概率论期末考试复习题及答案

第一章

1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6

1_______.

2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4

1_____.

3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____.

4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立

5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.

6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．

7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．

8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同

颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.

9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.

10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35

第二章

1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413）设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587

2.设连续型随机变量X 的分布函数为???≤>-=-,0,

0,1)(3x x e x F x

则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ x

e 33-_____.

3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=?

??≤>--,0,0;

0,2x x e a x 则常数a =____1____.

4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X

5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____

_______.

6.X 表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____

7.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = ____0.6_______.

8.设随机变量X 的分布律为

Y =X 2，记随机

变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=_____9/16____________.

9.设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 1

10.已知随机变量X 的密度函数为

f (x )=A e -|x |, -∞

求：（1）A 值；（2）P {0

21 21(1-e -1

) ????

?≤>-=-0

211)(x e x e x F x x

11.设随机变量X 分布函数为

F （x ）=e ,0,

(0),00.xt A B x ,

x λ-?+≥>?

（1）求常数A ，B ；

（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ

21--e P {X ＞3}=λ

3-e

?≤>=-0

)(x x e x f x

λλ 12.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ）.

????

???

≥≤<-+-≤<≤=21211221102100)(2

2x x x x x x x x F

13.设随机变量X 的分布律为

求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 2的分布律.

????

??????

?≥<≤<≤<≤--<≤--<=31

3130/191030/170

130/11125/120

)(x x x x x x x F 14.设随机变量X ~U （0,1），试求：

（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数.

?????<<=others e y y y f Y 0

11)( ???

??>=-others

z e

z f z

Z 0021)(2

第三章

1．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ?????>>=+-,,

0;0,0,),()(其他y x e

y x f y x

（1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独立，并说明理由.

?≤>=-00

)(x x e x f x

X ???≤>=-0

0)(y y e y f y

因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独立

2．设二维随机变量22

1212(,)~(,, ,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ=____0______.

3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独立，则2X-Y~___ N （-3，25）____.

4.设随机变量X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为

，

则{}==+1Y X P _____

_______. 5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成

的三角形区域，则(X,Y)的概率密度101()2

y x f x y others

?≤<≤?

=???，．

，Y

（2）随机变量Z=XY 的分布律.

求：

Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独立？为

什么？（4）X+Y 的分布列.

因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独立。

8.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=???>>+-.,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1）常数A ；（2） P {0≤X <1，0≤Y <2}. A=12 P {0≤X <1，0≤Y <2}=3

(1)(1)e e ----

9.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=?

?<<<<--.,0,

42,20),6(其他y x y x k

（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X +Y ≤4}.

18 38 2

10.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=?

??>-.,0,

0,e 55其他y y

求 X 与Y 的联合分布密度.

f （x, y ）=525e ,0,0,

0,.y x y -?>>??

其他

11.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

.y x x y x -≤≤≤≤??

?其他

求边缘概率密度.

12.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<-.,

0,其他e y x y

求边缘概率密度.

13.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???≤≤.,

1,22其他y x y cx

（1）试确定常数c ；

（2）求边缘概率密度.

14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<.

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

（2） X 与Y 是否相互独立？

第四章

1.设X ~B （4，

1），则E （X 2）=____5_______. 2.设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则Cov （X ，Y ）=____1_______.

3．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E （X ）=1，则x =____10/7________.

4．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则E （2X+1）=__5/3__, D （2X+1）=___4/9___.

5． X 的分布律为则{}=<)(X E X P __ 0.8 __.

6．设X 1，X 2，Y 均为随机变量，已知Cov(X 1,Y )=-1，Cov(X 2,Y )=3,则Cov(X 1+2X 2, Y )=__7_____.

7．设X~N （0，1），Y~B （16，2

），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= ____8____．

8．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为?

??<<<<=，y x xy y x f 其他,0;

20,10,),(试求：

（1）E （X ），E （Y ）；（2）D （X ），D （Y ）；（3）ρXY . 2/3 4/3 1/18 2/9 0

且已知E （Y ）=1，试求：（1）常数α，β；（2）E （X ）；（3）E （XY ）. 0.2 0.2 0.6 0.6 10.设随机变量X 的分布律为

求E （X ），E （X 2），E （2X +3）.

11.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）.

12.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .

13.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）.

14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=?

??<<<<.,0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求XY ρ.

15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,

计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3

）

16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=22

1,1,

π0,

.x y ?+≤????其他

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

17.

验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

第六章

1.设总体~(0, 1)X N ，X 1, X 2,…,X n 为样本，则统计量

i X

=∑的抽样分布为___)(2

n χ___.

2. 设X 1，X 2…，X n 是来自总体2

~(, )X N μσ的样本，则∑

=σ

μ-n

i i )X (

2 ～__)(2

n χ__（需标出参数）．

3. 设X 1，X 2，…，X n （n>5）是来自总体~(0, 1)X N 的样本，则∑∑==-=

i i

X n Y 6

251

2)55(

～

__)5,5(-n F __（需标出参数）．

4.设总体2

~(1, )X N σ

，

X 1, X 2,…,X n 为来自该总体的样本，则1

i i X X n ==∑，则()E X =____1____， ()D X =__n

σ___。

5．设总体2

~(, )X N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，令U=

μ)

(-X n ，

则D （U ）=____1_______.

6.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值

之差的绝对值大于3的概率.（用标准正态分布函数()Φ?表示） ))2(1(2Φ- 7．设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，

S 2为其样本方差，则统计量___2

9S ___～2(9)χ.

第七章

1. 设总体X 的概率密度为(1),01;

(;)0,

,x x f x θθθ-+?<<=??其他

其中θ是未知参数，x 1,x 2,…,x n 是来自该总体的样本，试求θ的矩估计和极大似然估计. X

+=1矩

∑==n

i i

L x

ln θ

2. 设总体X 服从（0，θ）

上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.2, 0.3, 0.5, 0.1, 0.6, 0.3, 0.2, 0.2，求求θ的矩估计值和极大似然估计值. 0.6 0.6

3. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体

的一个样本，求参数λ的矩估计量和极大似然估计量.

X =矩λ X L =λ

4. 设总体~(, 1)X N μ，123,,X X X 为其样本，若估计量12311

?23

X X kX μ

=++为μ的无偏估计量，则k = ___1/6_____.

5. 设总体是~(, 2)X N μ，123,,X X X 是总体的简单随机样本，1?μ

, 2?μ是总体参数μ的两

个估计量，且1?μ=123111244X X X ++，2?μ

=123111

333

X X X ++，其中较有效的估计量是__2?μ

____.

6. 设某种砖头的抗压强度2

~(, )X N μσ，今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位：kg ·cm -2）的均值76.6x =，和标准差18.14s =：

（1）求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.

（其中0.0250.025(19) 2.093, (20) 2.086,t t == 22

0.0250.975(19)32.852, (19)8.907, χχ==

220.0250.975(20)34.170, (20)9.591χχ==）

(68.11, 85.09) (190.33, 702.01)

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论复习题及答案

复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。（4）会求简单随机变量函数的概率分布。（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。（3）会计算随机变量函数的数学期望。（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论试题(答案)

试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。３．已知互斥的两个事件满足，则___________。４．设为两个随机事件，，，则___________。５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则（）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B)

概率论期末考试试题

1.全概率公式贝叶斯公式 1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设A i 、A 2、A 3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户，B 表示“发生事故”，由贝叶斯公式知 057 .030 .03.015.05.005.02.005 .02.0) |()()|()()|()() |()()|(332211111≈?+?+??= ++=A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P 2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求: (1) 考生在考试中答对第一道题的概率; (2) 若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率. 3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。 1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、解：设事件A 表示拉到一级菜，1B 表示从甲地拉到，2B 表示从乙地拉到， 3B 表示从丙地拉到则1()0.2P B =，2()0.5P B =；3()0.3P B = 1()0.1P A B =，2()0.3P A B =, 3()0.7P A B = 则由全概率公式得 3 1 ()()(/)i i i P A P B P A B ==?∑=0.20.10.50.30.30.70.38?+?+?=—（7分） (2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为 222()()0.50.3 ()0.3947()0.38 P B P A B P B A P A ??= ==—————————（10分） 2.一维随机变量 5.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量 2X Y=e 的密度函数. 6. ).1,0(~-X Y ),,N(~X 2N σμ = σμ用分布函数法证明：已知证明: 设 b aX Y x f X x +=),(~, 则0≠a 时,Y~ )(y f Y =a 1)(a b y Y f - {}{}) 1,0(~21 2)()()()()()(2 2)(22 2 N Y e e y f y F y F y f y F y X P y X y Y P y F y y X X Y Y X Y ∴π = σ πσ =σμ+σ=μ+σ'='=μ+σ=μ+σ≤=? ?? ???≤ σ μ -=≤=- σμ-μ+σ- 7.设随机 7.变量X 的密度函数

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率统计试题及答案

<概率论>试题一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分

概率统计试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A，（4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论模拟试题(附答案)

模拟试题（一）一．单项选择题（每小题2分，共16分） 1．设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立 (C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 2．设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（） (A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21 3 )1(p p C - 3．若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 4．若随机变量ξ的概率密度为)( 21)(4 )3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π ，则=η（）)1,0(~N (A) 2 3 +ξ (B) 2 3 +ξ(C) 2 3-ξ(D) 2 3 -ξ 5．若随机变量ηξ ,不相关，则下列等式中不成立的是（） (A) 0),(=ηξCov (B) ηξηξD D D +=+)( (C) ηξξηD D D ?= (D) ηξξηE E E ?= 6．设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（） (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n (C) ) (~21 2n X n i i χ∑= (D) )1(~-n t S X 7．样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（）不是总体期望μ的无偏估计量

《概率论》期末考试试题及答案

07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案一、填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3，其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1，则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ，其分布律为则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。二、单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为

00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为（① ）。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分）（1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。解：

概率论期中考试试卷及答案

1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。解：设x,y 分别为两船到达码头的时刻。由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。解: 厦门大学概统课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业考试时间

概率统计期末考试真题经管类

2007级经管类《概率统计》期末试卷一、1设B A ,是两随机事件，且()0.3,P A B -=（1）若B A ,互不相容，求()P A ；（2）若(|)0.4P B A =，求()P A ；（3）若()0.7P A B ?=，求)(B P 。 2.钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别为40%、35%、25%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别为、和. （1）求找到钥匙的概率；（2）找到了钥匙，求它恰是在宿舍找到的概率二、1.随机变量 X ～?? ? ??≤<-≤≤=他其,021,21 0,)(x x x x x f 求：(1) X 的分布函数)(x F ；（2）(0.25)P X > 2. 袋装食盐每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克,标准差为10克,一箱装100袋.求一箱食盐净重超过50250克的概率. 三、1. 随机向量),(Y X 的联合分布如下表所示,求：（1）关于X 、Y 的边缘分布; （2）ov(,)0.08,()C X Y D X Y =-已知求 . 2 设随机变量X 服从[1，2]上的均匀分布，Y 服从(5,4)N ，且X 与Y 相互独立。(1)写出随机变量X 的密度函数)(x f X 与Y 的密度函数)(y f Y ；（2）写出随机向量()Y X ,的联合密度函数(,)f x y ；(3) ()1,5P X Y >> 四、 1. 已知总体X 的概率密度函数为

?? ?<<=-其他 1 0),(1 x x x f θθθ 其中θ为未知参数，对给定的样本观察值n x x x ,...,,21，求θ的最大似然估计。 2. 某洗涤剂厂有一台瓶装洗涤精的罐装机，在正常生产时，每瓶洗涤精的净重服从正态分布),(2 σμN ，均值454g μ=，标准差g 12=σ，为检查近期机器是否正常，从生产的产品中随机抽出16瓶，称得其净重的平均值456.64X g =.假定总体的标准差σ没有变化，试在显著性水平05.0=α下检验罐装机是否正常。五、1、总体X ～),(2 σμN ，321,,X X X 是取自总体的简单随机样本。∑==3 1 131?i i X μ ，;414121?3212X X X ++=μ 32135 1 5152?X X X ++=μ,3411?4i i X μ==∑为总体均值μ的四个估计量.其中哪些是μ的无偏估计量，哪一个较有效，为什么 2、用机器自动包装某种产品总体服从正态分布，要求每盒重量为100克，今抽查了9盒，测得平均重量102克，样本标准差为4克，求总体方差2 σ 的95%的置信区间六、为确定价格与销售量的关系的统计资料如下表: 数据分析结果为回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差观测值 9 方差分析 df SS MS F Significanc

《概率论》期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3 )(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解二、单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++

《概率论》期末考试试题

《概率论》期末考试试题 1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率. 2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大? 3. 考虑[0,∞]上的Poisson 过程, 参数为λ. T 是与该Poisson 过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以T N 表示[0,T ]中Poisson 过程的增量, 求T N 的概率分布. 4. 设ξ1ξ2……ξn 是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求∑==n k k n 11ξξ和21)(1ξξ-∑=n k k n 的相关系数. 5. 设X 是连续型随机变量,密度函数f X (x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞. a. 证明特征函数φX (t) = 1/(1+t 2). b. 利用上述结果和逆转公式来证明 dt t e dt t e e ixt ixt x ) 1(1)1(122||+=+= ??∞∞-∞ ∞---ππ 6. 设随机变量序列ξn 依概率收敛于非零常数a, 而且ξn ≠0. 证明1/ξn 依概率收敛于1/a. 7. 假设X 与Y 是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x 的条件下Y 的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X 无关, 证明EY=μ而且VarY=?∞ ∞-=dx x f x X Y Var X )(]|[. 8. 设{ξn }为独立随机变量序列, 且ξn 服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn }中心极限定理成立. 9. 设X,Y 和Z 的数学期望均为0, 方差均为1. 设X 与Y 的相关系数为ρ1, Y 与Z 的相关系数为ρ2, X 与Z 的相关系数为ρ3. 证明 213ρρρ≥211ρ--22 1ρ-. 10. 用概率方法证明如下Weierstrass 定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n (x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n (x) → f(x). 附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995 Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,