概率论与数理统计复习大纲

概率论与数理统计复习大纲(1)

一、概率论的基本概念 内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念和基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考点

1．掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式等．

3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算． 二、随机变量及其分布 内容

随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考点

1．理解随机变量的概念，理解分布函数

(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞

的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、泊松（Poisson ）分布．

3．理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2

(,)N μσ、指数分布，其中参数为(0)(1/)λλλθ>=注：此时的指数分布()E λ的概率密度为

()0

x

e f x x λλ-?=?

≤?若x>0若

4．会求随机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)． 三、多维随机变量及其分布 内容

多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布 二维连续型随机变量的概

率密度、边缘概率密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个随机变量的函数的分布(离散型)

考点

1．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握二维随机

变量的边缘分布（离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计算）．

2．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的判别方法，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．

3．会根据两个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律． 四、随机变量的数字特征 内容

随机变量的数学期望（均值）、方差及其性质 随机变量函数的数学期望 协方差、相关系数及其性质 考点

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的期望、方差．

2．会求随机变量及其函数的数学期望．

3. 利用协方差或相关系数判别随机变量是否不相关.

五、大数定律及中心极限定理 考点

切比雪夫不等式． 六、样本及抽样分布 内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩2

χ分布 t 分布 分位点 正态总体的常用抽样分布

考点

1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为

2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑ 2．了解产生2

χ变量、t 变量的典型模式；了解标准正态分布、2

χ分布、t 分布的上侧α分位点.

3．掌握单个正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布（定理1-3）．

七、参数估计

内容

点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法区间估计

考点

1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法和最大似然估计法．

3. 掌握无偏估计的概念.

4. 掌握正态总体双侧置信区间求法

八、假设检验

考点

单个正态总体方差已知和未知两种情况下关于均值的双边检验．

单个正态总体方差的检验．

备注：

(1) 黑体部分为重点，可能考计算题.

(2)不在本次考试范围内的主要有：

ch3 条件分布，连续型二维随机变量函数的分布，二元正态；

ch4 高阶矩和混合矩,协方差阵；

ch5 大数定律，中心极限定理；

ch6 两正态总体相应抽样分布；

ch7 截尾样本最大似然，估计量的有效性和相合性；单侧区间，0－1分布区间估计.

ch8 两类错误，两个正态总体的相关检验.

概率论与数理统计复习提纲(2)

一，事件的运算

如果A ，B ，C 为三事件，则A +B +C 为至少一个发生, C B A ++为至少一次不发生, AB +BC +AC 和

ABC C AB C B A BC A +++都是至少两次发生, C AB C B A BC A ++为恰有两次发生. C B A C B A C B A ++为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语

言..

二, 加法法则与乘法法则

如A 与B 互不相容, 则P (A +B )=P (A )+P (B ) P (AB )=P (A )P (B |A ) 而对于任给的A 与B 有 P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )

(1)

因此, P (A +B ),P (A ),P (B ),P (AB )这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.

而P (AB )=P (A )P (B |A ), 因此P (A +B ),P (A ),P (B ),P (B |A )只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来.

)()()(AB P A P B A P -=也是常用式子

三, 全概率公式和贝叶斯公式 设A 1,A 2,…,构成完备事件组, 则任给事件B 有

∑=i

i i A B P A P B P )|()()( (全概率公式),

及

,...)2,1(,)

|()()

|()()|(==

∑m A B P A P A B P A P B A P i

i i m m m (贝叶斯公式)

其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A 与它的逆A , 即任给事件A ,B 有

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A 或者A 之一发生, 而这将影响到第二步的结

果的事件B 是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B 发生的概率, 并要求B 发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B 已经发生条件下第一步

各事件的概率, 就用贝叶斯公式. 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量

一元: P (ξ=x k )=p k (k =1,2,…), 性质:

1=∑k

k

p

二元: P {ξ=x k , η=y j )=p ij (i ,j =1,2,…) 边缘分布与联合分布的关系:

)2()

1(){){j

i

ij j i j

ij i p

p y P p p x P ======∑∑ηξ

2. 连续型随机变量

)(~x ?ξ, ?=<

a

dx x b a P )()(?ξ, 性质:1)(=?+∞

∞

-dx x ?

分布函数为?∞

-=

≤=x

dt t x P x F )()()(?ξ, 且有)()(x x F ?='

如ξ~φ(x ), η=f (ξ), 则求η的概率密度函数的办法, 是先求η的分布函数F η(x ),

))(()()(x f P x P x F ≤=≤=ξηη,

然后对F η(x )求导即得η的概率密度函数. 五, 随机变量的数字特征 数学期望:

离散型: ∑∞

==

1

k k k

p x

E ξ

连续型: ?+∞

∞

-=

dx x x E )(?ξ

性质: E (ξ+η)=E ξ+Eη, E (ξ-η)=E ξ-E η 方差:

离散型: 先计算∑∞

==12

2

k k k p x E ξ

, 则22)(ξξξE E D -= 连续型: 先计算,)(22

?+∞

∞

-=

dx x x E ?ξ则22

)(ξξ

ξE E D -=

性质: 如ξ,η相互独立, 则D (ξ+η)=D ξ+D η, D(ξ-η)=D ξ+D η

协方差和相关系数:

计算两个随机变量ξ和η的协方差cov (ξ,η)和相关系数ρ的关键是计算E (ξη), 离散型: ∑∑=

i

j

ij j

i

p y

x E )(ξη

则cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)

η

ξηξρD D ),cov(=

六, 几种常用的分布 二项分布

ξ~B (n ,p )是指k n k

k n p p C k P --==)1(}{ξ.

它描述了贝努里独立试验概型中, 事件A 发生k 次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行. 超几何分布

将N 个元素分为N 1个和N 2个两类, N 1+N 2=N , 从中任取n 个, 其中N 1个元素的个数是一随机变量ξ, 服

从超几何分布, 且有

n N

k

n N

k N C

C C k P -=

=2

1)(ξ

普阿松分布

ξ服从普阿松分布, 是指其概率函数为

,2,1,0,!

)(==

=-k e k k P k

λλξ

正态分布

ξ服从正态分布, 即ξ~2

22)(21)(σμσ

π?--

=x e

x , 记作ξ~N (μ,σ2).

ξ服从标准正态分布ξ~N (0,1)

性质: 如果ξ~N (0,1), 则a ξ+b ~N (b , a 2) 指数分布

ξ服从指数分布, 即?????≤>=-0

01)(~x x e

x x λλ

?ξ

它的分布函数为???≥-<=-0

10

)(x e

x x F x

λ 七, 统计量

假设ξ是总体, E ξ=μ, D ξ=σ2, 而(X 1,…,X n )是取自总体ξ的样本, 则

EX i =μ, DX i =σ2 (i =1,…,n )

样本均值∑==n i i X n X 11, 样本方差∑=--=n i i X X n S 1

22

)(11

样本标准差∑=--=

n i i

X X n S 1

2

)(11

n

X D X E 2

,σμ=

=

八, 最大似然估计

对于n 个样本值x 1,x 2,…,x n 如总体ξ为连续型随机变量, ξ~φ(x ;θ), 则似然函数

∏==n

i i n x x x x L 1

21);();,,,(θ?θ

而如总体ξ为离散型随机变量, P (ξ=x i )=p (x i ;θ), 则似然函数 ∏==n

i i n x p x x x L 1

21);();,,,(θθ

则解似然方程

0ln =θ

d L

d 解得θ的最大似然估计值θ? 九, 区间估计

在正态总体下, 即总体ξ~N (μ,σ2)时, 如果σ2为已知, 则)1,0(~N n

X U σμ

-=

, 则在给定检验水平α时, 查正态分布表求u α使

αα=>)|(|u U P , 即2

1)(0α

Φα-

=u ,则置信度为1-α的置信区间为),(αασ

σ

u n

X u n

X +

-

如果σ2为未知, 则)1(~--=

n t n

S

X T μ, 其中S 为样本方差的开平方(或者说测得的标准差. 查t -分

布表求t α使αα=>)|(|t T P , 则置信度为1-α的置信区间为),(ααt n

S X t n

S X +-.

十, 假设检验 在正态总体下，即总体ξ~N (μ,σ2)时,

在σ2为已知条件下, 检验假设H 0: μ=μ0, 选取统计量n

X U 0

σμ-=

, 则在H 0成立的条件下U ~N (0,1), 对

于给定的检验水平α, 查正态分布表确定临界值u α, 使αα=>)|(|u U P , 即2

1)(0α

Φα-=u 根据样本观

察值计算统计量U 的值u 与u α比较, 如|u |>u α则否定H 0, 否则接收H 0.

如σ2为未知, 则选取统计量n

S

X T 0μ-=

, 在H 0假设成立时T ~t (n -1), 对于给定的检验水平α和样本

容量n , 查t -分布表确定临界值t α使P (|T |>t α)=α, 根据样本观察值计算统计量T 的值t 与t α比较, 如|t |>t α则否定H 0, 否则接收H 0.

如果是大样本情况下，t -分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认为样式本方差

可以作为精确的方差使用。

需要重点练习的习题和例题：p 5: 例2. p 6: 例3. p 226: 1,2. p 27: 20.p56:20, p 59: 36,37. p77:22,23. p 99: 1. p 28: 27,28,30. p 56: 16,19. p 57: 23. p 164: 2,3. p 165: 8,11. p 184: 1,2. p 235: 58.