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西北农林科技大学本科课程考试

参考答案与评分标准

考试课程：工科《高等数学》 学年学期：2004-2005-2 考试类型：A 卷 考试时间：2007-07-15 专业年级： 工科一年级

一、填空题（本题10小题，每小题3分，满分30分）

1.121

z yf f x y ?''=+?； 2. (1,1,2){2,2,4}gradf -=-； 3. 1

200

sin y

dy y dx ??； 4. 212n a π+； 5. ()x y e x C =+； 6. 1p >； 7. 发散； 8.

x y

x y

+-； 9. 122146x y z -+-==-； 10. *x y Axe -=. 二、（本题满分10分）

解

121

z y yf f x y

?''=++? …………………………………………………4分 所以 21111222122

222

111[()][()]z x x

f y xf f f xf f x y y y y y ?''''''''''=+++--++-?? 1211222311x f f yxf f y y

''''''=+-++ ……………………………10分 三、（本题满分10分） 解 由对称性

222()D

V x y dxdy =+??，……………………………………………………2分

其中，在极坐标系下，:0cos ,02

D a π

ρθθ≤≤≤≤

于是 c o s

2

2

2

2

2()22a D

D

V x y dxdy d d d d π

θρρρθθ

ρ=+=?=??????

………6分

4424

40313cos 2242232a a d a π

πθθπ==???=? ………………………10分

四、（本题满分10分）

解 加辅助线 1:0L y =，…………………………………………2分

取逆时针方向，则

1

1

L

L L L +=

-?

?

? ………………………………………………4分

而

cos 2x P

e y y

?=-?；cos x Q e y x ?=? …………………………6分 由格林公式

1

22L L D

dxdy a π+==??? ………………………………8分

在1L 上，因0y =，故 1

0L =?

， …………………………………………9分

所以 1

1

2L

L L L a π+=

-=?

?

? ………………………………10分

五、（本题满分10分）

解 添加辅助曲面 221: 3 (2)y x z ∑=+≤，…………………………3分 其方向与y 轴正向相同.则由Gauss 公式得

2(81)2(1)4I y xdydz y dzdx yzdxdy ∑

=++--??

1

2(81)2(1)4y xdydz y dzdx yzdxdy ∑+∑=

++--??

1

2(81)2(1)4y xdydz y dzdx yzdxdy ∑-++--?? …………………6分

1

2[(81)44]2(1)y y y dxdydz y dzdx Ω

∑=+----?????

222

16

x z dxdydz dzdx Ω

+≤=+?????

…………………………………8分

3

21

)32d y ππ=+?

34π= …………………………………………………………10分

六、（本题满分10分）

解 由于=ρ11

lim

lim 1n n n n

a n a n +→∞

→∞+==，…………………………………1分 所以，级数11

n n nx ∞

-=∑的收敛半径1

1R ρ

=

=. ……………………………………2分

当1x =-时，级数成为11

(1)n n n ∞

-=-∑，该级数发散；

当1x =时，级数成为1

n n ∞

=∑，该级数亦发散；

于是，所求级数收敛区间为(1,1)-.………………………………………………4分

设此级数的和函数为()S x ，则11

()n n S x nx ∞

-==∑，从0到x 两边积分，

1

11

()1x

x

n n

n n x

S x dx nx dx x x

∞∞

-=====-∑∑??

…………………………8分 两边对x 求导得

2

1()()1(1)

x S x x x '==-- ∈x (1,1)-.…………………10分 七、（本题满分10分）

解 方程对应的齐次方程的特征方程为2320r r -+=，…………………1分 特征根为 121,2r r ==，……………………………………2分 故对应齐次方程的通解为 212x x Y C e C e =+ ………………………………3分

因为1λ=是特征方程的单根，故设特解为 *()x y x ax b e =+ …………5分

代入原方程得 1

,12a b =-=- ……………………………7分

所以 *21

()2x y x x e =-+ ………………………………8分

故所给方程的通解为 22121

()2

x x x y x x e C e C e =-+++.………………10分

八、（本题满分10分）

解 易知(0)1f =，…………………………………………………………1分 由于

2

22

4x y t f dxdy +≤=??

222000

11()2()22t t

d f r rdr f r rdr π

θπ=??? ……………3分 所以有 2

240

1

()2()2

t

t f t e f r r d r

ππ=+?

………………………4分 上式两边对t 求导并整理得 2

4()8()8t f t t f t t e πππ'-= ………………………6分 解此一阶线性非齐次微分方程得

2288424()(8)(4)tdt tdt t t f t e te e dt C t C e ππππππ-??=+=+?………………8分

由(0)1f =得1C =，故

2

24()(41)t f t t e ππ=+ ……………………………………10分