手持技术与高中数学教学教材整合

手持技术与高中数学教学教材整合

上海市曹杨第二中学桂思铭

摘要：教育技术的迅猛发展对数学教育及数学本身都产生了深远的影响，而手持技术的运用使教材的呈现更有利于学生的思维发展和主动学习，本文阐述了手持技术与教材整合的途径与利于整合的知识内容，以引发大家对手持技术与教材整合的进一步思考。

关键词：手持技术、图形计算器、数学教材

上海二期课改提出了“构建国际化大都市为背景，以德育为核心，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，以学习方式的改变为特征，以应用现代信息技术为标准的课程体系”的基本要求。教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》(以下简称《课标》)的课程基本理念要求“注重信息技术与数学课程的整合”，这为数学教材的改革及技术与教材的整合提供了新的要求与契机，眼下教育技术与课程教材的整合已成了一个众人谈论的热门话题，笔者也乘着这一大好时机，结合图形计算器在高中数学教学中的实践经验，就手持技术与高中数学教材的整合提出一些粗浅的看法，以此来引发大家对这一问题更深入仔细的思考。

一、技术对数学教育的影响

教育技术的迅猛发展对数学教育及数学本身都产生了深远的影响。“我们知道，计算器使我们的教学方式和学生的学习方法发生了变化。在计算机和计算器出现之前，学生需要花费时间掌握并熟练使用以纸和笔为基础的计算和运算方法。今天，这样的时间有许多都可以花在对更深的概念的理解以及进行更有价值的、关键性的思考和学习更好地解决问题的技巧上”。（Bert K。Wais）“因技术的发展，一些数学方法变得不像原来那么重要了（像许多依赖于纸比和笔的运算和符号运算技巧）；一些数学方法比以前更加重要了（像离散数学、数值分析、参数表述和非线性数学）；一些新的数学方法成为可能（像分形几何）”。（Henry Pollak）《课标》中也明确指出：随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。一些新的数学内容（如数据的收集与处理，线性方程组与矩阵运算，计算方法的优化等）已成为了一个现代公民所应该掌握的知识和进一步学习的基础，而这些内容在高中阶段的学习往往有赖于技术的支撑，如果没有技术的帮助，统计工作只能求平均数，画频方图，不涉及决策，不能有效地进行进行数据处理和分析；矩阵的运算无法来有效地处理具体的问题。只有在技术的环境中学生才能有效地运用知识，体会并学好这些内容。

原有的教材，由于受计算工具的制约，为了避免繁杂的计算而只能对来自生活的数字进行裁减，由此产生了许多人为编造的应用问题，使学生感到数学与真实生活脱节，感到数学乏味，而技术为来自真实生活的数学，为教学的应用性与真实性创造了条件。应用计算机或计算器及数据采集工具，可以直接从生活中的一些常见的现象中采集数据，并使用来自真实生活的数据，不必担心复杂数据的处理。

随着图形计算、计算机代数系统或电子数据表格的产生，我们有了多样的解决数学问题方法。使课程的内容、解题方式可以具有多样性与选择性，对于同一个问题可以采用多元的表征方式，外部刺激的多样性有利于调动多种器官的协同作用，如在研究一个函数问题时，可以采用数值的、图像的及解析的方法，学生可以通过数表、图像的直观获取猜想，然后用解析的方式加以论证；也可以将由解析方法中得到的结果用数值及图像的方法加以确认结果的合理性。从不同的角度采用不同的方法来研究一个问题，而不是以划一的要求来研究处理问题。可充分地照顾到学生在数学学习上的差异性，较大程度地满足不同学习层次的学生不同的数学需求，真实而富有弹性的数学内容必将利于广大学生正确地认识数学的价值和学习数学的意义，易于激发学生的学习兴趣。

技术的运用可使教材的呈现方式有利于学生的思维发展和主动学习。借助于技术，教学内容可具有较强的交互性与实践性。学生可以通过更多的操作，感知和体会知识的发生过程及数学问题的本质，方便学生对规律的探究和结果的验证。这样的学习不仅仅使学生获取知识更具有实践性、主动性，同时也有助于学生形成一种良好的学习习惯和学习观念，让学生认识到：数学的学习不能只是被动的接受，而是需要自己主动地建构；生活中充满了数学，每一个社会的人都有各自对于数学的需求，通过自身的努力，每个人都能找到适合自己发展的数学。

二、手持技术具有的优势

这里所说的手持技术(handheld technology)，主要是指运用图形计算器及与之相关的数据采集器等来改善教学的技术手段。

图形计算器的发展非常迅速，TEXAS INSTRUMENT，CASIO，信利等公司在不断地研发新的图形计算器及相关产品，如TI-83plus、TI-92plus、voyage200等系列。产品功能上的突破为我们创造了有利的条件，这些图形计算器集许多数学软件于一体，其功能非常强大，如计算机代数系统，能进行代数、微积分等多方面的运算；几何绘图软件不仅能完成常规的作图，还能进行动态演示、变换，进行图形探索；数据处理系统可以探索数据规律，进行回归分析，并具有程序编辑功能。另外基于图形计算器的数据采集器如CBL、CBR等为从现实生活中采集数据，为学生建立数学模型、抽象数学规律提供了方便。图形计算器的便携性能适时地处理问题，先进的闪存技术可以不断更新应用课件，同学间的计算器可以方便地互相传输数据，所有这些都有利于学生的自主探究学习和合作学习。

网络上有大量的与手持技术相关的内容，其中包括专家教师的研究文章、教学设计、技术运用的辅导及相关问题的咨

询，还有专业设计的应用程序及可用于教学的游戏等。教师和学生可以充分利用网络的便利拓展教学空间，借鉴同行的成功经验。

美国德州仪器公司等在图形计算器的应用上有着较为完善的教师培训机制，它的刊物EXPLORA TION 有着丰富的适合美国课程的教学活动题材，同时德州仪器(中国)公司也正在积极开发适合我国课程的教师培训材料及与教学相关的材料，德州仪器与上海市教委教研室及师资培训中心在各个区县组织了一定规模的教师进行有关图形计算器在数理教学中运用的培训，形成了一批在图形计算器运用方面的骨干教师。一些国际教育组织如T3 (Teacher teaching with technology)十分重视手持技术与课堂教学的整合，为教师的职业修炼提供这方面的题材和相关的培训活动，鼓励教师参与到这项工作中来。 近年中国数学教育专业委员会与德州仪器公司合作，每年召开一次有关手持技术在数学教育中的运用交流的年会，表彰在这方面有成绩的教师与学校，交流推广手持技术在教学中运用的经验。

国内外有许多与图形计算器相关的书籍、课程标准下的与手持技术整合的教科书。人民教育出版社中学数学室也正在着手研究推出信息技术与高中数学整合的教材，目前在北京、广东、云南等省、市积极进行教材实验工作，教材中手持技术也是一种十分重要的技术平台。另外，上海二期课改物理教材也正在进行这方面的尝试与实验。有关方面也正在进行怎样用图形计算器进行考试的研究工作。

所有这些都清楚的表明，手持技术作为一种通用的技术平台，便捷易学、功能强大，有着独特的优势，同时手持技术与数学教材的整合已具有相当的基础和条件，这样的整合教材也与我们课程改革的理念相适应，开发这样的整合教材是与时俱进的明智举措。

三、图形计算器与教材整合的途径

如何使手持技术在课程标准的框架下与数学学科整合，使之更好地为学生学习服务，这是一个十分重要关键的任务，怎样使技术的介入有实用价值，保持好我们教材中的优良传统，推陈出新，这是一个首要的问题，下面结合一些教科书中的实例，来看技术与教材的整合。

1. 改变呈现方式，创设活动环境

技术为我们创造了条件，图形计算器是学生学习很好的合作伙伴，许多过去难以进行的一些探究发现活动成为了可能。在教材内容的呈现上应加强归纳发现，使教材的体例从以演绎为主，变成演绎与归纳并重。充分注意技术的特点与优势，积极创设学生活动探究的环境，使学习过程富有挑战性，让广大学生都能主动参与探究发现的过程，动手、动脑，在亲历的活动中深化对问题的认识，使学生乐于参与善于发现。

下面看一段教材内容:

已知O 为四边形ABCD 所在平面上的一点，且向量OA 、OB 、OC 、OD 满足等式OA OC + =OB OD +

。

试用图形计算器或计算机作图，观察四边形ABCD ，你能发现什么规律？试用向量方法证明你所发现的规律。

(摘自普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学 第一册（下） 人民教育出版社) 用TI-92中cabri geometry 作图(图1)，从图中容易发现当向量OA OC + 与OB OD + 不等时，四边形ABCD 不是平行

四边形，当OA OC + 与OB OD +

相等时，四边形ABCD 是平行四边形。

教材中不是生硬地要求学生证明结论，先让学生能借助于技术进行活动，通过活动让学生发现规律得出结论， 这样学习活动不只是接受、记忆、模仿和练习，学习过程成为在课程引导下的“再创造”过程，学生体验了数学发现和创造的历程，这样的学习不仅让学生获取知识，同样也有利于学生的知识迁移，发展学生的创新意识与创造能力。

2. 适应技术发展，变革教学内容

由于技术的介入，新的教学内容可以进入我们的教材。请看国外教材的一个例子：

EXAMPLE Suppos the present deer population is https://www.360docs.net/doc/c118634344.html,e a 12% unrestricted grouth rate and a carrying capacity ，or maximum population ，of 2000 deer to find the population after 50yr.Make a graph showing (time ， population) over the next 50yr.

Screen Form the graph

of

y we see that 0.5y → as 1x → Solution The recursive function used to predict deer population is

(1)

(1)(1)0.12(1)2000n n n n u u u u ---=+-.

A seed value ， or start value ， of 300 for n=0 gives

501976u ≈The graph shows the population as it grows toward the horizontal asymptote or capacity of 2000 deer.

（摘自Advanced Algebra Through Data Exploration A GRAPHING CALCULATOR APPROACH KEY CURRICULUM PRESS ）

假设当前鹿的数量是300，依目前的条件鹿的总数最多能有2000头，用12%无约束增长模型，求50年后鹿的数量，作出50年间鹿的数量关于时间的图像。

解：用于预测鹿的数量的递推函数为

(1)

(1)(1)0.12(1)2000n n n n u u u u ---=+-初始值为300。

计算得501976u ≈，图形显示逐渐接近水平渐近线即数量接近2000。

上面例题中，人口增长模型是一个常用的数学模型，而用差分方程来建立模型也是一种常用的方法，同时这样的方法适应计算机技术带来的优势，便于求得近似的数值解。差分方程也常用在现实世界的一些问题处理中，如气象的短期预报中就有着重要的运用。类似这样的内容，可借助于图形的直观和数值的计算，在大量的数据及图形中来理解问题掌握方法。这样的教学内容的学习学生可接受更多的是数学的思考问题的方法，能更好地体现其实际的价值和数学的文化。 我们不能仅仅把技术看成一种计算工具，技术是学习数学的帮手和伙伴，在技术的环境中，许多过去难以教学的有实用价值的数学知识可以充分地展示给学生，让技术带给学生更多的有用的数学，使数学能更好地促进学生的发展。

3. 加强多元表述，把握数学概念

下面是一个国外教材中有关函数极限的一个例子。通过图形的直观学生可以获得这个极限的值，同时它也启发学生应怎样来理解这一极限，怎样来求得这一极限。

EXAMPLE Finding a Limit Graphically

Graphically find 1x → Solution Fist notice that both the numerator and denominator are heading for 0 as 1x →.thus ，we cannot use Rule https://www.360docs.net/doc/c118634344.html,ing a window of dimension [0，2] by [0，1] we obtain Screen.From this is it appears that the is 0.5.

Confirm Example Algebraically

Confirm algebraically the limit found in Example.Hint : Write

1111x x =--simplify the right-hand side ，

and use the rules of limits.

摘自 Calculus Applications and Technology for business ，social and life sciences

Saunders College Publishing

用图形发现极限

解：首先我们发现当1x →时，分子及分母都趋于0，所以不能用法则4求极限。用窗口为[0，2]×[0，1]的屏幕图像，可以发现极限为0.5。

用代数方法确认发现的结论、提示

=

我们再来看一个例子:

例：试求出下面两个等差数列的所有公共项依次排列组成的新数列的通项公式。

(1) 3， 7， 11， 15， 19 …；

(2) 2， 9， 16， 23， 30…。

分析：将这两个数列的通项公式分别输入计算器(图4-(1))，计算得图4-(2)移动光标，观察图中的数可得到公共项为 23， 51， 79， 107，…猜想这些公共项构成一个以23为首项，28为公差的等差数列，其通项公式为: 23+(28)1-n 。

解: 设两个数列的通项公式分别为)(n u 和)(k v ，且)()(k v n u =，

所以

)1(72)1(43-+=-+k n ， 即k n 7)1(4=+ ①

由于4与7互质，要使 ① 式成立， 则 s k 4=。

公共项为528)1(72-=-+s k 。

所以，公共项依次组成的数列是以23为首项，28为公差的等差数列，其通项公式为 28)1(23-+=n a n 。

摘自 普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学 第一册（上） 人民教育出版社

技术的运用可促进学生的思维，学生可从数据表格出发直接发现规律，在学习上建立起“非人为的直接的联系”，使学生的学习真正成为“意义学习”。

在一些函数的性质，微积分的有关概念的学习中技术的作用十分明显，其重要原因是由于技术可以使抽象的符号、零散的数据得以直观化，可以极大程度地将不同侧面的信息整合起来，加深对问题的本质属性的认识，许多数学教学的文章中都充分地肯定了这一点。我们可借助技术的力量，使学生突破学习中的难点，深入理解数学概念。

四、手持技术与教材的整合点

在手持技术与数学教材的整合中，许多知识内容可充分地体现技术的作用，让学生在技术的环境中学得更好，下面根据教学中的体会提出一些具体的整合点:

1．通过对具体的函数，从数值、图像上的研究帮助抽象一般的函数性质，使学生理解这些性质的意义， 把握一类函数的的特点及变化规律，加深对各类基本初等函数的认识。如通过数表和图像，可让学生比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，使学生体会指数函数递增快得惊人。

2．研究函数图像的对称、平移变换，通过函数作图使学生自己发现问题总结规律，使学生在理解的基础上，运用公式解决问题，帮助学生摆脱机械的套用公式。

3．借助于函数图像使学生理解方程、不等式、函数间的关系，借助计算器用二分法或迭代的方法求相应方程的近似解。

4．帮助学生理解周期函数，掌握三角函数图形的变化规律。

5．帮助理解极限、导数的概念及其意义，使学生能很好地通过图形运动的直观来理解这些抽象的概念。

6．建立回归方程，进行简单预测。

7．差分方程，递推、递归的思想，体会“用有理数逼近无理数”。

8．模拟估计简单随机事件发生的概率，用计算器来处理数据，更好地体会统计思想。

9．用几何软件来帮助研究向量问题，让学生通过几何作图，来发现问题然后用向量来计算证明，让学生在图形与向量间建立联系，使学生更深入地认识向量。

10．运用几何软件动态地研究圆锥曲线及轨迹方程，近年中学数学教学中利用几何画板，卡氏几何来帮助研究解析几何的教学案例很多，教师中有许多成功的经验，这方面非常值得研究总结，通过几何软件的运用，学生可以有更多的活动与操作。

为学生创设一个交互式的学习环境，引导学生探究学习，加强学生对数学的理解和直观。为学生拓宽学习的空间，让学生在技术的帮助下有更多的经历和体验，使不同学习层次的学生都有适合自己的数学内容，手持技术能帮助我们做得更好，让我们一起努力吧。

参考书籍

1．数学教育展望华东师大出版社徐斌艳编著

2．数学教育学江西教育出版社张奠宙唐瑞芬刘鸿坤著

3．普通高中数学课程标准（实验）中华人民共和国教育部制订人民教育出版社

4．上海市中小学数学课程标准（征求意见稿）上海教育出版社

5．普通高级中学实验教科书数学（信息技术整合本）人民教育出版社

6．Advanced Algebra Through Data Exploration A GRAPHING CALCULATOR APPROACH KEY CURRICULUM PRESS）

7．Calculus Applications and Technology for business，social and life sciences Saunders College Publishing