柱面、锥面与旋转曲面的MATLAB实现

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次 特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为： (),0 f x y z =??? =?? 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应 图2 图1

满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y = 反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为： (),0f x y = （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。 定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22 221,0x y z a b -==和抛 物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为 22 22 222 221,1,2x y x y y Px a b a b +=-== 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故 图3

图形的旋转优质课教案

图形的旋转(优质课教案) 一、教学任务分析 数 学 目 标 知识技能 让学生通过欣赏、观察、操作图形的旋转变换，了解旋转中的一些概念及探究它的基本特征。 数学思考 能在观察图片资料和图片现象中发现事物的内在本质。 情感态度 通过对生活中的旋转现象有关图形进行观察分析、欣赏等过程，培养初步的审美能力，增强对图形的欣赏意识，培养学生合作学习、探索学习的意识。 解决问题 能在观察图片资料和旋转实验中得出数学结论，初步从奇妙的图形中体会所隐含的数学道理。 重

点 熟悉旋转中的一些概念，以及通过实验，探索出中心旋转的基本特征。 难 点 通过观察、实验、发现旋转的基本特征，根据旋转图形找对应点。 二、教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的 活动1 感受生活情境 观察物体转动 活动2 再赏物体图形 学习旋转概念 活动3 结合生活实例 再度熟悉概念 活动4 类比脚印特点 探究旋转特征 活动5 改编例题教学 运用也分散难点 活动6 我的地盘我作主

思维天空任我游 活动7 作业布置 课堂总结 从文字游戏中，体会物体的旋转，激发学生学习热情，形成“旋转”表象认识。 比划观察到的物体怎样运动？引导发现物体转动的共性，学习旋转中的一些概念。从教师列举的生活实例中，说出其中的旋转概念，加深对旋转概念的感知、理解。 从脚印特点中，学生动手操作实验、探究出旋转的基本特征。 学生从教师改编的例题中寻找相等的量，进一步理解旋转的基本特征，为后一节课学习作准备。 精心设置一些由易到难的综合性习题，学生思考完成、巩固知识，让不同学生得到不同的发展。 归纳总结，通过课外作业为下节课内容教学打下伏笔，激发学生的探究精神和学习兴趣。 三、教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动1]

考研高数：常见的旋转曲面求法

考研高数：常见的旋转曲面求法 我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。 1. 概念 一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。 旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。 2. 旋转曲面求法 求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：

掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩

教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 教学目的与要求： 1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 理解并掌握微元法的思想及应用. 教学重点，难点： 1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 微元法的思想及应用. 教学内容： 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。 一 微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积 作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为 a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b, 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。 （ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即 1()n i i i S f x ξ=≈?∑ ).(1--=?i i i x x x （iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又 与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多， 且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i 和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.

公开课《图形的旋转》教学设计

公开课《图形的旋转》教学设计 教学目标： 1.进一步认识图形的旋转，认识绕点顺时针或逆时针旋转90°的含义，能在方格纸上画出把简单图形旋转90°后的图形。 2.通过学习活动，进一步增强学生的空间观念，发展形象思维。 3.在认识旋转的过程中，产生对图形变化的兴趣，并进一步感受旋转在生活中的应用。 教学重点：掌握图形旋转的三个要素。 教学难点：在方格纸上画出把简单图形顺时针或逆时针旋转90°后的图形。 教学准备：课件 教学过程： 一、情境引入 1.播放有关风车和摩天轮的课件。 提问：游乐场的摩天轮和风车的运动是一种什么现象？ 追问：你能说说它们是怎样旋转的吗？ 它们都是绕着中间的点顺着旋转的。 2.导入新课。 对于旋转，你还想了解什么知识？今天我们要继续研究旋转的相关知识。（板书课题） 二、交流共享 1.认识顺时针或逆时针旋转90°的含义。 （1）创设情境，提出问题。 播放课件：某一高速公路收费站，各种车辆进出场面的录像。为了维持秩序，收费站口设置了转杆。 引出问题：图中的转杆打开和关闭分别是怎样的运动？它们的运动有什么相同点和不同点？ （2）模拟操作，认识含义。 同桌合作，拿出活动角模拟转杆打开和关闭，讨论顺时针和逆时针旋转。结合学具演示交流，明确转杆打开和关闭都属于旋转。

小结：与时针旋转方向相同的是顺时针旋转，相反的是逆时针旋转。转杆打开是逆时针旋转，转杆关闭是顺时针旋转。 （3）深入探讨：转杆打开和关闭，分别是绕哪个点按什么方向旋转的？旋转了多少度？引导学生结合例题2的转杆图进行思考。 学生观察、交流，得出：转杆打开是绕O顺时针旋转90°；转杆关闭是绕O逆时针旋转90°。 （4）全体活动，深化理解。 听口令做动作：让学生先平伸右臂，用动作表示顺时针旋转和逆时针旋转，再平伸左臂做一次，亲身体验顺时针、逆时针旋转。 2.在方格纸上进行图形的旋转。 （1）课件出示教材第3页例题3图。 （2）指名说说：你是怎样理解题目的要求的？ 引导学生进行审题：中心点：点A；旋转方向：逆时针；旋转角度：90°。（3）动手操作。 学生利用课前准备的三角形纸片在方格纸上进行旋转操作。 教师巡视，了解学生的操作情况。 指名学生利用实物投影进行旋转演示，鼓励学生发表不同见解。 （4）在方格纸上画出旋转后的图形。 后的图形？（出示教材第4页上方情境图） 提问：如果不借助具体的实物，该怎样画出三角形逆时针旋转90° 学生可能有如下方法：①先把三角形的一条直角边绕点A逆时针旋转90°，再画出另外的线段，最后连成相应的图形。 ②先把三角形的两条直角边绕点A逆时针旋转90°，再连成相应的图形。③借助手、笔等工具一转后再画一画。 让学生在方格纸上尝试画图。5）组织交流。 投影展示学生画的图，让学生说说是怎样画出来的。 （6）师生共同小结。 提问：我们在方格纸上进行旋转操作时，要注意什么？

4.1柱面、锥面

第四章 常见的曲面与曲线 本章主要研究比平面与直线销复杂的常见的曲面与曲线。此外，也粗略介绍由若干曲面围成的空间区域的解析表示及其直观简图的画法，它在数学分析中要用到。 前面已经看到，在选定坐标系之后，曲面作为动点轨迹如何用点的向径或坐标的方程来表出，例如夹面和球面等。但是某些曲面也可以看作是曲线依某种规律运动所生成的。 例如，平面也可以看成是过定点且与定直线垂直的动直线的轨迹；球面也可以看作是一个圆绕其一直径旋转所产生的等等。在§3.1、§3.2、及§3.6中，我们将按这种观点分别介绍柱面与锥面、旋转曲面及螺旋面等几种常见曲面，并且建立它们的方程。 §4.1 柱面与锥面 本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。 掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。 (一)柱面 4.1.1定义 直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的母线（图4-1）。 图4-1 圆柱面是特殊的柱面。 显然，柱面被它的导线及母线方向完全确定。但反对来，对于一个柱面，它的导线并不是唯一的，这是因为柱面上与其每一条母线都相交的曲线都可以作为它的导线。 1．柱面方程 设柱面的导线C 的方程为 ???==0),,(0),,(2 1Z Y X F Z Y X F (1) 母线的方向系数为n m l ,,。如果),,(1111Z Y X P 为导线C 上的任意点，那么过点1P 的母线方程为

n Z Z m Y Y l X X 111-=-=- (2) 且有 0),,(1111=Z Y X F ， 0),,(1112=Z Y X F (3) 当点1P 跑遍C 时，就得出柱面上的所有母线，这族母线构成的柱面。因此，从(2)与(3)两组式子中的四个等式，消去三个参数111,,Z Y X 后所得一个三元方程 0),,(=Z Y X F (4) 就是以(1)为导线，母线的方向系数为n m l ,,的柱面方程。 为了消参数的方便，常把母线方程(2)改写成参数式： lt X X +=1， mt Y Y +=1， nt Z Z +=1 (2)' 从而解出 lt X X -=1， mt Y Y -=1， nt Z Z -=1 代入(3)消去参数111,,Z Y X ，得到 ???=---=---0 ),,(0),,(21nt Z mt Y lt X F nt Z mt Y lt X F (4.1.1) 再由此消去参数t ，即得所求的柱面方程(4) 例1、已知一柱面的导线是球面12 22=++Z Y X 与平面0=++Z Y X 的交线，母线平行于直线Z Y X ==，求这柱面的方程。 解：因为柱面母线平行于直线Z Y X ==，所以母线的方向系数即为这直线的方向系数1，1，1。设（111,,Z Y X ）是导线上的任一点，则过这点的母线的参数方程为 t X X +=1， t Y Y +=1， t Z Z +=1 (1) 且有 1212121=++Z Y X ， 0111=++Z Y X (2) 由(1)解出 t X X -=1，t Y Y -=1，t Z Z -=1代入(2)，得 ? ??=-++=-+-+-031)()()(222t Z Y X t Z t Y t X 再从第二式得3 Z Y X t ++=，代入第一式即得所求柱面方程为

北师大版小学四年级上册图形的旋转优质课教案及教学反思

北师大版小学四年级上册图形的旋转优质课教案及教学反思 图形的变换 学情分析 本班有学生75人，大部分学生学习习惯较好，能积极动脑发现、提出、分析和解决问题，空间想象能力较强，也有一部分学生各个方面需进一步提高。教材分析《图形的变换》北师大版四年级上册第四单元第54-56页。在学习这部分内容之前，学生已经在三年级初步感受了生活中的平移与旋转现象，并能在方格纸上画出一个沿水平、垂直方向平移后的图形。本课学习的内容是在上述基础上的延伸，把学生的视角引入到图形的旋转，意在通过欣赏、探索、创作等一系列活动，使学生体验到简单图形变成复杂图案的过程，理解旋转的中心点、方向、角度不同，形成的图案也不同，进一步发展学生的空间观念，为今后继续学习图形变换奠定基础。 教学目标

1．进一步认识图形的旋转变换，探索它的特征和性质。 2．能在方格纸上将简单的图形旋转90。。 3．初步学会运用旋转的方法在方格纸上设计图案，发展学生的空间观念。 4．欣赏图形的旋转变换所创造出的美，培养学生的审美能力；感受旋转在生活中的应用,体会数学的价值。 教学重点 1．理解图形旋转变换的含义。 2．探索图形旋转的特征和性质。 教学难点 1、探索图形旋转的特征和性质。 2、能在方格纸上将简单图形绕固定点顺时针旋转90°并说出旋转过程。 教学工具 多媒体课件、每桌一个学具袋(基本图形、彩笔)。 教学过程

一、情景引入： 这是一只小朋友很喜欢玩的风车。 请两个小朋友和老师一起玩一玩。（生操作） 其他孩子请注意观察风车是怎样运动的？ 谁来说说，在风车的运动中，你看出了什么？ （解决旋转、旋转中心、旋转方向） 出示钟面 在数学里，我把向这个方向旋转的方向叫做顺时针方向;逆时针方向。手势，比划。 小结：在刚才的运动方式中，我们可以说,风车绕中心点顺时针方向旋转；或者风车绕中心点逆时针方向旋转。 会说了吗？ 二、新授： 在生活中，有各种美丽的图案，有的是简单的图形通过平移、旋转得到的。 你想知道这些图案是怎样设计的吗？（想知道吗？）

柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章 柱面· 锥面· 旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1 柱 面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程 在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0),,(0),,(2 1z y x F z y x F

(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(2 1z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12 12 1z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于

定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有 可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素 并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所 为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21

柱面锥面旋转曲面与次曲线

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方 程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴 为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1柱面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程

在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0 ),,(0 ),,(21z y x F z y x F (1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12121z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距

双正方形地旋转【图形变换公开课】

图形的变换 一、学情分析 初三学生在初二阶段就已经学过旋转这一节容，大多数学生对旋转的相关特征应该还是比较熟悉的，同时在旋转中出现的一些相关的核心知识点（如正方形的性质）已经在前阶段的复习中涉及到，大多数学生已经初步具备一定的解决问题的综合能力.鉴于此课例习题既有基础性还有一定的综合性，故对于学生数学基础相对较好的班级可以安排在中考第一轮“基础+综合”复习阶段，而对于学生数学基础一般的班级则可以安排在中考第二轮“综合+基础”专题复习阶段.放在第一轮基础复习，只需解决两个例题即可；放在第二轮专题复习，可分成两个课时进行为好，以满足各个层次学生的不同需求. 二、教学任务和目标 通过本课的学习，学生能够进一步体悟解决双正方形旋转问题的核心知识点是旋转的特征（性质），即旋转角等于对应边的夹角；旋转前后的图形是全等形（对应边相等，对应角相等）.学生能够进一步理解并能熟练运用旋转的特征解决双正方形旋转的实际问题.同时，还要让学生通过双正方形的旋转领悟旋转过程中的变与不变，变就有可能存在函数关系，不变就可能存在相等关系（或定值），这就是旋转问题展现给学生的数学本质的魅力，也是数学所特有的哲学价值.数学学科的本位，数学学习的本质，数学思维的本色，在本节课的复习中可以得到充分的体现. 三、学法点拨 解决旋转问题的基本策略是“化静为动，以静制动”.所谓“化静为动”，即要搞清楚整个旋转过程中哪些元素（如边、角）发生了变化，哪些元素仍然没变，有时还要通过特殊位置图形的特征来判断不变的元素.所谓“以静制动”，即要把旋转过程中的各种图形的位置情况作为静止的图形进行研究，接下来的计算与证明和原先没啥两样，只不过赋予了旋转的背景而已.如果学生能够破译旋

解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000 0 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

旋转曲面图形绘制

实验名称：旋转曲面图形绘制 --------------谢煜1024 一、问题阐述： 二、问题分析： 该问题应归于三维可视化的范畴，问题中的函数形式已给出，通过计算函数在分段点的函数值和一阶导数值，我们可以知道，该函数曲线是光滑的。如果按照“经典”的绘图方法，我们应该找到对应平面的对应点函数值（正如一幅数码图片那样对应平面上点的函数值），然后使用MATLAB中命令surf或mesh来绘出我们的图形。但是我们注意到，对于特定的操作（旋转），也许这样并不是一个很好的方法。 我们知道，一个旋转曲面的两个要素是截面曲线和旋转轴。我们可以通过这两个步骤得到一个特定的旋转曲面。 1.指定截面曲线； 2.指定旋转轴。 我们同时可以将旋转曲面的形成过程看作是某个具有特定形状的截面曲线对一个圆柱体进行“变形”。基于这样的思想，我们可以用一下两个步骤得到一个特定的旋转曲面： 1.生成一个单位高度单位半径的圆柱体； 2.将截面曲线的形状应用到该矩形截面上； 3.对旋转曲面的高度进行缩放。 三、实验内容（包含程序及其注释，实验输出及其分析） 接下来第一步我们还是先用一个简单的程序看看截面曲线的样子， 绘出如图1所示的曲线，有点像给出的飞机机翼截面的上半部分，也有点像鲸的头 部。 图1 截面曲线 接下来我们按照要求，先计算对应的y和z， 得到如下表1中所列数据， 表1 对应三轴数据 然后，按照我们的思路，应该先生成一个单位高度圆柱体，然后应用截面，再伸缩 长度，在MATLAB里面，有一个命令cylinder可以直接生成圆柱体，并且还可以指定截面函数，这样三步就完成前两步，我们只需要将X轴的数据进行放大即图形上的伸缩即可。唯一需要说明的是，由于问题中X轴是横的，而cylinder命令默认旋转轴是Z轴，我 们可以将返回的数值顺序调换一下，将X的数据放在Z轴数据的位置。如下命令：最后，我们用以下命令绘出图形，图形如图2所示。这个旋转曲面形状像一个陨石在大气层中燃烧产生的焰火，当然，我觉得也像一个望着大家的眼球。 图2 旋转曲面图形 至此，本实验所包含的基本问题就得到解决。 下面我们来生成一个有趣的图形。展示了一个“逃出”的情景。如图3，所用程序一并给出。 图3 多个旋转曲面组成的图形 四、实验结论 通过这个实验我们解决了给出的基本问题，并发展出一种更方便的绘制旋转曲面的方法。这种方法也说明我们采取的解决方法和我们看待事物的角度有密切联系。有意识

旋转曲面、柱面和二次曲面

旋转曲面、柱面和二次曲面 一、旋转曲面 定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。l 称为轴，C 称为母线。 设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为? ??==00 ),(x z y f ，则旋转曲 面的方程为0),(2 2=+± z y x f 。 坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。 例1 母线? ??==02:2x pz y C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为 pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。 例 2 母线??? ??==-0 1:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 122 2 22=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为12 2 222=+-c z y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。 二、柱面 定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。l 称为母线，C 称为准线。 定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。

椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 抛物柱面：px y 22= 三、二次曲面 (1) 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++c z b y a x (3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：122 2222=--c z b y a x (5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z b y a x =-22 22