物理：2010高考难点突破12讲难点6 弹簧类问题求解策略

物理：高考难点突破12讲难点5 卫星运行特点分析及应用

卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，也是考生备考应试的难点.

●难点磁场

1.用m 表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小

A.等于0

B.等于m 2

2

002

0)(h R g R +

C.等于m 2300204

ωg R

D.以上结果都不对

2.俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，3月23日坠入太平洋.设空间站的总质量为m ，在离地面高度为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动.坠落时地面指挥系统使空间站在极短时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力作用下下坠.设喷出气体的质量为m /100，喷出速度为空间站原来速度的37倍，下坠过程中外力对空间站做功为W .求：

（1）空间站做圆周运动时的线速度.

（2）空间站落到太平洋表面时的速度.（设地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ）

3.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v 2=

R

Gm

2,其中G 、m 、R 分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G =6.67×10-11N·m 2/kg 2,c =2.9979×108 m/s.求下列问题：

（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m =1.98×1030 kg ，求它的可能最大半径；

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m 3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

●案例探究

［例1］用m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质量、R 0表示地球的半径、g 0表示地球表面处的重力加速度、T 0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则：

（1）地球同步通信卫星的环绕速度v 为

A.ω0（R 0+h ）

B.

h

R GM

+0

C.30ωGM

D.

3

2T GM

π （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F 的大小为

A.m 2

002

0)

(h R g R + B.mω2

0（R 0+h ） C.m 3

00204

ω

g R D.m 3

4

416T GM π

（3）地球同步通信卫星离地面的高度h 为

A.因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定

B.

3

2

2

0ω

g R -R 0

C.2

204πGMT -R 0

D.地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择.高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步

命题意图：考查推导能力及综合分析能力.B 级要求. 错解分析：（1）把握不住解题的基本依据：地球对其表面物体的万有引力约等于物体所受重力，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，使问题难以切入.（2）思维缺乏开放性造成漏解.（3）推理缺乏严密性导致错解.

解题方法与技巧：（1）设地球同步卫星离地心的高度为r , 则r =R 0+h 则环绕速度v =ω0r =ω0（R 0+h ）. 同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力：

即G r v m r Mm 22=得v =h

R GM

r

GM +=

又有G

2r Mm =mω02

,所以r =320

ωGM 则v =ω0r =ω03

2

0ωGM

=32

0ωGM =3

2

2T GM

π故选项A 、B 、C 、D 均正确. （2）地球同步卫星的重力加速度为g ′=（

h

R R +00

）2·g 0，地球对它的万有引力大小可认为等于同步卫

星的重力mg 02

02

0)

(h R R +来提供向心力：即mg 0202

0)(h R R +=mω02

（R 0+h ） 所以h =3

2

2

0ω

g R -R 0

F 向=mω02

（R 0+h ）=m 34

4020216)(4T GM

m h R T ππ=+故选项A 、B 、C 、D 均正确. （3）因为h =3

20

2

0ω

g R -R 0，式中R 0、g 0、ω0都是确定的，故h 被确定.

但ω0=

2T π，

所以h =2

2

002

04πT g R -R 0

故选项A ，B ，C 正确.

［例2］1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t ，工作容积超过400 m 3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km 圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km 的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.

（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.

（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字.

（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R =6.4×103 km ，计算结果保留1位有效数字.

命题意图：考查阅读摄取信息并结合原有知识解决新情景问题的创新能力，B 级要求. 解题方法与技巧：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.

（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

G

2r

Mm

=ma 空间站运行时向心加速度是a =G

2

r M 空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运动时加速度大小的比值是

2

212221)75

.664.6(==r r a a =0.9842=0.97

（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G 2r Mm

=mr 224T

π

不计地球自转的影响，根据G

2R

Mm

=mg ，有G M =R 2g 则指定的低空轨道空间站运行的周期为 T =2πr =

GM r =2πr g R r

2=g

r

R

r π2 =

s 104.66104.61064.614.3246

6?????≈5.3×103s

设一昼夜的时间t ，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n =

T

t 空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 Δh =2.7 km/n =2.7 km/17=0.2 km ●锦囊妙计

卫星问题贴近科技前沿，且蕴含丰富的中学物理知识，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，亦是考生备考应试的难点.考生应试失误的原因主要表现在：（1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清，理解不透，难以建立清晰的物理情景.（2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清.

一、卫星的运行及规律

一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行.

对于稳定运行状态的卫星，①运行速率不变；②轨道半径不变；③万有引力提供向心力，即GMm /r 2=mv 2/r 成立.其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应.而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化.

二、同步卫星的四定

地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星.

1.地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上.

2.地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同.

3.地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm /r 2=mω02r ，得r =32

0/ωGM ，ω0与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r =4.24×104 km.其离地面高度也是一定的.

4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v =ω0r =3.08×103 m/s ，为定值，绕行方向与地球自转方向相同.

●歼灭难点训练

1.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比

A.地球与月球间的万有引力将变大

B.地球与月球间的万有引力将变小

C.月球绕地球运动的周期将变长

D.月球绕地球运动的周期将变短

2.地球同步卫星到地心的距离r 可由r 3

=2

2

224π

c b a 求出.已知式中a 的单位是m,b 的单位是s,c 的单位是m/s 2，则

A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度

B.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度

C.a 是赤道周长，b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度

D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度

3.某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2,r 2＜r 1.以E k1、E k2表示卫星在这两个轨

道上的动能，T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则

A.E k2＜E k1，T 2＜T 1

B.E k2＜E k1，T 2＞T 1

C.E k2＞E k1，T 2＜T 1

D.E k2＞E k1，T 2＞T 1

4.中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度ω=60πrad/s ，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为ρ=________，计算出该中子星的密度至少为_______kg/m 3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）

5.假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的

6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为________s.

6. 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c .试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）.

7.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.

现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.

（1）试计算该双星系统的运动周期T 计算；

（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1：N （N ＞1）.为了解释 T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.

参考答案： ［难点磁场］ 1.BC

2.（1）R

h gR +2

（2）喷出气体后，空间站的速度变为v 2，由动量守恒定律得一方程，设空间站落到

太平洋表面时速度为v 3，由动能定理建立另一方程，解得v 3=m

W

h R gR 99200)(121492++

3.（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v 2=

R

Gm

2，其中m 、R 为天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v 2＞c ，所以

R ＜22c Gm =2

83011)

109979.2(1098.1107.62?????-m=2.94×103 m 即质量为1.98×1030 kg 的黑洞的最大半径为2.94×103 m.

（2）把宇宙视为普通天体，则其质量m =ρ·V =ρ·3

4

πR 3

①

其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v 2=R

Gm

2 ② 由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2＞c

③

则由以上三式可得R ＞G

c πρ832

=4.01×1026 m,合4.24×1010光年.即宇宙的半径至少为4.24×1010光年.

［歼灭难点训练］

1.BD

2.AD

3.C

4.3ω2/4πG ；1.3×1014

5.1.4×104

6.解析：设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，

G

2r

mM

=mr ω2 式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=T π2 因G 2R

Mm

=mg

得G M =gR 2，

r =（2

224πgT R ）31

设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，如

图5′-1所示，

由余弦定理得，L =αcos 22

2rR R r -+

所示时间为，t =

c

L

（式中c 为光速） 由以上各式得 t =c

gT R R R gT R αππcos )4(2)4(31

2

22232

222-+

7.解析：首先应明确此双星系统的结构模型，如图5′—2所示。由于每个星体的线度都小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条

件. （1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为

v ，得

m 222

L Gm L v = ①

v =

L Gm

2 ②

T 计算=

v

L 22π

=πL

Gm

L

2 ③

（2）根据观测结果，星体的运动周期

图5′—

1

图5′—2

T 观测=

N

1T 计算＜T 计算 ④

这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′,位于中点O 处的质点的作用相同.考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v 观测，则有

m 2222

)

2

(2L m m G L

Gm L v '

+=观测 ⑤

v 观测=

L m m G 2)

4('+

⑥

因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得

N v 1

1=

观测

·v

1 ⑦

把②⑥式代入⑦式得 m ′=4

1

-N m 设所求暗物质的密度为ρ，则有41)2(343-=N L ρπm 故ρ=3

2)1(3L m

N π-.