09第九章 真空中的静电场作业答案

一.选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分

别为＋λ(x ＜0)和－λ(x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为

(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)

()j i a

+π04ελ． 【提示】根据场强叠加法，可求得左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a )处产生的场强大小E ＋、E

－大小为：

E E +-==

矢量叠加后，合场强大小为：02E a

λ

πε=合

［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于：

(A)

06εq ． (B) 012εq ． (C) 024εq ． (D) 0

48εq ． 【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A

处于大立方体的中心。则大立方体的外表面构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为

q

ε。另一方面，该高斯

面可看成由24个面积与侧面abcd 相等的面组成，且具有对称性。所以，通过侧面abcd 的电场强度通量等于

24εq

［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A)

a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a

q 08επ-．

【提示】2

0248P

a

M M

a

q

q U E dr dr r

a

πεπε-=

?=

=??

［ D ］ 4（基础训练8）如图9-15所示，CDEF 为一矩形，边长分别为l 和2l ．在DC 延长线上CA ＝l 处的A 点有点电荷＋q ，在CF 的中点B 点有点电荷-q ，若使单位正电荷从C 点沿CDEF 路径运动到F 点，则电场力所作的功等于：

(A)

l l q --?π51540ε ． (B) 55

140-?

πl q ε (C)

31340-?πl q ε ． (D) 51

540

-?

πl q ε． 【提示】静电力做功C F 1()A U U =?- ，其中，U C 和U F 可根据点电荷的电势公式和电势叠加原理求得：00044C q q U l

l

πεπε-=

+

=，

014F q U l

πε-=

+

=

得：A =

1

［ C ］ 5（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电

平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空间各点的电

场强度E

随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为

(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)：

【提示】根据高斯定理可求得：

(0)2 (0)2i x E i x σ

εσε?>??=?

?->??

［ C ］ 6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R 和2R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q 和－3q ．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A)

R

Qq 04πε． (B)

R

Qq 02πε． (C)

08Qq R

πε． (D)

R

Qq

083πε．

【提示】设内球面处为A ，外球面处为B ，静电力做功()0A B K A Q U U E =-=- ， 其中，U A 和U B 可根据球面的电势公式和电势叠加原理求得。

00034428A q q q U R

R R πεπεπε--=

+

=?， 000

3242428B q q q

U R R R πεπεπε--=+=

??，代入即得结果。 【或者】22

00()48B

R

K A B A

R

q

Qq

E A Q U U Q Edr Q

dr r

R

πεπε-==-===?

?

二．填空题

1（基础训练9）已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?10

6

V ．

【提示】球壳带电量越大，电场强度和电势就越高。设最大电量为max Q ，此时球壳表面处场强为

max 2

030/4Q E kV cm R πε=

=，球壳电势为max

max 04Q V R

πε=；联立两式求解6max 1.510()V V =?。

2（基础训练13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为＋σ 和＋2 σ ，

如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为：E A ＝03 2σε-

，E B ＝0 2σε-，E C ＝0

3 2σ

ε

(设方向向右为正)．

【提示】A 、B 、C 三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独

自产生场强的矢量叠加。

σ+的“无限大平面”的场强大小：0

E 2σσ

ε=

； 2σ+的“无限大平面”的场强大小：200

2E 2σσσ

εε=

= 方向向右为正，得：000

322A E σσσ

εεε=-

-=- ，00022B E σσσεεε=-=- ，000322C E σσσεεε=+=

3（基础训练17） AC 为一根长为2l 的带电细棒，左半部均

匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－λ和＋λ，如图所示。O 点在棒的延长线上，距A 端的距离为l ．P 点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l ．以棒的中点B 为电势的零点。则O 点电势U o ＝03

ln 44

λεπ；

P 点电势U p ＝___0___． 【提示】以无限远为电势零点时，根据电势叠加原理可算得B 点

电势为零。因此，“以棒的中点B 为电势的零点”和“以无限远为电势零点”是一样的。

根据对称性及电势叠加原理，易知0p U =，

2320003ln 4444

l

l o l

l dx dx U x x λλλπεπεε-=+=π?

?

4（自测提高13）、如图9-42所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直线垂直通过图面上的A 点；一带有电荷Q 的均匀带电球体，其球心处于O 点。△AOP 是边长为a 的等边三角形。为了使P 点处场强方向垂直于OP ，则λ和Q 的数量之间应满足 Q a λ=关系，且λ与Q 为 异

号电荷。

【提示】如图，作场强矢量叠加图，要使P 点处场强方向垂直于OP ，必须

满足：① λ与Q 为异号电荷。 ② 2

00224Q

a

a

λπεπε=? → Q a λ=

+σ

A C

5（自测提高14）一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d<

3

8qd R

πε，场强方向为_从O 点指向缺口中心处．

【提示】用填补法。d E E E =+圆环,

d E E E =-=圆环2

0204R q d R

e R ππε+

6 （自测提高17） 一均匀静电场，电场强度(

)

j i E

600400+= V·m -1，则点a (3,2)和点b (1,0)之间的电势差U ab ＝ －2×103

V _． (点的坐标x ，y 以米计)。

【提示】(1,0)

1

(3,2)

3

2

(400600)()400600b

ab a

U E dr i j dxi dyj dx dy =?=

+?+=+?

???＝－2000 V

7（自测提高19）已知某区域的电势表达式为U ＝A ln(x 2+y 2)，式中A 为常量．该区域的场强的两个分量为：E x ＝222

()

Ax

x y -+； E z ＝ 0 。

【提示】222()

x U Ax

E x x y ?-=-=?+，z

0U E z ?=-=? 8（自测提高20） 有三个点电荷q 1、q 2和q 3，分别静止于圆周上

的三个点，如9-46图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的相互作用电势能W

＝)

12132301

8q q q q R

πε+．

【提示】 该电荷系统的相互作用电势能 = 把这三个点电荷依次从现在的位置搬运到无穷远的地方，电场力所作的功。

【或者】该电荷系统的相互作用电势能 = 把这三个点电荷依次从无穷远的地方搬运到它们应在的位置，外力所作的功，参见辅导书例题9-7

【或者】3

1

12i i i W qU ==∑，其中U i 为除第i 个点电荷外的所有其它电荷在该点处的电势。

三．计算题

1（基础训练21） 带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sin φ，式中λ0为一常数，φ为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O

q 1

q 3

q 2

解：如图，在φ处取电荷元，其电荷为d q =λd l = λ0sin φ（R d φ） 它在O 点产生的场强为 R R

q

E 002

04d sin 4d d εφφλεπ=π=

，方向如图。 在x 、y 轴上的二个分量

d E x = －d E cos φ d E y = －d E sin φ 对各分量分别求和：

000

sin cos d 4x E R λφφφεπ

=-π?＝0 2

00000sin d 48y E R R

λλφφεεπ

=-

=-π? ∴ j R

j E i E E y x

008ελ-=+=

2 （基础训练23）如图所示，在电矩为p

的电偶极子的电场中，

将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离)移到B 点，求此过程中电场力所作的功．

解：设电偶极子中两个点电荷的电量分别为q 0和-q 0 ，根据电势叠加原理，得：

002

22

2

0000000022

20000444()4()4()

22444()4()4()224

A B q q q l

q l p

U l l l R R R R R q q q l p

U l l l R R R R πεπεπεπεπεπεπεπεπε--=

+

=

≈-

=-

+---=+=≈-+-

q 从A 移到B 电场力作功（与路径无关）为 2

0()2A B qp

A q U U R

πε=-=-

3（基础训练24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

解：由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为U 。 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为 d q = ρ 4π r 2 d r

该薄层电荷在球心处产生的电势为 ()00d d /4 d /U q r r r ερε=π=

整个带电球层在球心处产生的电势为

()

21

22

00210

d d 2R

R U U r r R R ρρεε===-?

?

因为空腔内为等势区，所以空腔内任一点的电势U 为

()212

20

02R R U U -=

=ερ （注意：这一步骤必须写）

【或者】根据电势定义??=r E U

d 计算，也可。（但不建议。）

4（基础训练25） 图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的

不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0 (x -a )，λ0为一常量．取

无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．

解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷 d q =λ0 (x －a )d x ，

它在O 点产生的电势 ()000d d 44x a x

dq

U x x

λπεε-=

=

π

O 点总电势 00d d 4a l a l

a a x U dU x a x λε++??

==-??π??????????

?

+-π=a l a a l ln 40

0ελ

5（自测提高23）边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的

一角在坐标原点处．在此区域有一静电场，场强为j i E

300200+= .试求穿过各面的电通量．

解：由题意知 E x =200 N/C ， E y =300 N/C ，E z =0 平行于xOy 平面的两个面的电场强度通量

01=±==?S E S E z e

Φ

平行于yOz 平面的两个面的电场强度通量

2002±=±==?S E S E x e

Φb 2 N ·m 2/C

“＋”，“－”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量。 平行于xOz 平面的两个面的电场强度通量 3003±=±==?

S E S E y e

Φb 2 N ·m 2/C

“＋”，“－”分别对应于上和下平面的电场强度通量。

6（自测提高25）一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3 m 的同轴圆筒形阳极B ，如图9-51所示。阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应。求电子刚从阴极射出时所受的电场力。(基本电荷e ＝

1.6×10-19 C )。

解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为 λ

按高斯定理有 2π r E = λ / ε 0

得到 E = λ / (2πε 0 r ) (R 1＜r ＜R 2) ，方向沿半径指向轴线．

两极之间电势差 ??-

=?=-2

1

B A

2R R B A r dr r d E U U ελ

π 120ln 2R R ελ

π-= 得到

()120/ln 2R R U U A B -=πελ

， 所以 ()r

R R U U E A B 1/ln 12?-=

阴极处的场强为 ()1

121R R 1

/?

-=R R U U E A B ln 在阴极表面处电子受电场力的大小为 ()1

12R11/R R R U U e eE F A B ?-==ln ＝4.37×10-14 N ， 方向沿半径指向阳极．

x

x

z

7（自测提高26）电荷以相同的面密度σ分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V 。(1) 求电荷面密度σ。(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

?

??? ??+π=

22110

041

r q r q U ε???? ??+=2221210

4441r r r r σσεπππ()210

r r +=εσ

2

100r r U +=

εσ＝8.85×10-9 C / m 2

(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有 ()210

1

r r U σσε'+='= 0，

得σσ2

1

r r -

='， 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷 ()???

? ??+

π='-π='212222144r r r r q σσσ()20021244r U r r r εσππ=+=＝6.67×10-9

C 附加题：

1（基础训练29）如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，

细线左端离球心距离为r 0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远

处的电势为零)．

解：设x 轴沿细线方向，原点在球心处，在x 处取线元d x ，其上电荷为d d q x λ=，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：

22

0044q

q dx

dF dq E dx x x λλπεπε=?=?=

，方向沿x 正方向．

整个细线所受电场力为：

()

00

20

000d 44r l

r q x q l F x r r l λλεε+=

=ππ+?

，方向沿x 正方向． 电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

x

dx

q dq x

q Udq dW 0044πελπε=

?=

=

整个线电荷在电场中具有电势能：

00

00

00d ln 44r l

r r l q x q W dW x r λλ

εε+??+==

= ?ππ??

??

x

2（自测提高30）半径为R 、电荷线密度为λ1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为λ2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处，如图9-55所示。求该直线段受到的电场力。

解：设坐标原点在圆环中心，x 轴沿圆环轴线方向，如图。 带电圆环在x 轴上任一点的场强为

1223/2

024()R x

E i R x λππε?=

+

在x 处取一电荷元d q =λ2d x ，它受到的电场力为

12223/2

024()

Rxdx

d F dqE i R x λλππε==

+ 整个直线段所受电场力为：

()

i x

R xdx

R F d F l ??+=

=02

/322021ελλ2(

)i R l R R

??

?

??

?+-=

2

/1220211

1ελλ2