活用基本定义巧解题
活用基本定义巧解题
张伟洋（广东省揭阳市揭西县南侨中学）
"众里寻它千百度,却在灯火爛珊处".在数学学习中,我们总有这样的体会:对某一数学问题,往往绞尽脑汁,百思不得其解;而在某个时刻,灵光一闪,恰如"路转溪头忽见".从而感慨基础知识,基本定义的重要性.数学的概念及定义是数学的最基本要素,也是数学规律的本质表述.熟记及理解基本定义是学好数学的基本前提,也是提高应用能力的关键环节.在某些情况下,当题设(条件式)与结论(问题)的关系不很清晰时,认清题设的数学本质,嫁接相关知识,灵活运用相关的基本定义解决数学问题,可以达到事半功倍的效果.这正如古人云:"山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村".下面介绍我们学习中常见的一些定义活用类型,供与思考.树立活用意识,提高学习水平.
一.熟悉定义,辨识本质,同化数学定义式：数学的公式﹑定义式是数学符号语言对数学规律本质的形式描述,只有认清形式,领悟内涵;克服表象,突出本质,才能达到对知识的正确运用. [例1]已知0
lim
→?x x
x f x x f ?-?+)
()2(00=1, 则f ′(x 0)的值为( )
A. 1
B. 2
C. 2
1
D. -2 [解析]由已知条件可得: 0
lim
→?x x x f x x f ?-?+)()2(00=0lim →?x 2?x
x f x x f ?-?+2)
()2(00 =)(20x f '=1
∴ )(0x f '=
2
1
.故选C 项. [点评]此题考查导数定义式的正确理解.由点0x 处的导数为该点附近y 的增量y ?相对于变量x 的增量Δx 的瞬时变化率:这里x 0的增量是2Δx ,即分母中也应是2Δx.
二.注重概念,诠释数式,认清式义的交互转换:数学的概念﹑公式﹑定理﹑法则的表现形式多样,不尽相同,如文字﹑图形﹑数学符号或图形符号等.在学习中必须做到由式识义,由义识式,才能正确活用数学概念.
例2.已知x ,y 为实数,平面向量a =(x ,y+2),b =(x ,y-2),且6=+b a ,则点M(x ,y)的轨迹方程为 [解析]由已知条件可得
2222)2()2(-++++y x y x =6 ……………..①
法1:移项,两边平方;移项,再平方(有理化方程).化简可得
455922=+y x
法2.由式①可知其本质意义为:点M(x ,y)到定点(0,-2)与(0,2)的距离之和为6 ,且距离和大于这两点的距离d=4.由椭圆定义可得:
5,9.62,4222==∴==b a a c
因此,点M 的轨迹方程为
19
52
2=+y x [点评]法2由式①两点的距离公式,明确其数学内涵,联系椭圆定义,确定方程类型,直接求方程
参数,计算简单,省时省力;而法1虽然目标明确,但计算量大,容易出错,不易得出结果.]
三.数形结合,化暗为明,赋予数式的数学意义:对某些概念模糊﹑不明本义的数学问题,要数形结合,直观分析,构造赋予其数学意义,确立问题本原求解. [例3]已知实数y x ,满足方程1)2(22=+-y x 则
x
y
的最大值是最小值是
[解析][法1]:由1)2(22=+-y x ,可知点(x ,y)在圆上.如图1
x
y
的值为圆上的点与坐标原点的直线的斜率
0--=x y x y 的变化值.即
同理.
x y (min)= -3
3
[法2](交轨法):设
x
y
=k,由kx y =代入椭圆方程得, 034)1(2
2
=+-+x x k , 由Δ=16-4?3(1+k 2)=4-12k 2≥0
因此可得 -
33≤k ≤
3
3
[点评]法1数形结合.由圆上的点的坐标的关系比
x
y ,构造直线的斜率公式00
--=x y k ,明确其
数学内涵,化模糊为清晰,计算简便;而法2用交轨法.点在直线且在椭圆上,运用方程思想求解,
计算量较大.
四.明晰题设,联系定义,活用数学背景:分析条件与问题所蕴涵的数学本质,如几何背景﹑线性对称﹑结构特征等.联系系统知识,拉近相关知识,建构明确的数学关系求解.
[例4]已知y x ,为实数,且满足6322
2=+y x ,则y x 2+的最大值是
.
[解析][法1]:令
θsin 3
1=x ,
θcos 2
1=y .由此可得
θθcos 2,sin 3==y x
∴ θθcos 22sin 32+=+y x =))(sin(11应用辅助角公式ψθ+
33
31(max)=
==OM r x y
11211≤+≤-∴y x , 即y x 2+最大值为11
[法2]:已知条件可化为
12
32
2=+y x 即点(x,y)在椭圆上.
由线性规划知识可知,如图2 设z y x =+2,则y=z x 2
1
21+-
, 代入63222=+y x 化简得
024361122=-+-z zx x
由Δ=(-6z)2-4?11?(3z 2-24)=0得 z 2=11, 因此 z=y x 2+(max)=11
[法3]:由二维的柯西不等式定义(矩阵构造),行平方和的积 大于或等于列积的和的平方.由此可得.
)3
4
21)(32()2(222++≤+y x y x
116
11
6=?≤. 因此 y x 2+的最大值为 11 .
[点评]上述方法中,法1利用θθ2
2cos sin 1+=的数学巧变,借助参数,求解思想灵活; 法2
借助条件式的几何意义,利用线性规划知识,目标函数求解,应用知识性强;而法3观察到
y x 2+与2232y x +的二维对称,借助柯西不等式,构造二维矩阵,目标明确,关系清晰,计算简
单.三者都体现了不同知识方法的灵活运用,在实际中可优化选择解法,也充分揭示了数学思维的灵魂.
五.熟知几何背景,活用几何意义:数学概念(定义)的几何背景是其数学本质的直观表现,也是人们对数学本原的直观感知和直观认识,形成认识上从抽象到具体的升华,对数学本原的认识进一步形象化﹑具体化﹑深刻化.注重几何意义的运用,往往能使问题的解决更简捷﹑高效.
例5.解关于x 的不等式231≥--+x x ,则其解集为（ ） A.(-∞,2] B.[2,3) C.(2,3] D.[2,+∞)