八年级下册四边形讲义

精锐教育学科教师辅导讲义

组长签字：签字日期：

学员编号：年级：课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：马睿

课题

授课日期及时段

教学目标

重点、难点

教学内容

四边形讲义

一、四边形及平行四边形：

知识点梳理：

1.1、n边形的内角和：，外角和：。

1.2、平行四边形的性质：对边，对角，邻角，对角线。

1.3、平行四边形的判定：（用边判断）；；；（用角判断）；（用对角线判断）。

命题聚焦：

1、分析近几年的中考题，四边形在中考试题中占有很重要的地位，本节一个方面主要考察多边形的内、外角和公式，

确定多边形的边数，这类题主要以填空，选择题得方式考察；另一方面重点考察平行四边形的判定和性质，运用这些性质证明线段或角相等，考察题型有填空、选择、证明等。

2、正多边形的相关知识，如镶嵌的条件和简单的镶嵌设计命题热点，运用平行四边形的性质与判定结合相似形、全

等形等知识命题是必考趋势，同时注意图形的旋转折叠类题目。

典例精析：

命题角度1、多边形内角和及其应用

例1、一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（）

A、正六边形

B、正七边形

C、正八边形

D、正九边形

例2、一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）

A、4

B、5

C、6

D、7

例3、如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）

A、六边形

B、五边形

C、四边形

D、三角形

命题角度2、平行四边形的性质

例4、如图，已知E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．

例5、如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．

命题角度3、平行四边形的判定

例6、已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

例7、如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

二、矩形、菱形、正方形：

知识点梳理：

2.1、几种特殊平行四边形的性质：

2.2、几种特殊平行四边形的转换图：

2.3、种特殊平行四边形的判定方法：

命题聚焦：

特殊四边形是历年中考必考内容之一，主要考查矩形、菱形、正方形的性质和判定，要求会运用这些性质及判定定理判断真假命题，证明线段或角相等，考察题型有填空题、选择题，更多以证明题求值计算题及探索性问题、几何动态问题出现，试题强调基础，突出能力，源于教材，变中求新，考察学生的发散思维能力。 典例精析：

命题角度1、矩形的判定与性质

例1、如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点． 求证：∠EBC=∠ECB ．

图形 用边判定

用角判定

用对角线判定

矩形 有一个角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 菱形

一组邻边相等的平行四边形或四边相等的四边形

对角线互相垂直的平行四边形

正方形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相互垂直平分相等的四边形

例2、在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

命题角度2、菱形的判定与性质

例3、如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=1/2BE．

例4、如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．

（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．

命题角度3、正方形的性质及应用

例5、如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．

（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；

（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。

例6、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

三、梯形

知识点梳理：

3.1、一组对边而另一组对边的四边形叫梯形，其中的梯形叫做等腰梯形，的梯形叫直角梯形。

3.2、等腰梯形性质：（1）两腰；（2）同一底上的两个内角；（3）对角新。

3.3、梯形的中位线平行于两底，等于两底和的一半。

3.4、梯形问题一般转化为三角形和平行四边形的问题。

3.5、梯形中常用辅助线的作法

（1）平移一腰（内部或外部平移成为平行四边形）（2）平移对角线（3）延长两腰相交一点（相似）（4）过一腰的顶点及另一腰中点作直线与另一底延长线相交（面积）（5）由梯形上底的两端点作下底的垂线（面积）。命题聚焦：

由于圆部分知识难度降低，梯形又是三角形与平行四边形知识的结合点，所以有关梯形的试题形式灵活，考察面广，注意梯形基本知识的掌握，熟练掌握梯形中辅助线的添加方法，体会转化思想，适当练习操作题，创新题，综合性的

阅读探索题。

典例精析：

命题角度1、与梯形有关的计算和证明

例1、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．

命题角度2、等腰梯形的性质与判定

例3、在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．

求证：梯形ABCD是一个等腰梯形．

例4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F在BC上，且BE=FC，连接DE，AF．求证：DE=AF．

命题角度3、三角形和梯形的中位线

例5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，AF、BC的延长线交于点G．（1）求证：△ADF≌△GCF．

（2）类比三角形中位线的定义，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．阅读填空：

在△ABG中：

∵E中AB的中点由（1）的结论可知F是AG的中点，

∴EF是△ABG的线

∴EF=

又由（1）的结论可知：AD=CG

∴（ + ）

因此，可将梯形中位线EF与两底AD，BC的数量关系用文字语言表述为。

【能力提高】

例1．如图2 菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，

∠B=∠EAF=600，∠BAE=180，求∠CEF的度数。

分析由菱形ABCD中，∠B=600，

可推出△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ACB=600，

由∠EAF=600，可推出∠BAE=∠CAF，从而可证△BAE≌△ACF

进而可知△AEF是等边三角形，即可求出∠CEF的度数。

解：连接AC ∵菱形ABCD ∴BA=BC ∠ACB=∠ACF

∵∠B=600∴△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠ACB=600AB=AC

∴∠ACF=∠B=600∵∠EAF=∠BAC=600∴∠BAE=∠CAF

∴△ABE≌△ACF ∴AE=AF ∴△AEF是等边三角形

∴∠AEF=600∵∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAF

而∠BAE=180∴∠CEF=180

例2 如图3 四边形EFGH是矩形ABCD的外角平分线围成的。

求证：四边形EFGH是正方形

分析：先证EFGH 矩形，再证EFGH是菱形证明：∵矩形ABCD的外角都是直角，

HE、EF都是外角平分线

∴∠BAE=∠ABE=450∴∠E=900

同理可证：∠F=∠G=900

A

B

C

D

E

F

G

D

Q

H

M

N

图3

图2

A

B

C

D

E F

∴四边形EFGH 是矩形

∵AD=BC ∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB

∴△ADH ≌△BCF ∴AH=BF 又∠EAB=∠EBA ∴AE=BE ∴EA+AH=EB+BF ∴EH=EF ∴四边形EFGH 是正方形 例3 如图4 ，E 是正方形ABCD 的边AD 的中点， F 是DC 上的点，且CD DF 4

1=

求证：EF ⊥BE

分析 要证EF ⊥BE 只要证△BEF 是以∠BEF 为直角的直角三角形，可以通过计算，有BE 2

+EF 2

=BF 2

证明 连结BF ∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠ABC=∠C=∠D=900

设正方开ABCD 的边长为4a 则AE=DE=2a ，DF=a ，CF=3a 在Rt △ABE 中，BE 2=AB 2+AE 2=222a 20)a 2()a 4(=+ 在Rt △EFD 中 EF 2=DE 2+DF 2=2

2

2

5)2(a a a =+ 在Rt △BCF 中，BF 2=BC 2+CF 2=222a 25)a 3()a 4(=+ ∴BE 2+EF 2=BF 2 ∴△BFE 是以∠BEF 为直角的三角形 ∴EF ⊥BE

例4 如图5 已知正方形ABCD 中，BE//AC ，

AE=AC ，求证：CE=CF

分析 只要证∠CEF=∠CFE ，从作图可知， 这两个角的大小是固定的，可结合正方形的特征， 通过计算求出它们的大小。

证明 过点E 作EG ⊥AC 交AC 于G ，连结BD ∵EG ⊥AC BD ⊥AC ∴EG ∥BD 又BE ∥AC ∴EGOB 是矩形 ∴EG=BO

而BO=DO ∴EG=

21BD ∵BD=AC ∴EG=21AC=2

1AE ∴∠EAG=300 ∵△ACE 是等腰三角形 ∴∠AEC=2

1

（1800-300）=750

∵AC 是正方形ABCD 对角线 ∴∠ACB=450

∵∠CFE=∠EAC+∠FCA=300+450=750 ∴∠CFE=∠CEF ∴CF=CE 例5 如图6 在△ABC 中，∠BAC=900

E

D A

B

图4

C

F

图5

E

B

A

F C D

G

O

图6

A

B

C

D E

F

G

AD ⊥BC 于D ，

CE 平分∠ACB 交AD 于G 交AB 于E ， EF ⊥BC 于E 求证：四边形AEFG 是菱形 分析 先证AEFG 是平行四边形， 再证AEFG 两邻边相等， 可通过证Rt △ACE ≌Rt △FCE 来实现AE=EF

证明 ∵∠BAC=900 EF ⊥BC CE 平分∠BCA

∴∠ACE=∠ECF 又∵EC=EC ∴Rt △CEA ≌Rt △CEF ∴AE=EF ∵EF ⊥BC AD ⊥BC AD//EF ∴∠FEG=∠EGA ∴∠AGE=∠AEG ∴AG=AE=EF ∴AEFG 是平行四边形 又AE=AG ∴AEFG 是菱形 例6 如图7 已知正方形ABCD ，

以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF//AC

求证∠ACF=5∠F

分析 要证∠ACF=5∠F 就是要证∠F=∠CAE=300 这就需要构作Rt △，为此作辅助线

EH ⊥AC ，问题转为证HE=AC AE 2

1

21= 由于AC=BD ，变为证EH=2

1

BD ， 即证BOHE 为矩形

证明：过E 作EH ⊥AC 于H ，连BD ∵ABCD 为正方形 ∴BD=AC 且BO=2

1AC ∠BOC=900=∠DOC ∵BF//AC

∴∠EBO==900=∠DOC ∴BEHO 为矩形 ∴EH=BO=

21AC 又AEFC 为菱形 ∴AC=AE ∴EH=2

1AE ∴∠CAE=300

∴∠A=∠F=300 ∴∠ACF=∠AEF=00

1502

1

)302360(=??- ∴∠ACF=5∠F

点评：本题将求角的倍（分）量，转化为求角的大小，由特殊边求特殊角，将四边形问题转化为特殊三角形，这种将一般问题转化为特殊问题的思想方法是数学研究中最常用的基本思想方法。 例7 如图8，已知Q 是正方形ABCD 的CD 边的中点，

A

B

C

D

E

F

图7

O

H

P 为CQ 上一点，且∠BAP=2∠QAD 求证 AP=PC+BC 分析 由∠BAP=2∠QAD

可作∠BAP 的平分线，构造△ABE ≌△ADQ 证明：作∠PAB 的平分线AF 交DC

的延长线于F 交BC 于E ，则∠1=∠2=∠QAD ∵ABCD 是正方形 ∴∠B=∠D=900 AB=AD ∴△ABE ≌△ADQ ∴BE=DQ 又∵DQ=

21CD CD=BC ∴BE=CE=2

1BC ∵∠AEB=∠FEC ∠ABE=∠ECF=900

∵△ABE ≌△FEC ∴AB=FC ∴CF=BC 又∵∠1=∠2，∠2=∠F ， ∴∠1=∠F ∴AP=PF=PC+CF ∴AP=PC+BC

点评：本题也采用截补短的引辅助线，请读者作为练习来试试。 例8 如图9在等腰三角形ABC 中，∠C=900，BC=2cm ， 如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转

1800，点B 落在点B '处，求点B '与点B 的原来位置之间的 距离

分析 点B 与点B '关于O 成中心对称， BO=O B '，B B '=2BO 在Rt △BCO 中，

OB=521BC OC 2222=+=+

52OB 2B B =='∴（cm ）

解：（略）

点评：△ABC 以点O 为中心旋转1800后的图形与△ABC 关于O 点成中心对称

【练习与测试】

1．如图 菱形ABCD 中， AE ⊥CD 若BE=EC ， 则∠EAC 的度数为 度

2．在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，

C

D

Q A

F

E 21P B

图8

C

A

B

B

O

图9

’ A

B

C

D

第1题

E F

若BD=6，∠BAD=600，则菱形的周长= AC= ABCD S 菱形= 3．如图 E 、F 是正方形的对角线 BD 上的点， 且BE=DF 求证四边形AECF 是菱形 4．如图 四边形ABCD 和CEFG 都是正方形， BG 延长线交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE 5．如图 正方形ABCD 中，F 是BC 中点， ∠BAF=∠FAE ，求证：AE=BC+CE 6．如图 已知F 是正方形ABCD 的边BC 的中点， CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF 求证：AF=FG

7．命题：如图，已知正方形ABCD 的对角线

AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过

A 作AG E

B ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ， 则OE=OF 。

8．如图，已知：正方形ABCD ，

过D 作DE ⊥MN ，求证：DE=MN 9．如图，已知直线MN 与直线PQ 垂直

相交于点O ，A 1与A 是以MN 为轴的对称点， 而A 2与A 是以PQ 为轴的对称点，

求证：点A 1与A 2是以O 为对称中心的对称点。 10．（1）线段（2）角（3）三角形（4）等边三角形

（5）平行四边形，上述图形中是中心对称的是 11．如图，∠ABC 内有一点P ，作出关于点P 的对称图形

【练习与测试参考解答或提示】

1．60； 2．24，36，318； 3．提示：连AC ，证AC 、EF 互相垂直平分； 4．提示：证△BCG ≌△DCE

5．提示：过F 作FM ⊥AE 于M ，连结EF ，证△ABF ≌△AMF ，△EFM ≌△EFC 6．提示：取AB 中点M ，连FM ，证△AMF ≌△FCG

A

B

C D

E

F

（第3题）

A

B C

D E

F G

H

（第4题）（第5题）

A

B

C

D E

F

A

B

C D

E

F

G

（第6题）

A B

C

D

O

F

G

1

2

3

（第

题）7A D M

N

B

C

E （第

题）8Q O （第

题）9A 1A 2

A

M

N

P

A B

C

P

11题）（第

7．∵ABCD为正方形，∴∠BOE=∠AOF=900，AO=BO 又∵AG⊥EB

∴∠1+∠3=900=∠2+∠3，∴∠1=∠2，∴Rt△BOE≌Rt△AOF, ∴OE=OF

8.提示：过C作CF∥MN，CF交AB于F，证△FBC≌△ECD和MN=FC。

9．连结AA1，AA2，OA1，OA2，∵A1与A关于MN对称，∴OA1=OA，∴∠AOM=∠A1OM，同理OA=OA2，∠AOQ=∠A2OQ，∴OA1=OA2，又∵∠QOA+∠QOA2+∠AOM+∠MOA1=2（∠AOQ+∠AOM）=2×900=1800，∴A1，O，A2三点在同一直线上，而OA1=OA2，∴A1与A2是以O为对称中心的对称点；

10．（1）（3）（5）；

11．提示：作B关于点P的对称点B‘，再过B’作AB、BC的平行线。