伯努利方程与生活
伯努利方程与生活
试验122班黄颖祺
关键字：伯努利方程、台风、龙卷风
摘要：由伯努利方程可得台风来临时应关闭门窗龙卷风来临时应打开窗户
伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。这个理论是由瑞士数学家丹尼尔第一·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。
如图所示，经过很短的时间Δt，这段流体的左端s1由a1移到
b1，右端s2由a2移到b2，两端移动的距离为Δl1和Δl2，左端流
入的流体体积为ΔV1＝s1Δl1，右端流出的体积为Δv2＝s2Δl2．
所以ΔV1＝ΔV2＝ΔV(因为理想流体是不可压缩的) 左
端的力对流体做的功为Ｗ1＝F1Δl1
同时F1＝p1·S1＝p
所以W1=p1S1Δl1=p1ΔV
作用于右端的力F2＝p2S，它对流体做负功(因为右边对这段流
体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：
Ｗ2＝－Ｆ2Δl2＝－p2Ｓ2Δl2＝－p2ΔＶ
因此，两侧外力对研究液体所做的功为：
W＝Ｗ1＋Ｗ2＝（p1－p2）ΔV
又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，所以研究对象(a1到a2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变．这样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。
所以Ｅ2－Ｅ1＝0.5*ρ(V2*V2-V1*V1)ΔV＋ρg（ｈ2－h1）ΔV
又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能
所以Ｗ＝Ｅ2－Ｅ1
（p1－p2）ΔV＝0.5*ρ(V2*V2-V1*V1)ΔV＋ρg（ｈ2－h1）ΔV
整理后得：P +0.5*ρv*v+ρgh = 常量
伯努利方程的实质是：功能守恒原理在理想流体做定常流动中的应用。它的结论是，对于同一直线上的，任意两点有：
P +0.5*ρv*v+ρgh = 常量
伯努利方程在生活中有很多应用，比如喷雾器的基本原理、用托里拆利定律估计流量问题、球类比赛中的旋转球以及飞机为什么可以起飞等等。伯努利方程非常有用，合理的利用伯努利方程甚至可以挽救我们的生命财产，比如，当强劲的台风来临的时候，我们应该怎么做呢？
我们所说的台风实际上是一种强热带气旋。台风和飓风都是一种风，只是发生地点不同，叫法不同，也就是说在美国一带称飓风，在菲律宾、中国、日本一带叫台风。台风是一
个强大而深厚的气旋性漩涡，发展成熟的台风，其底层按辐合气流速度大小分为三个区域：外圈：又称为大风区，自台风边缘到涡旋区外缘，半径约200-300km，其主要特点是风速向中心急增，风力可达6级以上。
中圈，又称涡旋区，从大风区边缘到台风眼壁，半径约在100km，是台风中对流和风、雨最强烈区域，破坏力最大。
内圈，又称台风眼区，半径约5-30km。多呈圆形，风速迅速减小或静风。在我国东南沿海地区，每年秋夏季节常刮台风，肆虐的台风常常卷起大树，掀走屋顶，给我们带来灾难，而在台风到来时，沿海地区的居民都有个经验：台风到来时一定要关上窗户，这样可以减少台风掀顶的危险。这个经验可以用伯努利方程来解释。
在台风刮来时，如果紧闭门窗，那么风对墙面有一个推力，假设速度为v的风吹到墙面时速度降为零，根据伯努利方程，可计算出这个推力为：
F1=p*S=ρ*v*v*S/2。
其中S为房屋的迎风面积，ρ为空气密度。对八级台风而言，地面风速约为5米每秒。如果房屋迎风面积为20平方米，则：
F1=1.28*25*20/2=320N。
墙面承受320N的推力一般没有问题，但打开门窗时，空气穿过房屋，同时由于屋顶的隆起形状使得屋顶上的空气要加快速度绕过。此时，虽然台风对墙的推力减小了，但由于屋顶内外空气的流动速度不一样，外面的速度快，里面的速度慢，因此就在屋顶上产生了一个压差力，而且这个力的方向是向上的。假如屋外的风速是屋内的3倍，则作用在屋顶上的向上举力为：
F2=（p1-p2）*S=1.28*（v2*v2-v1*v1）*20/2=2560N。
这样大的力足以将一般的砖木结构的屋顶掀掉，因此，台风来时关紧窗户是减少财产生命损失的最简单实用的办法。
不过若是遇上了龙卷风那就不能关闭窗户了。龙卷风是一种伴随着高速旋转的漏斗状云柱的强风涡旋。龙卷风被人们称为大自然最狂暴的风，它的风速最高可达到500千米每小时，它的破坏力很大。龙卷风中心附近风速可达100m/s～200m/s，最大300m/s，比台风近中心最大风速大好几倍。龙卷风中心气压很低，一般可低至400hPa，最低可达200hPa。龙卷风当中是一个大漩涡，空气在其中快速旋转，由于速度很快，因此根据伯努利方程P +0.5*ρv*v+ρgh = 常量，其中心的压力极低。这样，如果龙卷风经过某个建筑物时，就会在建筑物四周产生一个瞬间的超低气压，此时如果门窗紧闭的话，因为屋内的空气不能迅速流向屋外，就产生了一个屋内压力相对屋外突然升高的过程，这极易将屋子从内部炸开。而在龙卷风到来的时，迅速打开门窗，让屋内外空气迅速交流，则屋内的损失就要小一些。
伯努利方程虽然是理想流体定常流动的动力学方程，但是伯努利方程非常重要，是流体动力学的基本方程之一，它告诉了我们许多生活中道理。为什么遇到台风要关闭门窗而为什么遇上龙卷风又要打开窗户，这都是有理可循的。其实生活中大部分现象都可以用物理原理解释，只要用心观察，勤于思考，一定会有很大的收获。
参考资料：
《力学与现代生活》第二版，复旦大学出版社
1.伯努利方程的解法
目 录 中文摘要 .......................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT .......................................... 错误！未定义书签。 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()() ()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()? ? （() y x y dy ?()?存在 且不为零）方程中的应用 (10) 2.1.2在形如1[()()]()()y y y y f x h y g yx h x x x x αα-'+=+方程中的应用 (11) 2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12) 3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。
伯努利方程实验
一，实验目的及要求 1.通过定性分析实验，提高动态水力学中许多水力现象的实验分析能力； 2.通过定量测量实验，可以进一步掌握增压管中流体力学的能量转换特性，验证流体总流量恒定的伯努利方程，掌握测压管头线的实验测量技巧和绘制方法。 二，实验内容与方法 1.定性分析实验 （1）确认相同静态液体的测压管的头线是水平线。 实验表明，在阀门完全关闭并稳定后，每个压力计管液位的连接线均为水平线。此时，滑动标尺的读数值为水在流动前的总能量头。 （2）观察不同流量下某段液压元件的变化规律。 （3）验证动态水压力是否根据均匀流段上的静水压力规则分布。 （4）遵守过程中总能量斜率线的变化规律。
（5）观察压力计头线的变化规律。 （6）沿管道的压力分布是通过使用压力计的头线来判断的。 2.定量分析实验-伯努利方程验证和测压管头线测量分析实验 实验方法和步骤：在恒定流量的情况下，改变流量两次，一次打开阀门很大，以至于1号测量管的液位接近可读范围内的最低点。流量稳定后，测量并记录每个压力测量管的液位读数，并同时测量并记录实验流量。 三，数据处理及结果要求 1.记录相关信息，实验常数，实验数据记录和结果计算：有关详细信息，请参见实验报告书 2.结果要求 （1）定性分析实验中回答有关问题 （2）计算速度头和总头 （3）在上述结果的最大流量下绘制总压头线和压强计压头线
四，注意事项 1.应注意每次循环供水实验：必须将测得的水倒回到原始实验设备的水桶中，以保持自循环供水（在以下实验中不会提示此注意事项）。 2.稳压缸内的气腔越大，稳压效果越好。但是，稳压缸的水位必须淹没连接管的入口，以避免连接管的进气口，否则，有必要拧松稳压缸的排气螺钉以提高水位。圆筒;如果调压罐的水位高于排气螺钉的开口，则表明存在空气泄漏，需要进行检查和处理。 3.传感器与压力稳定缸之间的连接管应确保通气畅通，并且水不能进入连接管和进气口，否则应将其清除。 4.智能数显流量计启动后需要预热3?5分钟。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程 流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。 方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得： Zg+2 2 u P +ρ＝常数 式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为： ρ P u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为： g u g P Z g u g P Z 2222 2 22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速 度头）。 对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式： 121 12 22211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 若为可逆绝热过程，方程可写为： 121 1222211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。 对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ， 若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为： α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如： ①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为： gh Cd u 2= 式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面
伯努利方程实验
伯努利方程实验 一、目的和要求 1、 熟悉流体流动中各种能量和压头的概念及其相互转换关系，在此基础上，掌握柏努利方程； 2、 观察流速变化的规律； 3、观察各项压头变化的规律。 二、实验原理 1、流体在流动中具有三种机械能：位能、动能、静压能。当管路条件如管道位置高低、管径大小等发生变化时，这三种机械能就会相应改变以及相互转换。 2、如图所示，不可压缩流体在导管中做稳态流动，由界面1-1’流入，经粗细不同或位置高低不同的管道，由截面2-2’流出：以单位质量流体为基准，机械能衡算式为： 式中：u l 、u 2一分别为液体管道上游的某截面和下游某截面处的流速，m ／s ； P 1、P 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面处的压强，Pa ； z l 、z 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面中心至基准水平的垂直距离，m; ρ一流体密度，Kg ／m 3 ； g 一重力加速度，m ／s 2 ； ∑h f 一流体两截面之间消耗的能量，J ／Kg 。 3、∑h f 是流体在流动过程中损失的机械能，对于实际流体，由于存在内摩擦，流体在流动中总有一部分机械能随摩擦和碰撞转化为热能损耗（不能恢复），因此各截面上的机械能总和不相等，两者之差就是流体在这两截面之间流动时损失的机械能。 4、对于理想流体（实际上并不存在真正的理想流体，而是一种假设，对解决工程实际问题有重要意义），不存在因摩擦而产生的机械能损失，因此在管内稳定流动时，若无外加能量，得伯努利方程： 22112212 22u p u p z g z g ρρ ++=++式② 表示1kg 理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上每一种形式的机械能并不一定相等，各种形式的机械能可以相互转换。式①时伯努利方程的引伸，习惯上也称为伯努利方程（工程伯努利方程）。 5、流体静止，此时得到静力学方程式： 1 2 1221 () p p z g z g P P gh ρρ ρ + =+ =+或式③ 所以流体静止状态仅为流动状态一种特殊形式。 6、将式①中每项除以g ，可得以单位重量流体为基准的机械能守恒方程： 22 112212 22f u p u p z g z g h ρρ ++=+++∑式① 22112212 f u p u p z z H ++=+++式④
伯努利方程-实验报告
伯努利方程仪实验报告 实验人 XXX 合作者 XXX 合作者 XXX XX年X月XX日 一、实验目的 1.观察流体流经能量方程试验管的能量转化情况，对实验中出现的现象进行分析，加深对能量方程的理解； 2.掌握一种测量流体流速的原理； 3.验证静压原理。 二、实验设备 本实验台由压差板、实验管道、水泵、实验桌和计量水箱等组成。 图- 1伯努利方程实验台 1.水箱及潜水泵 2.上水管 3.电源 4.溢流管 5.整流栅 6.溢流板 7.定压水箱 8.实验细管 9. 实验粗管10.测压管11.调节阀12.接水箱14回水管15.实验桌 1
三、 实验前的准备工作： 1．全开溢流水阀门 2．稍开给水阀门 3．将回水管放于计量水箱的回水侧 4．接好各导压胶管 5．检验压差板是否与水平线垂直 6． 启动电泵，使水作冲出性循环,检查各处是否有漏水的现象。 四、 几种实验方法和要求： 1. 验证静压原理： 启动电泵，关闭给水阀，此时能量方程试验管上各个测压管的液柱高度相同，因管内的水不流动没有流动损失，因此静水头的连线为一平行基准线的水平线，即在静止不可压缩均匀重力流体中，任意点单位重量的位势能和压力势能之和（总势能）保持不变，测点的高度和测点位置的前后无关，记下四组数据于表-2的最下方格中。从表-2中可以看出，当水没有流动时，测得的的静水压头基本上都是35.5cm ，验证了同一水平面上静压相等。 2. 测速： 能量方程试验管上的四组测压管的任一组都相当于一个毕托管，可测得管内任一点的流体点速度，本试验已将测压管开口位置在能量方程试验管的轴心，故所测得的动压为轴心处的，即最大速度。 毕托管求点速度公式： gh V B 2= 利用这一公式和求平均流速公式（F Q V /=）计算某一工况（如表中工况2平均速度栏）各测点处的轴心速度和平均流速得到表-1 表- 1 注：该表中数据由表-2中第一行数据计算得到 从表-1中我可以看到在细管测得的速度大，在粗管测得的速度小；在细管中测得的点速度比平均速度小，这可能是比托管的管嘴没有放在玻璃管管中心，或者比托管管嘴没有正对液体流向，使得总压与静压的差值小于实际值；在粗管测得的点速度比平均速度大，可能是因为在粗管，比托管更容易放在玻璃管中心，测得的点速度比平均速度大是正常的，因为如果是层流的话，流速沿半径方向呈抛物线分布。
化工原理伯努利方程练习题
第一章 流体流动 【例1-1】 已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m 3与998kg/m 3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。 解：根据式1-4 9984.018306.01+= m ρ =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4 ρm =1372kg/m 3 【例1-2】 已知干空气的组成为：O 221%、N 278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa 及温度为100℃时的密度。 解：首先将摄氏度换算成开尔文 100℃=273+100=373K 再求干空气的平均摩尔质量 M m =32×0.21+28×0.78+39.9×0.01 =28.96kg/m 3 根据式1-3a 气体的平均密度为： 3k g /m 916.0373314.896.281081.9=???=m ρ 【例1-3 】 本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h 1=0.7m 、密度ρ1=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。 （1）判断下列两关系是否成立，即 p A =p'A p B =p'B （2）计算水在玻璃管内的高度h 。 解：（1）判断题给两关系式是否成立 p A =p'A 的关系成立。因A 与A '两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。 p B =p'B 的关系不能成立。因B 及B '两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B '不是等压面。 （2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p'A ，而p A =p'A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即 p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2 p A '=p a +ρ2gh 于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh 简化上式并将已知值代入，得 800×0.7+1000×0.6=1000h 解得 h =1.16m 【例1-4】 如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U 管压差计，
伯努利方程教案定
山西医科大学晋祠学院 教案 （理论教学用） 单位：山西医科大学晋祠学院 教研室：基础医学部 任课教师姓名：王莉 课程名称：医用物理 授课时间：
（理论教学用）
第二章第二节伯努利方程 本节教材分析： 由于流体广泛存在于自然界，尤其是人体各种循环系统与呼吸等生理过程之中，故掌握流体力学基础知识非常必要。而对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． 学习目标完成过程： 导入新课： 听到看到这个题目，那伯努利又是谁呢？（可多媒体展示）伯努利个人简介：（Daniel Bernouli,1700～1782）瑞士物理学家、数学家、医学家。他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，17～20岁又学习医学，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等等。 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造船、航空，人体生理过程中等等都有着广泛的应用。 这就是我们为什么要学习伯努利方程？ 展示生活中常见的实例（可以用多媒体展示） 1.在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船，相互不能靠得太近，否则就会有相撞的危险，为什么？ 2.逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地向岸靠拢； 3.汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车； 4.打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后又张开； 5.简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴从两纸条中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢，就是“速大压小”的道理。 导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 在上本节课之前要对之前的知识进行回顾 一、1、定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动．
恒定总流伯努利方程综合性实验
恒定总流伯努利方程综合性实验 一、实验目的和要求 1. 通过定性分析实验，提高对动水力学诸多水力现象的实验分析能力； 2. 通过定量测量实验，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性， 验证流体恒定总流的伯努利方程，掌握测压管水头线的实验测量技能与绘制方法； 3. 通过设计性实验，训练理论分析与实验研究相结合的科研能力。 二、实验原理 1．伯努利方程。在实验管路中沿管内水流方向取n 个过水断面，在恒定流动时，可以列出进口断面(1)至另一断面(i )的伯努利方程式(i =2,3…,n ) 22 1111w122i i i i i p p z z h g g g g ααρρ-++=+++v v 取1＝2＝n …＝1，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出p z g ρ+ 值，测出通过管路的流量，即可计算出断面平均流速v 及2 2g αv ，从而可得到各断 面测管水头和总水头。 2．过流断面性质。均匀流或渐变流断面流体动压强符合静压强的分布规律，即在同一断面上p z C g ρ+ =，但在不同过流断面上的测压管水头不同，1212p p z z g g ρρ+ ≠+；急变流断面上p z C g ρ+≠。 三、实验内容与方法 1．定性分析实验 (1) 验证同一静止液体的测压管水头线是根水平线。
(2) 观察不同流速下，某一断面上水力要素变化规律。 (3) 验证均匀流断面上，动水压强按静水压强规律分布。 (4) 观察沿流程总能坡线的变化规律。 (5) 观察测压管水头线的变化规律。 (6) 利用测压管水头线判断管道沿程压力分布。 2. 定量分析实验——伯努利方程验证与测压管水头线测量分析实验 实验方法与步骤：在恒定流条件下改变流量2次，其中一次阀门开度大到使○19号测管液面接近可读数范围的最低点，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量（毕托管测点供演示用，不必测记读数）。实验数据处理与分析参考第五部分内容。 四、数据处理及成果要求 1．记录有关信息及实验常数 实验设备名称：伯努利方程实验仪实验台号： 实验者：___________A1组7人_____ 实验日期：_5月10日_ 均匀段d1= 10-2m 喉管段d2=10-2m 扩管段d3=10-2m 水箱液面高程 0= 10-2m 上管道轴线高程 z = 10-2m （基准面选在标尺的零点上） 2．实验数据记录及计算结果表1 管径记录表 测点编号①*② ③ ④⑤ ⑥* ⑦ ⑧* ⑨ ⑩ ○11 ○12* ○13 ○14* ○15 ○16* ○17 ○18* ○19 管径d /10-2m
气体的流速计算伯努利方程 (2)
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压，ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为：其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲 能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。
浅谈伯努利方程的几种解法及应用
本科毕业论文 题目：浅谈伯努利方程的几种解法与应用 学院：数学与计算机科学学院 班级：数学与应用数学2011级专升本班 姓名：张丽传 指导教师：王通职称：副教授 完成日期： 2013 年 5 月25 日
浅谈伯努利方程的几种解法与应用 摘要: 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.首先,将各种解法进行分析归类,并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法;其次,比较各种解法的优缺点;再次,利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法;最后,略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用. 关键词: 伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法
目 录 引言 ....................................................................................................................................... 1 1 伯努利方程的解法 ........................................................................................................... 1 1.1 代换法 ....................................................................................................................... 1 1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用 ........................................................... 1 1.1.2 函数代换法 ....................................................................................................... 2 1.1.3 求导法 ............................................................................................................... 3 1.1.4 恰当导数法 ....................................................................................................... 3 1.2 直接常数变易法 . (4) 1.2.1 对0)(=+y x P dx dy 的通解中c 的常数进行常数变易 .................................... 4 1.2.2 对n y x Q dx dy )(=通解中的常数c 进行常数变易 ............................................ 4 1.3 积分因子法 ............................................................................................................... 5 1.4 各种方法的比较 ....................................................................................................... 6 1.5 解法举例 ................................................................................................................... 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 ............................................................................. 10 3 总结 ................................................................................................................................. 11 参考文献 .. (12)
伯努利方程实验 答案
伯努利方程实验 一、实验目的 1、观察流体流经伯努利方程试验管的能量转化情况，对实验中出现的现象进行分析，加深对伯努利方程的理解； 2、掌握一种测量流体流速的原理； 3、验证静压原理。 二、实验仪器 装置如图1所示 图1 伯努利方程仪 1.水箱及潜水泵 2.上水管 3.溢流管 4.整流栅 5.溢流板 6.定压水箱 7.实验细管 8. 实验粗管 9.测压管10. 调节阀11.接水箱12.量杯13.回水管14.实验桌 三、实验步骤 1、关闭调节阀，打开进水阀门，启动水泵，待定压水箱接近放满时，适度打开调节阀，排净管路和测压管中的空气； 2、关闭调节阀，调节进水阀门，使定压水箱溢流板有一定溢流； 3、测出位置水头，并记录位置水头和试验管测试截面的内径； 4、打开调节阀至一定开度，待液流稳定，且检查定压水箱的水位恒定后，测读伯努利方程试验管四个截面上测压管的液柱高度； 5、改变调节阀的开度，在新工况下重复步骤4； 6、关闭调节阀，测读伯努利方程试验管上各个测压管的液柱高度，记下数据。可以观察到各测压管中的水面与定压水箱的水面相平，以此验证静压原理； 7、实验结束，关闭水泵。 四、数据处理 实验数据填入表1
1、计算出伯努利方程试验管各测试截面的相应能量损失水头和压强水头，填写在表中。 速度水头： 2 2g V =总水头-测压管水头 压强水头：P γ =测压管水头-位置水头 能量损失水头： w h=静水头-总水头 图2 伯努利方程试验管水头线图 五、思考题 1、为什么能量损失是沿着流动的方向增大的？ 2、为什么在实验过程中要保持定压水箱中有溢流？ 3、测压管工作前为什么要排尽管路中的空气？其测量的是绝对压力还是表压力？ 1、沿着流动方向，阻力损失有沿程阻力损失和局部阻力损失，故沿着流动方向能量损失是增大的。 2、当流体高度差为溢流板高度时，水会流到水箱中，溢流板作用是保持水箱中水位恒定，从而保持压力恒定，压力恒定，则流体流进伯努利试验管时未稳定流动。 3如果不排尽气泡会臧成读取压力值不准确，测得压力为表压力。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w
总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
伯努利方程
2. 一阶线性非齐次方程的通解 先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同，这里指的是在(1.34)中不含 ()0f x ≡ .显然，(1.35)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是 ()p x dx y Ce -?= 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.36)的导数，恰等 而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于(f 数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数C (x )，即令 ()()p x dx y C x e -?= 为方程(1.34)的解，其中C (x )待定.将(1.37)代入(1.34)，有 ()()()()()()()()()p x dx p x dx p x dx C x e p x C x e p x C x e f x ---? ??'-+= 即 ()()()p x dx C x f x e ? '= 积分后得 ()()()p x dx C x f x e dx C ? =+? 把上式代入(1.37)，得 ()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e f x e dx --?? ? =+? (1. 下证（1.38）为(1.34)的通解，且包含了(1.34)的所有解。 由通解定义知（1.38）为(1.34)的通解，设1y 为(1.34)的任一解，则易知 ()()2()p x dx p x dx y e f x e dx -??=? 也为(1.34)的解，则12y y -为 (1.35)的解，从而存在确定的常数C ，使得()12p x dx y y Ce ? -=，即 ()12.p x dx y y Ce ? =+ 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可. 注：1）（1）的通解有两部分组成。 2）第二部分中()p x dx e -?不能放到积分号里边去。 例1 求解方程 2dy y x dx x =+ 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程
伯努利方程实验报告
不可压缩流体能量方程(伯努利方程)实验 一、实验目的要求： 1、掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技术； 2、验证流体定常流的能量方程； 3、通过对动水力学诸多水力现象的实验分析研究，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性。 本实验的装置如图所示，图中： 1.自循环供水器； 2.实验台； 3.可控硅无级调速器； 4.溢流板； 5.稳水孔板； 6.恒压水箱； 7.测压计； 8.滑动测量尺； 9.测压管；10.实验管道；11.测压点；12.毕托管;13.实验流量调节阀 三、实验原理： 在实验管路中沿水流方向取n个过水截面。可以列出进口截面(1)至截面(i)的能量方程式 1
2 （i=2,3,.....,，n) W i h g g p Z g g p Z i i i -+++=++1222 2111νρν ρ 选好基准面，从已设置的各截面的测压管中读出 g p Z ρ+ 值,测出通过管路的流量,即可计 算出截面平均流速ν及动压g 22 ν，从而可得到各截面测管水头和总水头。 四、实验方法与步骤： 1、熟悉实验设备，分清各测压管与各测压点，毕托管测点的对应关系。 2、打开开关供水，使水箱充水，待水箱溢流后，检查泄水阀关闭时所有测压管水面是否齐平，若不平则进行排气调平(开关几次）。 3、打开阀13，观察测压管水头线和总水头线的变化趋势及位置水头、压强水头之间的 相互关系，观察当流量增加或减少时测压管水头的变化情况。 4、调节阀13开度，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量(与毕托管相连通的是演示用，不必测记读数)。 5、再调节阀13开度1～2次，其中一次阀门开度大到使液面降到标尺最低点为限，按第4步重复测量。 五、实验结果及要求： 1、把有关常数记入表2.1。 2、量测( g p Z ρ+ )并记入表2.2。 3、计算流速水头和总水头。 表2．1 有关常数计录表水箱液面高程0?___cm ，上管道轴线高程z ?_____cm ．
气体的流速计算伯努利方程
气体的流速计算伯努利方 程 Revised by Hanlin on 10 January 2021
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压， ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为： 其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲
能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。 hw为非恒定总流的水头损失，hi是单位重量流体的惯性水头。
伯努利原理讲解
伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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关于伯努利方程的教学设计物理教案
一、教学目标 1、知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动。 2、知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象。 3、通过在流体力学中应用功和能的关系推导伯努利方程，培养学生使用能量守恒思想的意识和思路。 4、通过对实例的定性分析，培养学生对实际问题的建立模型和分析推力能力，学以致用。并在使用中体会物理规律在实际生活中的意义。 二、教学建议 1、教材分析：本节内容从建立流体的理想模型——理想流体开始，简单介绍了流体的特点及流体的定常流动方式。重点依据功能关系推导了理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律——伯努利方程。并使用伯努利方程对大量生活实例进行了定性分析。 2、教法建议：本节主要是初步介绍了流体动力学的点滴知识，且作为选学内容，主要是开阔视野，培养知识、方法迁移能力，为学有余力的同学自我加深准备的。所以在教学中要以基本概念建立、基本思路迁移、基本分析方法使用为重点，不要在知识深度上过于下功夫。建议在学生有引导的自学的基础之上，讨论归纳，以便突出上述重点，遗留问题，供有兴趣的学生进一步学习。 三、教学设计示例 教学重点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。 教学难点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。 示例： （一）课前预习提纲 1、流体主要有哪些特点？什么是理想流体？ 2、什么是定常流动？什么是流线？如何用流线形象的表示流体的流动？ 3、仔细阅读书p152伯努利方程的推导过程，并思考下列问题：（1）伯努利方程表述的是什么规律? (2)对于推导过程中所选取的研究对象，是谁对它作了功，为什么？研究对象的机械能如何变化了，为什么？能否口述之。（3）你认为推导过程中最重要的是什么？难点是什么？ 4、自己做书p151的小实验，认真阅读书p154的应用举例，归纳思路，并试做书p155的练习七。 （二）课上 带领学生通过讨论预习提纲建立概念、思路，解决疑难。要让学生充分发言。 预习题简答：（仅供参考） 1、答：实际流体具有可压缩性和粘滞性。但因一般液体的可压缩量很小，可以不予考虑；而气体的压缩性虽然较强，但若流动的气体中各处的密度不随时间发生明显的变化时，也可以不考虑其压缩性。另外，在某些问题中，若流体的流动形式主要的，而粘滞性是次要的，则可认为该流体没有粘滞性。不可压缩的、没有粘滞性的流体就是理想流体。理想流体实际上是一个理想的物理模型。 2、答：流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动方式称为定常流动，也可称为稳定流动。这也是一种理想化的流动方式。 在定常流动的流体中，假象沿着各液体质点的运动轨迹画出许多曲线，这些线就叫做流线。流线在某一点的切线方向表示该点的流速方向，流线的疏密表示流速的大小，即流线越密，表示流速越大。 3、答：（1）伯努利方程表述的是理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律。 其规律为：常量。
(_伯努利方程)实验
实验四 伯努利方程实验 一、实验目的 1．熟悉流动流体中各种能量和压头的概念及其相互转换关系，在此基础上掌握柏努利方程； 2．观察不可压缩流体在管内流动时流速的变化规律，并验证伯努利方程； 3．观察各项压头的变化规律； 4．加深对流体流动过程基本原理的理解。 二、实验原理 对于不可压缩流体，在导管内作定常流动，系统与环境又无功的交换时，若以单位质量流体为衡算基准，则对确定的系统即可列出机械能衡算方程： 若以单位重量流体为衡算基准时，则又可表达为 不可压缩流体的机械能衡算方程，应用于各种具体情况下的作适当的简化，例如： (1) 当流体为理想液体时，于是式(1)和(2)可简化为 (2) 当液体流经的系统为一水平装置的管道时，则(1)和(2)式又可简化为 (3) 当流体处于静止状态时，则(1)和(2)式又可简化为 (1) 222 2221211∑+++=++f h p u gZ p u gZ ρρ(2) 2222221211f H g p g u Z g p g u Z +++=++(3) 22222 21211ρρp u gZ p u gZ ++=++(4) 2222221211g p g u Z g p g u Z ρρ++=++(5) 2222 2121f h p u p u ∑++=+ρ ρ(6) 2222 221211f h g p g u Z g p g u Z ∑+++=++ρρ(7) 2 211ρρ/p gZ /p gZ +=+(8) 2211g /p Z g /p Z ρρ+=+
三、实验装置及流程 1．稳压水槽 2.试验导管 3.出口调节阀 4.静压头测量管 5．冲压头测量管 四、实验步骤 实验前，先缓慢开启进水阀，将水充满稳压溢流水槽，并保持有适量流水流出，使槽内液面平稳不变，最后，设法排尽设备内的气泡。 1．关闭实验导管出口调节阀，观察和测量液体处于静止状态下个测试点（a、b 和c三点）的压强。 2．开启实验导管出口调节阀，观察比较液体在流动情况下测试点的压头变化。3．缓慢开启实验导管的出口条件阀，测量流体在不同流量下的各测试点的静压头、动压头和损失压头。 实验过程中必须注意如下几点： (1)实验前一定要将实验导管和测压管中的空气泡排除干净，否则会影响准确性。 (2)开启进水阀或调节阀时，一定要缓慢，并随时注意设备内的变化。 (3)实验过程中需根据测压管量程范围，确定最小和最大流量。 (4)为观察测压管的液柱高度，可在临实验测定前，向各测压管滴入几滴红墨水。 五、实验记录 1．测量并记录实验基本参数 实验导管内径：d A=16mm；d B=25mm；d C=16mm; 实验系统的总压头：h= 450mmH2O