2014年新课标(2)全国高考文科数学试题

2014年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}

==--=-=B A x x x B A 则，，,02,2022 (A) ? （B ）{}2 （C ）{}0 (D) {}2-

(2)

131i i

+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i - （3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘

（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则

（A ）p 是q 的充分必要条件

（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

（C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件

(D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

（4）设向量a ,b 满足a ·b=

（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5

（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，

则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ）()

12n n + (D) ()

12n n -

（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），

图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径

为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体

积与原来毛坯体积的比值为

（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13

（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2

D 为BC 的中点，则三棱锥11DC B A -的体积为

（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D

）2

（8）执行右面的程序框图，如果如果输

入的x ，t 均为2，则输出的S=

（A ）4

（B ）5

（C ）6

（D ）7

（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥?

，则

2z x y =+的最大值为

（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1

（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =

（A

（B ）6 （C ）12 （D

）（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是

（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞

（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是

（A ）[]1,1- （B ）1122??-????， （C

）?? （D ）

22?-???

，

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

（13） 甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择

1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.

（14）函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________.

（15）偶函数)(x f 的图像关于直线2=x 对称，=-=)1(,3)3(f f 则______.

（16）数列{},2,1121=-=+a a a a n

n n 满足则1a =_________. 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2. (I )求C 和BD; (II )求四边形ABCD 的面积。

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点。 （I ）证明：PB ∥平面AEC;

(II )设AP=1，AD=3,三棱锥P-ABD 的体积V=

43， 求A 到平面PBC 的距离。

(19)（本题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民给两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘

（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

O E D B A P

(20)（本题满分12分）设21F F ，分别是椭圆C:)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N 。

（1）若直线MN 的斜率为，4

3求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且b a N F MN ,,51求=.

(21)（本小题满分12分）已知函数,23)(23++-=ax x x x f 曲线)2,0()(在点x f y =处的切线与x 轴的交点横坐标为.2-

（1）求a ；（2）证明：当1

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号评分；不涂，多涂均按所答第一题评分，多答按第一题评分.

(22)（本小题满分10分）选修4-1： 几何证明选讲

如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B,C; PC=2PA ，D 是PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：

（1） BE=EC;

（2） 22PB DE AD =?.

(23)（本小题满分10分）选修4-4： 坐标系与参数

方程

在直角坐标系xoy 中，以坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，半圆C 的极坐标方程为??

????∈=2,0,cos 2πθθρ. （1） 求C 的参数方程

（2） 设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线23:+=x y l 垂直，根据（1）中

你得到的参数方程，确定D 的坐标.

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数)0(1)(>-++=a a x a

x x f . （1） 证明：;2)(≥x f （2）若的取值范围求a f ,5)3(<.

2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题答案

一、选择题

1、B

2、B

3、C

4、A

5、A

6、C

7、C 8、D 9、B 10、C 11、D 12、A

二、填空题

13、解：他们选择相同颜色运动服的概率为P(A)=.3

193= 14、解：.1)(,1)sin (co s sin 2sin co s co s sin )(m a x =∴≤-=-+=x f x x x x x f ????

15、 解：

.3)3()12()12()1()1(),2()2(),()(==+=-==-∴+=-=-f f f f f x f x f x f x f

16、

2

1 （略） 三、解答题

17、解：(1)由题设及余弦定理得 C C CD BC CD BC BD cos 1213cos 2222-=?-+=①

C A A A

D AB AD AB BD cos 45cos 45cos 2222+=-=?-+=② 由①、②得2

1cos =

C ，故C=.7,600=B

D 且 (2)四边形ABCD 的面积 .322

33221232121sin 21sin 21=???+???=?+?=C CD BC A AD AB S 18、解：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO,因为ABCD 是矩形，所以0为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以PB ∥EO,AEC PB AEC EO 平面平面??,. 所以PB ∥AEC. (2)

.2

3,436361=∴==???=AB AB AD AB PA V 作AH ⊥PB,交PB 于H,由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH.故AH ⊥平面PBC, 又.13

13313133的距离为到平面，所以点PBC A PB AB PA AH =?= 19、解：（1）对甲部门评分的的中位数是75分，

对乙部门评分的的中位数是67分。

（2） 该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率分别为

.16.050

81.0505====乙甲；P P O

E D C B A P

（3） 由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分中位数（75）比对乙部门的评分的

中位数（67）高，从数据分布可看出市民对甲部门评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价也较为一致，对乙部门的评价较低，而且评价高低不一致。

20、解：（1）根据,32),,(22

2

2ac b a b c M b a c =-=且及题设知 将。的离心率为，故舍去解得代入2

1)(2,21,322222C a c a c ac b c a b -===-= (2) 由题意，原点O 为21F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点

D(0,2)是线段1MF 的中点，故 a b a

b 4,422

==即① 由则由题设知）设你（,0,,,51111<=y y x N F MN

?????-==???=-=-.

1,23,22,-21111y c x y c x c 即）（ 代入C 的方程，得 1149222=+b a c ② 又 222b a c -=③ 联立①、②、③解得.72284,7====a b a

21、解：（1）∵a f a x x x f =+-)0(',623)('.

曲线,22,0)(+==ax y x f y ）处的切线方程为在点（ 由题设得.1,22=-=-a a

所以 （3） 由（1）知，4)1(3)()(,23)(2323+-+-==++-=x k x x x f x g x x x x f 设， 由题设知.01>-k

当,4)0(,01)1()(,01623)('0=<-=->-+-=≤g k g x g k x x x g x 单调递增，时，

所以有唯一实根。，在（]0-0)(∞=x g

当).()1()()(,4233)(0x h x k x h x g x x x h x >-+=+-=>则时，令

）单调递增，，）单调递减，在（在（∞+-=-=22,0)(),2(3623)('x h x x x x x h

所以.00)(.0)2()()(）没有实根，在（

所以∞+==≥>x g h x h x g 综上，.2)(0)(只有一个交点与直线上有唯一实根，即曲线

在-===kx y x f y R x g

22、解：（1）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB.∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而⌒

⌒EC BE =，因此BE=EC.

(2)由切割线定理得,.2DC PD PA PC PB PA ===?=因为所以 22,.,,2PB DE AD DC BD DE AD PB BD PB DC =??=?==所以由相交弦定理得.

23、解：（1）C 的普通方程为 )10(1)122≤≤=+-y y x （.

可得C 的参数方程为.)0(.sin ,cos 1?

??≤≤=+=πt t t y t x 为参数， （3） 设D(t t sin ,cos 1+).由（1）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆， 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同. .2

323,3sin ,3cos 1.3,3tan ），即（）的直角坐标为（故πππ+=∴=D t t 24、解：（1）由.2)(.21)(11)(0≥∴≥+=+-+≥-++

=>x f a a a x a x a x a x x f a 有 (2).313)3(a a f -++

= 当;2

2153,5)3(,1)3(3+<<<+=>a f a a f a 得由时， 当.32

51,5)3(,16)3(30≤<+<+-=≤

215251），（++