初中奥数系列：4 第04讲 整数问题第01讲

华校导引五年级上学期第04讲整数问题第01讲

数的整除

【内容概述】

能被2,3,4,5,8,9,11整除的数的数字特征,以及与此相关的整数的组成与补填问题,乘积末尾零的个数的计算.

【典型问题】

1.173□是一个四位数.数学老师说: “我在其中的方框内中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被

9,11,6整除.”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

2.如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少?

3.某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?

4.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数,使它能被3,5,7,13整除,这个数最大

是多少?

5.修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数.问修改后的这个数是多少?

6.在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17和19整除,那么方框中的两位数是多少?

7.已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?

8.用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除.这个六位数是多少?

9.将自然数1,2,3,…依次写下去组成一个数:12345678910111213….如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一

次能被72整除,那么这个自然数是多少?

10.1至9这9个数字,按图4-1所示的次序排列成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次

序形成两个九位数(例如,在1和7之间剪开,得到两个数是193426857和758624391).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?

图4-1

11.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说: “这个数能被2整除”,3

号说: “这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被它的编号数整除.1号作了一一验证:只有编号连续的两位同学说得不对,其余同学都对.问:

(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?

(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数.

12.找出4个不同的自然数,使得对于其中任何两个数.它们的和总可以被它们的差整除.如果要求这4个数中最大

的数与最小的数的和尽可能的小,那么这4个数里中间两个数的和是多少?

13.把若干个自然数1,2,3,…乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应

该是多少?

14.975×935×972×□,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?

15.如图4-2,依次排列的5个数是13,12,15,25,20.它们每相邻的两个数相乘得4个数.这4个数每相邻的两个数相

乘得3个数.这3个数每相邻得两个数相乘得2个数.这2个数相乘得1个数.请问:最后这个数从个位起向左数,可以连续地数出几个零?

图4-2