5.6-实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵的正交对角化 摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。 关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化 作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。 Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。

下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。 （1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。 （2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A- λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。 Ii：αi1，αi2，…，αini 则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。 令P1=（I1，I2，…，Ik）， 则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。 （3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。 Ji：ei1，ei2，…，eini 则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。 说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini 正交化得：

专题4------实对称矩阵的对角化

专题：实对称矩阵的对角化 一、实对称矩阵的定义： 如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。 二、实对称矩阵的性质： ① 实对称矩阵必可对角化。（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372 页说的很清楚） ② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质 提出来的） ③ 不同特征值的特征向量相互正交。（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量 线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列 向量，1212211212,(,)0,T T a a a a a a a a a a ?===?正交线性无关） ④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即 齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。（对于一般 矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量 个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤） 三、基本情况说明： 考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。 A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。 特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；

矩阵可对角化的总结分解

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。 ［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵 说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。 定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的 相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有

N阶实对称矩阵的三对角化

N阶实对称矩阵的三对角化 信计31 施昕2130602018 实验原理： 用householder矩阵对n阶实矩阵上Hessenberg化，Q’AQ=T,其中Q 是householder矩阵，T是上Hessenberg矩阵，因为A对称，则变换后的矩阵T是三对角矩阵。通过n个householder矩阵相乘，Hk使得每个Ak的第k行和第k列的后n-k分量变为ae(n-k)。最后得到三对角矩阵。 实验结果：

源程序： %Householder变换： function [v,b]=House(x) n=length(x); x=x/norm(x,'inf'); c=x(2:n)'*x(2:n); v(2:n,1)=x(2:n); if c==0 b=0; else a=sqrt((x(1))^2+c); if x(1)<=0 v(1)=x(1)-a; else v(1)=-c/(x(1)+a); end b=2*(v(1))^2/(c+(v(1))^2); v=v/v(1); end %三对角化： A=input('输入矩阵A：'); n=length(A); Q=eye(n); for k=1:n-2 [v,b]=House(A(k+1:n,k)); u=b*A(k+1:n,k+1:n)*v; w=u-(b*u'*v/2)*v; Hk=eye(n-k)-b*(v*v'); H=blkdiag(eye(k),Hk); Q=Q*H; A(k+1,k)=norm(A(k+1:n,k)); A(k,k+1)=A(k+1,k); A(k,k+2:n)=0; A(k+2:n,k)=0; A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-v*w'-w*v'; end T=A Q disp(Q*T*Q');

实对称矩阵的若干简单性质

实对称矩阵的若干简单性质 张冰 摘要：本论文首先介绍了转置矩阵、对角矩阵等相关定义及实对称矩阵的定义， 然后对实对称矩阵的若干简单性质进行了研究与证明，包括实对称矩阵的对角化等， 并且给出了具体例子. 关键词：矩阵；实对称矩阵; 对角化；应用 Some Basal Properties of The Real Symmetric Matrixes zhang bing （20112112147 Class 2Grade 2011 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Statistics Science） Abstract:This paper first introduces the concepts of transpose matrixes, diagonal matrixes ,real symmetric matrixes and some related definitions . Then it makes some researches and proofs on some basal properties of real symmetric matrixes , such as the diagonalization of real symmetric matrixes and gives some examples. Key words: matrix; real symmetric matrix ; diagonalization; application 1引言与基本内容 1.1引言 矩阵是高等代数中的重要组成部分, 有各种各样的问题都提出了矩阵的概念，这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，从而矩阵也是主要的研究对象. 作为矩阵的一种特殊类型，实对称矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具,实对称矩阵中的一些基本性质, 定理, 对角化等是高等代数中的重难点.在文献[2]中, 作者王文省详细给出了转置和对称矩阵的概念.在文献[3]中, 作者王萼芳介绍了实对称矩阵对角化的性质, 并着重强调了实对称矩阵的方法.本篇论文介绍了实对称矩阵的相关定义和若干简单性质, 进一步对这些性质进行了研究与证明, 并且给出了具体例子，说明了其应用. 1.2基本内容 定义1形如 1112131 2122232 3132333 123 ... ... ... ............... ... n n n m m m mn a a a a a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?? 的纵横排列的二维数据表格称为m行n