2015【几何4】图形的相似

图形的相似
【相似形】 1. 若
x y z x? y?z ? ? ，则 =_________________； 10 8 9 y?z
2． （2014?包 头 ）如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC， EF∥AB．若 AD=2BD，则
CF 的值为（ BF
C．
）
A．
1 2
B．
1 3
1 4
A
D．
2 3
F
G D
E
第2题
B 第3题
C
第4题
3．如图，已知点 D 是 AB 边的中点，AF∥BC，CG∶GA=3∶1，BC=8，则 AF＝（ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
）
4、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于 点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG= 4 2 ，则 EF 的长为___________ 5． （2014?莱芜）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△BDE： S△CDE=1：4，则 S△BDE：S△ACD=（ A．1：16 B．1：18 ） C．1：20 A O D．1：24
D
B 第5题 第6题
C
6、如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，且 AD：BC=1：3，对角线 AC、BD 交于点 O,那么 S△AOD:S△BOC：S△AOB 等于（ A. 1:3:1 B.1:9:1 ） 。 D.1:3:2
C.1:9:3

7． （2014?武汉）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象 限内将线段 AB 缩小为原来的 C 的坐标为（ ）
1 后得到线段 CD， 则端点 2
A． （3，3） B． （4，3） C． （3，1） D． （4，1） 8． （2014?枣庄）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处．若 AE=
2 BE，则长 AD 与宽 AB 的比值是____________． 3
第8题
第9题
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90° ，∠A 的平分线交 BC 于 D．过 C 点作 CG⊥AB 于 G， 交 AD 于 E．过 D 点作 DF⊥AB 于 F．下列结论中正确的是（ ）
①∠CED=∠CDE；②S△AEC：S△AEG=AC：AG；③∠ADF=2∠FDB； ④CE=DF． A．①②④ B．②③④ C．只有①③ D．①②③④
10． （2014 年山东泰安）如图，△ABC 中，∠ACB=90° ，∠A=30° ，AB=16．点 P 是斜边 AB 上一点．过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP=x，△APQ 的 面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ）
A
B
C．
D
11．一张等腰三角形纸片，底边长 15cm，底边上的高长 22.5cm．现沿底 边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪 得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ A．第 4 张 B．第 5 张 C．第 6 张 D．第 7 张 ）

12． 如图， △ABC 是一张锐角三角形的硬纸片． AD 是边 BC 上的高， BC=40cm， AD=30cm． 从 这张硬纸片剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH．使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别在 AC，AB 上．AD 与 HG 的交点为 M． （1）求证：
AM HG ? ； AD BC
（2）求这个矩形 EFGH 的周长．
13．如图 3—1，在△ABC 中，∠C=90° ，AC=4，BC=3，四边形 DEFG 为△ABC 的内接正方 形，若设正方形的边长为 x，容易算出 x 的长为
60 ． 37
探究与计算： （1）如图 3—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于 △ABC，则正方形的边长为 ； （2）如图 3—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于 △ABC，则正方形的边长为 ． 猜想与证明： 如图 3—4，若三角形内有并排的 n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC， 请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
C G F G B A E C F B
A
E D 图 3—1 C G F E B
D
图 3—2
C
G A D 图 11 — 4
F E B
A
D
图 3—3

【三角函数】 1． （2012?遂宁）在△ABC 中，∠C=90° ，BC=4，AB=5，则 cosB 的值是（ A．
）
4 5
B．
3 5
C．
3 4
D．
4 3
）
【变式 1】 （2012?乐山）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90° ，AB=2BC，则 sinB 的值为（ A．
1 2
B．
2 2
C．
3 2
D．1
【变式 2】 （2013?铜仁地区）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90° ，AC=12，AB=13，则 sinB 的值等于__________． 2．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，1）和点 B（3，0） ，则 sin∠AOB 的值等于（ ）
A．
5 5
B．
5 2
C．
3 2
D．
1 2
3． （2013?乐山）如图，在直角坐标系中， P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m） ，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 α 的正切值是
4 ，则 sinα 的值为（ 3 3 5 5 3
）
A．
4 5
B．
5 4
C．
D．
4. （2013?杭州）在 Rt△ABC 中，∠C=90° ，若 AB=4，sinA=
3 ，则斜边上的高等于（ 5 12 5
）
A．
64 25
B．
48 25
C．
16 5
D．
5． （2012?福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯 角分别是 30° 、 45° ， 如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米， 点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ A．200 米 B．200 3 米 ） D．100（ 3 +1）米
C．220 3 米

6． （2013?河池）如图，在△ABC 中，AC=6，BC=5，sinA=
2 ，则 tanB=__________ 3
第6题 【变式】 （2013?荆门）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E，BC=6，sinA=
3 ，则 DE=__________． 5
7．（2011?丹东）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知 CD=2m，经 测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30° ，∠DBH=60° ，AB=10m．请你根据以上数 据计算 GH 的长．（
3 ≈1.73，要求结果精确到 0.1m）
8、在一次数学活动课上，老师带领同学们去测一条两岸平行的河流的宽度，如图所示，在 河岸的一边有两颗相距 60 米的树 C、D，某同学在河岸另一边点 A 处 9 观测树 C，测得∠ ACD=21.3° ，他又沿河岸前行 15 米到达 B 处，在 B 处观测树 D，测得∠BDC=63.5° ，请你 根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度 （参考数据： sin 21 .3? ?
9 2 9 ， tan 21.3? ? ， sin 63 .5? ? ， tan 63.5? ? 2 ） 25 5 10

9、如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图） ，在屋顶的斜坡面上安装太阳 能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直） ，再将集热板安装在 AD 上.为使集热 板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 1，且在水平线上的的射影 AF 为 1.4m.现已 测量出屋顶斜面与水平面夹角为 2，并已知 tan 1＝1.1，tan 2＝0.4.如果安装工人已确定支 架 AB 高为 25cm，求支架 CD 的高（结果精确到 0.1m）？
10、如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22o时，教学楼 在建筑物的墙上留下高 2m 的 影子 CE；而当光线与地面的夹角是 45o 时，教学楼顶 A 在地 面上的影子 F 与墙角 C 有 13m 的距离(B、F、C 在一条直线上)． (1)求教学楼 AB 的高度； (2)学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin22o≈ 3 15 2 ，cos22o≈ ，tan22o≈ ) 8 16 5

【巩固练习】 1．如图，铁道口栏杆的短臂长为 1m，长臂长为 16m，当短臂端 点下降 0.5m 时，长臂端点升高_________m． 2． 如图， 把菱形 ABCD 沿对角线 AC 的方向移动到菱形 A’B’C’D’ 的位置，它们的重叠部分的面积是菱形 ABCD 面积的 AC=3，则菱形移动的距离 AA′是_____________ 3． （2014?威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1， 点 A、B、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（ ） A ． B ． C ． D ．
1 ，若 3
4、如图，在 RT△ABC 中， ? C=90° ，AC=4，AB=5，则 sinB 的值是（ A、 ） B、
2 3
3 5
C、
3 4
D、
4 5
5． （2014?莱芜）如图在坐标系中放置一菱形 OABC，已知 ∠ABC=60° ，OA=1．先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无 滑动翻转，每次翻转 60° ，连续翻转 54 次，点 B 的落点依 次为 B1，B2，B3，…，则 B54 的坐标为_________． 6．如图，港口 B 在港口 A 的西北方向，上午 8 时，一艘轮船从港口 A 出发，以 15 海里∕ 时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口 B 出发也向正北方向航行，上午 10 时轮船 到达 D 处，同时快艇到达 C 处，测得 C 处在 D 处得北偏西 30° 的方向上，且 C、D 两地相 距 100 海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到 0.1 海里∕时，参考数据
2 ≈1.41，
3 ≈1.73）

7．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊 臂的支点 O 距离地面的高 OO′=2 米．当吊臂顶端由 A 点抬升至 A′点（吊臂长度不变）时， 地面 B 处的重物（大小忽略不计）被吊至 B′处，紧绷着的吊缆 A′B′=AB．AB 垂直地面 O′B 于点 B，A′B′垂直地面 O′B 于点 C，吊臂长度 OA′=OA=10 米，且 cosA= 0.6，sinA′= 0.5． （1）求此重物在水平方向移动的距离 BC； （2）求此重物在竖直方向移动的距离 B′C．（结果保留根号）
8. 已知：如图，在 Rt ?ABC 中， ?C ? 90 ， BC ? 8cm ， AC ? 6cm 。过点 A 平行于 CB 的直线以 1 cm / s 的速度从点 A 出发，沿 AC 向 CB 运动，分别交 AC 、 AB 于点 D 、 E ， 与 此 同 时 ， 点 F 以 2 cm / s 的 速 度 从 点 C 出 发 沿 CB 向 B 运 动 ， 设 运 动 时 间 为
?
t ( s ) (0 ? t ? 4)
⑴ 当 t 为何值时， ?CDF 是等腰三角形？ ⑵ 设四边形 DEBF 的面积为 y (cm ) ，求 y 与 t 之间的函数关系式； ⑶ 是否存在某一时刻 t ， 使四边形 DEBF 的面积是 ?ABC 面积的 的值；若不存在，请说明理由。 ⑷ 连接 CE ，当 CE ? DF 时，求 t 的值。 解：⑴
A E
2
3 ？若存在， 请求出 t 8
D
C
F
B