数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲 圆与圆

第20讲 圆与圆

知识纵横

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：

1.通过两圆交点的个数确定；

2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。

为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。

例题求解

【例1】如图，相距cm 2的两点A 、B 在直线l 上，它们分别以s cm s cm /1,/2的速度在l 上同时向右平移，当点A 、B 分别平移到点1A 、1B 的位置时，半径为cm 1的1A Θ与半径为1BB 的B Θ相切，则点A 平移到点1A 所用的时间为__________s .

（2011年嵊州市中考题）

思路点拨 两个动圆，1A Θ移动圆心，B Θ的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。

【例2】如图，圆心为A 、B 、C 的三圆彼此相切，且均与直线l 相切。若C B A ΘΘΘ,,的半径分别为c b a ,,)0(b a c ，则c b a ,,一定满足的关系式为（ ）。

（天津市竞赛题）

c a b A +=2. c a B +=62. b a c C 111.+= b

a c D 111.+=

思路点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键

是作圆的基本辅助线。

【例3】如图①，在矩形ABCD 中，cm BC cm AB 4,20==，点P 从A 开始沿折线

D C B A →→→一以s cm /4的速度移动，点M 从C 开始沿CD 边以s cm /1的速度移动。如果点P 、M 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运

动，设运动时间为)(s t 。

（1）t 为何值时，四边形APMD 为矩形？

（2）如图②，M P ΘΘ,的半径都是cm 2，那么t 为何值时，M P ΘΘ,相外切？ （南京市中考题）

思路点拨 对于（1），把相关线段用t 的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。

【例4】已知1O Θ与2O Θ相交于B A ,，且1O Θ的半径为cm 3，2O Θ的半径为.5cm （1）过点B 作AB CD ⊥分别交1O Θ和2O Θ于D C ,两点，连接AC AD ,，如图①，试求

AD

AC

的值； （2）过点B 任画一条直线分别交1O Θ与2O Θ于F E ,，连接AE 和AF ，如图②，试求AF

AE

的值。

（巴中市中考题）

思路点拨 对于（2），

AF

AE

应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。

【例5】如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆1O 在OA 上并与弧AB 内切于点A ，半圆2O 的圆心在OB 上，并与弧AB 内切于B ，半圆1O 与半圆2O 相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y 。

（1）试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； （2）求函数y 的最小值。

（太原市竞赛题）

分析 设两圆1O 、2O 半径分别为R 、r ，对于（1）)(2

122r R y +=

π，通过变性把22r R +用""r R x +=的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因r R x +=，故是在约束条件下求

y 的最小值，解题的关键是求出r R +的取值范围。

化繁为简

【例6】如图，圆A 、B 的半径都为1，且相互外切。圆S R Q P ,,,的半径都为r ,且圆P 与

圆A 、B 、Q 、S 都分别外切，圆Q 与圆R B P ,,都分别外切，圆R 与圆R A P ,,都分别外切，求r 的值。

（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）

分析与解 连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接SA PA PS ,,，设

A Θ、B

Θ相切于

T

，则

2

2222ST PS PT AT PA -==-，即

2222)2()(1)1(+-+=-+r r r r ，解得2

17

3+=

r （负值已舍去）。 T

B

A

Q

R

S

P

学力训练

基础夯实

1、O Θ的半径为cm 3,点M 是O Θ外一点，,4cm OM =则以M 为圆心且与O Θ相切的圆的半径是 .cm

（长春市中考题）

2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A 、B 间的距离为 。

（绍兴市中考题）

3、如图，大圆O 的半径OC 是小圆1O 的直径，且有OC 垂直于圆O 的直径AB ，1o Θ的切线AD 交OC 的延长线于点E ，切点为D ，已知1o Θ的半径为r ，则1AO = ；

=DE 。

（杭州市中考题）

4、如图①，4321,,,O O O O 为四个等圆的圆心，D C B A ,,,为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，

4321,,,O O O O 5,O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，

将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．

（天津市中考题）

5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是m 1的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是 ．

2.A 221.+B 231.+C 2

31.+D

6、如图，1O Θ、2O Θ外切于A 点，半径分别为r 3、r ，P 为21O O 延长线上一点，作直线分别于1O Θ、2O Θ相切于D 、E 两点，则P ∠的度数为（ ）。

第4题 第5题

?15.A ?30.B ?45.C ?60.D

(武汉市高考题)

7、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，则EAB ∠sin 的值为（ ）

34.A 43.B 54.C 5

3

.D (湖州市中考题)

8、两圆的半径分式R 和r )(r R ，圆心距为d ，若关于x 的方程0

)(22

2=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）

A.一定内切

B.一定外切

C.相交

D.内切或外切

9、如图，P Θ与O Θ相交于A 、B 两点，P Θ经过圆心O ，点C 是P Θ的优弧AB 上任意一点，（不与A 、B 点重合），连接AB 、AC 、BC 、OC 。 （1）指出图中与ACO ∠相等的一个角；

(2)当点C 在P Θ上什么位置时，直线CA 与O Θ相切？请说明理由；

（南宁市中考题）

10、已知A 为O Θ上一点，B 为A Θ与OA 的交点，A Θ与O Θ的半径分别为r 、R ，且R r 。 （1）如图①，过点B 作A Θ的切线与O Θ交于M 、N 两点。求证：Rr AN AM 2=?； （2）如图②，若A Θ与O Θ的交点为E 、F ，C 是弧EBF 上任意一点，过点C 作A Θ的切线与O Θ交于P 、Q 两点，试问Rr AQ AP 2=?是否成立，并说明你的结论。

（天津市中考题）

11、如图，点A 、B 在直线MN 上，cm AB 11=，A Θ、B Θ的半径均为cm 1。A Θ以每秒cm 2的速度自左向右运动，B Θ的半径也不断增大，且半径)(cm r 与时间t 之间的关系为)0(1≥+=t t r 。

（1）试写出A 、B 之间的距离)(cm d 与时间t （秒）之间的函数关系式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？

（威海市中考题）

能力拓展

12、已知半径分别为1和2的两圆外切于点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为 。

（全国初中数学联赛试题）

13、如图，扇形OAB ，?=∠90AOB ，P Θ与OA 、OB 分别相切于点E 、F ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与P Θ的面积之比是 。

（兰州市中考题）

14、如图，五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么3O Θ的直径为 。

（天津市中考题）

15、如图，1O Θ的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，21O O 垂直AB 于P 点，821=O O ，若将1O Θ绕点P 按顺时针方向旋转?360，在旋转过程中，1O Θ与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）。 A.3次 B.5次 C.6次 D.7次

（2011年宁波市中考题）

16、如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线x y 3

3

=

相切，设半圆1C 、半圆2C 、半圆3C 的半径分别是1r 、2r 、3r ，则当,11=r =3r （ ）。 A.6 B.7 C.8 D.9

（2011年南通市中考题）

17、已知1O Θ、2O Θ相交于A 、B ，公共弦AB 与连心线21O O 交于点G 。若AB=48，1O Θ、2O Θ的半径分别为30、40，那么21O AO ?的面积是（ ）。 A.600 B.300或168 C.168 D.600或168

（广东省竞赛题）

18、如图，PQ 、1PO 、Q O 1分别以1O 、2O 、3O 为圆心的半圆321,,C C C 的直径，圆4O 内切于半圆1C 及外切于半圆32,C C 。若24=PQ ，求圆4O 的面积。

（第19届香港中学竞赛题）

C 4C 3C 2

C 1

P

Q

O 1O 2

O 3

O 4

19、在ABC ?中，分别以AB 、BC 为直径作1O Θ、2O Θ，交于另一点D 。 （1）证明：交点D 必在AC 上；

（2）如图①，当1O Θ与2O Θ半径之比为4:3时，且2DO 与1O Θ相切时，判断ABC ?的形状，并求DB O 2tan ∠的值；

（3）如图②，当1O Θ经过点2O ,2,DO AB 的延长线交于E ，且BD BE =，求A ∠的度数。

（黄石市中考题）

20、如图，点H 为ABC ?的垂心，以AB 为直径的1O Θ与BCH ?的外接圆2O Θ相交于点P 。求证：P 为CH 的中点。

（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

综合创新

21、如图，已知1O Θ与2O Θ都过点A ，1AO 是2O ΘD 的切线，1O Θ交21O O 于点C ，连接C O 2。 （1）求证：212O O C O ⊥；

（2）证明：122BO B O BC AB ?=?；

（3）如果,4,122==?C O BC AB 求1AO 的长。

（十堰市中考题）

22、如图，已知B Θ、C Θ的半径不等，且外切于点A ，不过A 的一条公切线切B Θ于D ，切C Θ于E ，直线DE AF ⊥，且与BC 的垂直平分线交于F 。求证：AF BC 2=.

（英国数学奥林匹克试题）

F

B

C

H

A

E

D