2013-2014高二下期理科数学竞赛试题
2013--2014学年度下期高二竞赛试题
理 科数学
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分. 时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1、设集合}3|12||{}04
|
{>+=≤-=x x B x x
x A ，，则=B A （ ）
.A ]42[，- .B )40[， .C （41，） .D )42[，-
2、已知复数i z -=1（i 为虚数单位），则=--1
22z z
z （ ）
.A i 2 .B i 2- .C 2 .D 2- 3、某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有两名同 学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后 平均分和方差分别是 （ ） .A 70，50 .B 70，75 .C 70，72.5 .D 65，70
4、已知F 是双曲线)00(122
22>>=-b a b
y a x ，的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x
轴的直线与双曲线交于B A ，两点，若ABE ?是锐角三角形，则双曲线的离心率e 的 取值范围是 （ ）
.A （1，∞+） .B （1， 2） .C （1，21+） .D （2，22+） 5、执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条
件是 （ ）
.A ?7>k .B ?6>k
.C ?5>k
.D ?4>k
6、已知圆锥的母线长为4，若过圆锥顶点的所有截面面积分布范围 是（0，]34 ，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ） .A
2
π
.B π或π3 .C π3 .D π
7、已知在每项均大于0的数列{n a }中，首项11=a 且前n 项和n S 满足
1112---=-n n n n n n S S S S S S （*N n ∈且n ≥2）
，则=81a （ ） .A 638 .B 639 .C 640 .D 641
8、如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出
的该几何体的侧视图是 ( )
.A .B .C .D
9、二项式n
x x 23
1??? ?
?
+（*N n ∈）展开式中只有第6项系 数最大，则其常数项为 （ ）
.A 120 .B 210 .C 252 .D 45
10、若抛物线2
2x y =上两点)(11y x A ，，)(22y x B ，关于直线m x y +=对称，且 2
121-=?x x ，则m 的值为 （ ） .
A 25 .
B 2 .
C 2
3
.D 3 11、已知二次函数0)0()(2>'++=f c bx ax x f ，，且)(x f 的值域为)0[∞+，，
则)
0()
1(f f '的最 小值为 （ ） .A 3 .B
25 .C 2 .D 2
3
12、对于函数)(x f ，若对于任意的R c b a ∈，，，)()()(c f b f a f ，，为某一三角形的三
边长，则称)(x f 为“可构造三角形函数”. 已知函数1
)(++=x x e t
e x
f 是“可构造三角形
函数”，则实数t 的取值范围是 （ ） .A ??
????2,21 .B []1,0 .C []2,1 .D （∞+，0）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分.
13、定义：θsin ||||||??=?b a b a ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若，，5||2||==b a
6=?b a ，则=?||b a : .
14、已知不等式031<+-
a x 的解集为（2,1-），则=??
?
??+-?dx a x 2031 .
15、已知在半径为2的球面上有D C B A 、、、四点，若2==CD AB ，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .
16、已知函数)2sin()(?+=x x f ，其中?为实数，若|)6(|)(π
f x f ≤ 对R x ∈恒成立，且
)()2
(ππ
f f >，则)(x f 的单调递增区间是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分） 已知函数).(1cos 262sin )(2
R x x x x f ∈-+??
?
?
?-
=π （1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在A B C ?中，三内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知2
1
)(=A f ，c a b ，， 成等差数列，且9=?AC AB ，且a 的值. 18、（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 底面ABC ，2==BC AC ，22=AB ，
41=CC ，M 是棱1CC 上一点.
（1）求证：AM BC ⊥；
（2）若2
5
=CM ，求二面角C MB A --1的大小.
19、（本小题满分12分）
河南某地某种豆制食品是经过三道工序加工而成的，C B A ，，工序的产品合格率 分别为
43，32，5
4
. 已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格品 时产品为一等品；有两道工序加工合格为二等品；其它为废品，不进入市场. （1）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率； （2）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望.
20、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的两个焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰
直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42
=的一条切线.
M
1
C 1
B 1
A C
B
A
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点)3
10(-，
S 的动直线l 交椭圆C 于B A ，两点，试问：是否存在一个定点T ， 使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明
理由.
21、.（本小题满分12分）
已知函数).(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-= （1）求函数)(x f 的单调区间与极值；
（2）若函数)(x f 在区间（∞+，
1）上是单调递减函数，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答. 只能做选定的题目. 如果多做，则按所
做的第一个题目计分. 22、（本小题满分10分）选修4---1：几何证明选讲
如图，D C B A ，，，四点在⊙O 上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延 长线上. （1）若131==DA ED CB EC ，，求AB DC 的值；
（2）若FB FA EF ?=2
，证明：CD EF //.
23、（本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为???
??
?
?+-=-=t y t x 233215（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)3
cos(8π
θρ+
=.
（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；
（2）若点)(y x P ，在圆C 上，求y x +3的取值范围.
24、（本小题满分10分）选修4---5：不等式选讲
已知函数.)|4||1(|log )(2R a a x x x f ∈--+-=， （1）当2-=a 时，求3)(≥x f 的解集；
（2）当函数，)(x f 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围.
F
E
D
C
B
O
?
A
高二理数竞赛试题参考答案
一、选择题： CBABC BCBBC CA
二、填空题： 13： 8 14：3ln 32-
15： 3
34 16：)](326[Z k k k ∈++π
πππ，
三、解答题：
17、【解析】：（1）∵x x x x x x f 2cos 2cos 2
12sin 231cos 262sin )(2
+-=
-+???
?
?
-
=π
.62s i n 2c o s 212s i n 23??
? ??
+=+πx x x 令22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k （Z k ∈）
， ∴3ππ-
k ≤x ≤6ππ+k （Z k ∈）， )(x f 的单调递增区间为?????
?
+-63ππππk k ， （Z k ∈）........................................................................................................................6分
（2）由21)(=
A f ，得2162s i n =??? ?
?
+πA . ∵ 62626ππππ+<+ π = A . 由c a b ，，成等差数列，得c b a +=2. ∵9=?AC A B ，9cos =A bc ， ∴18=bc . 由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=， ∴ 183422?-=a a ，∴23=a ...............................................................................12分 18、【解析】：（1）∵在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 底面ABC ，∴BC CC ⊥1. ∵2==BC AC ，22=AB ，∴由勾股定理的逆定理知AC BC ⊥.又∵C CC AC =1 ，∴⊥BC 平面11A ACC . ∵?AM 平面11A ACC ，AM BC ⊥..........................................6分 （2）∵AC BC ⊥，且⊥1CC 平面ABC ，∴以C 为原点，1CC CB CA ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -. 因为2 5=CM ，所以)0,0,0(C ，)002(，， A )420(1，， B ，)2500(，，M ，).2 3,2,0()25,0,2(1--=-=M B AM ， 设平面1AMB 的法向量为)(z y x n ，，=，则?????=?=?, 0, 01M B n AM n ，即 z y M 1 C 1 B 1 A C B ?? ???=?--=?-, 0),,()23 ,2,0(,0),,()25,0,2(z y x z y x ，令5=x ，则43=-=z y ，，即 )435(，，-=n . 又平面C MB 1的一个法向量是)0,0,2(=CA ，∴cos |||CA n CA n ?= 2 2 = . 由图可知，二面角C MB A --1为锐二面角，所以二面角C MB A --1的大小是4π. .......................................................................................................12分 19、【解析】：（1）2袋食品都为废品的情况为：① 2袋食品的三道工序都不合格，其概率 为3600 1 )513141(21 =??=P ；② 有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格，其概率为2001 )543141513241513143(6011 22= ??+??+???? =C P ；③ 两袋都有两道工序不合格，其概率4009 )543141513241513143(23=??+??+??=P . 所以2袋食品都为废品的概 率36 1 3 21=++=P P P P .........................................................................................................6分 （2）由题意可得，ξ的所有可能取值为0， 1， 2， 3. 60 1 541321431)0(= ??? ??-???? ??-???? ??-==ξP ，203 543141513241513143)1(=??+??+??==ξP ， 52543243)3(=??==ξP ，故30 13 )3()1()0(1)2(==-=-=-==ξξξξP P P P ， ....................................................................................................................................................10分 所以ξ的分布列为 则.60 133523301322031)(=?+?+? =ξE ...........................................................................12分 20、【解析】：（1）由?? ?==+-x y b y x 40 2 ，消去y 得0)42(2 2=+-+b x b x ，又直线0 =+-b y x 与抛物线x y 42 =相切，∴上述方程的判别式04)42(2 2 =--=?b b ，∴.1=b ...........3分 ξ 0 1 2 3 P 601 203 30 13 5 2 ∵椭圆)00(122 22>>=+b a b y a x C ，：的两个焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三 角形，∴22==b a ，故所求椭圆C 的方程为12 22 =+y x ............................................5分 （2）当直线l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为222)3 4()31(=++y x ， 当直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为122=+y x . 由?? ???=+=++1 )34()31(22222 y x y x ，解得???==10y x ，即两圆相切于点（0， 1），∴所求的点T 如果存 在，只能是（0， 1）.............................................................................................................. 8分 事实上，点T （0， 1）就是所求的点，证明如下： 当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0， 1），若直线l 不垂直于x 轴时，可 设直线l 的方程为：31-=kx y ，由???????=+-=1 2 31 22y x kx y ，消去y 得01612)918(22=--+kx x k ， ............................................ ....................................9分 设点)()(2211y x B y x A ，，，，则?????+-= +=+91816 9181222122 1k x x k k x x ，又)1(11-=y x TA ，，)1(22-=y x TB ，， ∴9 16 )(34)1()34)(34()1)(1(2121221212121++-+=--+=--+=?x x k x x k kx kx x x y y x x TB TA 09 16 918123491816)1(2 22=++?-+-? +=k k k k k . ∴TB TA ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点T （0， 1），∴存在一个定点T （0， 1）满足条件.......................................12分. 21、【解析】：（1）函数ax x a x x f +-=22ln )(的定义域为（0，∞+），=+-= 'a x a x x f 221 )( .) 1)(12(1222x ax ax x ax x a -+-=++-...................................................................................2分 当0=a 时，01 )(>= 'x x f ，∴)(x f 的单调递增区间为（0，∞+），此时)(x f 无极值. .....................................................................................3分 当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 1= 或a x 21-=（舍去）. 当a x 1 0<<时，0)(>'x f ，)(x f 递增，当a x 1>时，0)(<'x f ，)(x f 递减. ∴)(x f 的 单调递增区间为（0， a 1），单调递减区间为（a 1，∞+），∴)(x f 有极大值a a f ln )1(-=， 无极小值......................................................................................................................................5分 当0 x 21 ->时，0)(<'x f ，)(x f 递减. 所 以单调递增区间为（0，a 21-），单调递减区间为（a 21 -，∞+），∴)(x f 有极大值 4 3 )2ln(43)21ln()21(---=--=-a a a f ，无极小值..........................................................7分 （2）由（1）可知，当0=a 时，)(x f 在区间（1，∞+）上为增函数，不符合题意； 当0>a 时，)(x f 的单调递减区间为（a 1，∞+），依题意，得?? ?????>≤,0,11 a a 得a ≥1；