………………………………………………………14分

16.（本题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+．

（1）求角C 的大小；

（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B

+=+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得

sin()sin()C A B C -=-． ………………………………………………………………………

……4分

所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)． 即

2C A B =+, 得

3

C π=． …………………………………………………………………7分

(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．

因

2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ……………………………………………………

……8分

故22221cos 21cos 2sin sin 22

A B a b A B --+=+=+

=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332??-++-=+????

ααα． …………………………

……………11分

ππ2π2π,2,

3333

αα<<<<由-知-1cos 21

2

α-<≤，故

223342a b <+≤．……………………………14分

17.（本题满分14分）

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．

（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

解：（1）由题意，

AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故

12x <<． ……………………………2分

设DP y =，则PC x y =-．

因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-． 由

222

PA AD DP =+，得

2221()(2)2(1)x y x y y x

-=-+?=-，

12x <<．……………………5分

（2）记△ADP 的面积为1S ，则

11(1)(2)S x x

=-- …………………………………………………………………………

……………6分

23()2x x

=-+≤-

当且仅

当x =∈(1，2)时，

S 1

取得最大

值．…………………………………………………………8分

A

B

C

D

（第17题）

B '

P

故当薄板长为米，宽为2米时，节能效果最

好． ………………………………………9分

（3）记△ADP 的面积为2S ，则

221114(2)(1)(2)3(22S x x x x x x

=-+--=-+，

12x <<．……………………………………………10分

于

是

，

3

222142(202x S x x x x

-+'=--==?=11

分

关于x 的函数2S 在上递增，在上递减．

所

以

当

x =时，

2

S 取得最大

值． ……………………………………………………13分

故当薄板长为

米，宽为2米时，制冷效果最

好． ………………………………………14分

18.（本题满分16分）

已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()

2

n n n a a S -=． （1）求a 1；

（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1

lg 3n n n

a b +=

，试问是否存在正整数p ，q (其中1

解：

(1)

令

n =1

，

则

a 1=S 1=

111()

2

a a -=0． ………………………………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=

，即2n n na

S =， ① 得 1

1(1)2

n n n a S +++=

． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+． ④

③

+

④

，

得

21

2n n n na na na +++=，即

212n n n a a a +++=． ……………………………………………7分

又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，

所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所

以

，

a n =n

－

1． ………………………………………………………………………………………9分

(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，

于

是

，

21333p q p q

=+． …………………………………………………………………………………11分

所以，21

3()33q p p q =-(☆)． 易

知

(p

，

q )=(2

，

3)

为

方

程

(

☆

)

的

一

组

解． ……………………………………………………………13分

当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p

p

}(p ≥3)为递减数列， 于是

2133

p

p -≤323133?-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………………………16分

注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．

19.（本题满分16分）

已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的

椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；

（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；

（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．

所以，2a =EF EF '++=b 2=a 2－c 2=2，

故所求的椭圆的标准方程为

2

2132

y x +=． …………………………………………………………4分 (2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211132x y +=①，22

22

132

x y +=②．

②－①，得 21212121()()()()032

x x x x y y y y -+-++=．

所以，

k 1=212121212()423()63

P P y y x x x

x x y y y -+=-=-=--+． ………………………………………………………9分

(3)依题设，k 1≠k 2．

设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，

代入椭圆方程并化简得 222

1122

(23)6360k x k k x k +++-=． 于是，

12

2

1323M k k x k -=

+，

2

2

1223M k y k =

+． ……………………………………………………………11分

同理，1222323N k k x k -=

+，1

2

2

223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时， 直

线

MN

的

斜

率

k =M N

M N y y x x -=

-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=2121

1069k k k k --．……………………………………13分 直线MN 的方程为22112

22

21

1121063(92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 2121122

22

21211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=

+?+--++，

亦即 21

21106293

k k y x k k -=--．

此

时直线过定点

2(0,3

-． ………………………………………………………………………………15分

当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-．

综

上

，

直

线

MN

恒

过

定

点

，

且

坐

标

为

2(0,)3

-． ……………………………………………………16分

20.（本题满分16分）

已知函数()(0ln x f x ax x x

=->且x ≠1)．

（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；

（2）若212,[e,e ]x x ?∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．

解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2

ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． ………………2分

所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()

2

2

ln 111()ln ln (ln )

x f x a a x x x -'=-=-+-()2

11

1ln 2

4

a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．

所

以

10,

4

a -≤于

是

1

4

a ≥，故a 的最小值为

14

． ……………………………………………………6分 （2）命题“若212,[e,e ],x x ?∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “

当

2[e,e ]

x ∈时，有

()m i n m a x ()f x f x a '≤+”． ……………………………………………………7分

由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．

问

题

等

价

于

：

“

当

2[e,e ]

x ∈时，有

min 1()4

f x ≤”． ……………………………………………………8分

01当14

a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，

则

min

()f x =

22

2e 1(e )e 24f a =-≤，故

21124e

a ≥-． ……………………………………………10分

02当14

a <时，由于()f x '(

)2

111ln 2

4

a x =-

-+-在2

[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4

a a --． (i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于

是

，

min

()f x =

1

(e)e e e>4

f a =-≥，不

合． …………………………………………………12分

(ii )若0a -<，即104

a <<，由()f x '的单调性和值域知，

?唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：

当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；

所以，min ()f x =00001()ln 4

x f x ax x =

-≤，2

0(e,e )x ∈． 所以，2001111111

ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与1

04

a <<矛盾，不

合． ………………………15分

综

上

，得

21124e

a ≥-． ………………………………………………………………………………16分

A

B E

F D

C

O

(第21A 题)

南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题

参考答案与评分标准

（考试时间：30分钟 满分：40分）

21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，

共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直

径，F 是 BC

的中点．求证： （1）AB AC AE AD ?=?； （2）FAE FAD ∠=∠．

证明：（1）连BE ，则E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，

所以△ABE ∽△ADC ，所以AB AE AD AC =．

∴

AB AC AE AD ?=?． ………………………………………………………………………………

……5分

（2）连OF ，∵F 是 BC

的中点，∴BAF CAF ∠=∠． 由

(1)

，

得

BAE CAD ∠=∠，∴

FAE FAD ∠=∠． …………………………………………………10分

B ．选修4－2：矩阵与变换

已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002??

=????对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-??=????

对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则

A 011002100210--??????==????????????

， ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，

则

02'2'10''x x y y y x --????????==??????

??????????

， 即

2',

',

x y y x =-??

=?∴

',1'.2

x y y x =???=-?? ……………………………7分 又点

()

','P x y 在曲线

2:2C y x

= 上，∴

21()22

x y

-=，即

218

y x =．………………………………10分

C ．选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l

的参数方程为,

1x y t ?=??=+??

(t 为参数，t ∈R )．试

在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解

：

曲

线

C

的

普

通

方

程

是

2

213

x y +=． …………………………………………………………………2分 直线l 的普通方程

是

0x +=． ………………………………………………………………4分

设点M

的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是

d

……………………………………

……………7分

因为)4

≤+

≤π

θ

当πsin(14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π

2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．

==θθ． 综上，点M 的极坐标

为7π

)6

时，该点到直线l 的距离最大． ………………………10分

注 凡给出点M

的直角坐标为(，不扣分．

D ．选修4－5：不等式选讲

已知0,0,a b >>且21a b +=

，求224S a b =--的最大值． 解：0,0,21,a b a b >>+=

∴

2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, …………………………………………………………

……2分

且

12a b =+≥，

即

≤，

18

ab ≤, ……………………………………………………5分

∴224S a b =

-(14)ab =-

-41ab =+

-≤,

当

且

仅

当

11

,42

a b ==时，等号成

立． …………………………………………………………………10分

22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ

至点M ，使12PQ QM =

，且

0PR PM ?= ． （1）求动点M 的轨迹C 1；

（2）圆C 2： 2

2

(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点

（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ?

为定值．

解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQ QM ?==

及R (0，－

3)，得

111

22()(3)0,1,211.22

x x x y x x y y y ?

?--+-=?

?-=??

?=-??化简，得

24x y =． ……………………………………………………………4分

所以，动点

M

的轨迹

C 1是顶点在原点，开口向上的抛物

线． ………………………………………5分

法二：设M (x ，y )．

由12PQ QM = ，得 (,0),(0,)23

x y P Q -．

（第22题）

所以，3(,3),(,)22

x

x PR PM y =-= ．

由0PR PM =

，得 3(,3)(,)022x x y -?=，即23304

x y -=．化简得 24x y =． …………………4分

所以，动点

M

的轨迹

C 1是顶点在原点，开口向上的抛物

线． ………………………………………5分 （2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ?=?

，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．

设

11(,)

A x y ，

22(,)

D x y ，则

1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………………………7分

同理 2CD y =．

设直线的方程为 (1)x k y =-．

由2(1),

1,4

x k y y x =-???=??得22

1(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=．

所以，

121AB CD AB CD y y ?=?==

． ………………………………………………………………10分

23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；

（2）若3a =，试证明：对*n ?∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．

令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所

以

，

5,1,1,2,

n n b n -=?=?

-≥?即

4,1,

0, 2.n n a n -=?=?

≥?

………………………………………………………3分 (2)当3a =时，

1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………………………………4分

下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．

当1n =时，1441a ==?，命题成立；

设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，

1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=?-+27(41)14(277)m m =?++=+，

其中，4(1)1454443

4(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-?++-?+-? ，

m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．

∴

由数学归纳法原理知命题对*n ?∈N 成

立． …………………………………………………10分

南通市2013届高三第一次调研测试

数学Ⅰ讲评建议

第1题 考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．

第2题 考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点． 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，

灵活应用等体积法计算点面距．

第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．

第5题 本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题

的转换．

第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分

引申．

第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．

法一 用性质．S 9=9a 5= -36，S 13= 13a 7= -104，于是a 5= -4，a 7= -8，等比中项为

±．

法二 用基本量．S 9=9a 1+36d = -36，S 13=13a 1+78d = -104，解得a 1=4，d = -2．下同

法一．

第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识．

法一 当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79．于是当输入x

的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为

79553

79158

-=-．

法二 输出值为87x +．由题意：8755x +≥，故69x ≤≤． 第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识．

满足||||AB AC BC +=

的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于

是BA BC ? =2

BA =1．

第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数

应大于0．强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系．

第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义． (1)()e (0)e x f f x f x ''=

-+1

(1)(1)e (0)1e

f f f ''?=-+(0)1f ?=． 在方程2(1)1

()e (0)e 2

x f f x f x x '=

-+中，令x =0，则得(1)e f '=． 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别． 第12题 本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及

有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．

S (t )=103sin(32t π

π+，求S (5)= -1.5即可．

第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识． 圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为

3d =

<，解得a >0或a <3

4

-

． 由PA =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，于是1

PC k a =-，进而可求出x 0的取值范围．

第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问

题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．

法一 2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231

613

x x x x --=++

--． 当且仅当22

31

13

x x x x --=--，即2x =时m 取得最小，此时点P 的坐标为(2,3)． 法二 33213612x y x y m x y -+--+-=+--21

612

y x x y --=++--．

当且仅当

2112

y x x y --=--时m 取得最小值．下略． 第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲

评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．

第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正

余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin (A +B )=sinC ，面积公式及等积变换等．

(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333

A B α<<<<知-．

因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+

=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα??-++-=+????

．

ππ2π2π,2,3333

αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．

法二：由正弦定理得：2sin c R C ==．

由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，故2234a b ab +=+．

因为0,0a b >>，所以2234

a b +>．

又222a b ab +≤，故22

22342

a b a b +++≤，得2232a b +≤．

因此，223342

a b <+≤．

第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形

为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．

在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值

情况．

第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个

基本数列属C 能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．

第(3)问中，若数列{a n }为等差数列，则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列；反之

若数列{a n }为等比数列，则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列．

第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m ，p ，q (其中m

b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m ，p ，q )；若不存在，说明理由．”那么，答案仍然只有唯一组解．此时，在解题时，只须添加当m ≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同．

对于第(2)问，在得到关系式：1(1)n n n a na +-=后，亦可将其变形为

1

1

n n a n a n +=-，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{a n }的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可．但需要说明n ≥2．

考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的

第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分．

第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题

的能力．讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养．

第（2）问，亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1)，与椭圆方程联立，消去一个变

量或x 或y ，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k 1的关系，进而求出k 1的值．

第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则

两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．

近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”． 第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的

能力．

第（2）可另解为：

命题“若212,[e,e ],x x ?∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于

“21[e,e ]x ?∈，使()1max ()f x f x a '+≤”．

由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，于是()max 14f x a '+=．

故21[e,e ]x ?∈，使11111()ln 4

x f x ax x =-≤，即2

1[e,e ]x ?∈，使1111ln 4a x x -≥．

所以当2[e,e ]x ∈时，()

min

11ln 4a x x -≥

．

记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈，则22222

4(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=

?． 因2[e,e ]x ∈，故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈，于是2()0,[e,e ]g x x '

所以，min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-．

所以，21124e

a -≥．