2019版高考数学(理科)总复习教师用书练习：5.3 空间向量与立体几何 Word版含解析

5.3空间向量与立体几何

命题角度1空间位置关系证明与线面角求解

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅰ·18)

如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C 到达点P的位置,且PF⊥BF.

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;

与平面ABFD所成角的正弦值.

,BF⊥PF,BF⊥EF,

所以BF⊥平面PEF.

又BF?平面ABFD,

所以平面PEF⊥平面ABFD.

PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,

所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.

可得PH=,EH=.

则H(0,0,0),P,D为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,

则sin θ=.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

2.(2018全国Ⅱ·20)

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,P A=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC;

在棱BC上,且二面角M-P A-C为30°,求PC与平面P AM所成角的正弦值.

AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.

连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.

由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面P AC的法向量=(2,0,0),

设M(a,2-a,0)(0

则=(a,4-a,0).

设平面P AM的法向量为n=(x,y,z).

由·n=0,·n=0得

可取n=((a-4),a,-a),

所以cos<,n>=.

由已知可得|cos<,n>|=.

所以,

解得a=-4(舍去),a=.

所以n=.

又=(0,2,-2),所以cos<,n>=.

所以PC与平面P AM所成角的正弦值为.

3.(2016全国Ⅲ·19)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,P A=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面P AB;

AN与平面PMN所成角的正弦值.

AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.