勾股定理、平行四边形练习

勾股定理

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222c b a =+。常见勾

股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。这个一定要牢记于心。 考点一：勾股定理的直接应用

例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）

A 、1

B 、2

C 、2

D 、22

例2．如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm

考点二：求第三条边的长

例1．若Rt ABC 中，90C ?∠=且c=37,a=12，则b=（ ）

A 、50

B 、35

C 、34

D 、26

例2．已知两线段的长为6cm 和8cm ，当第三条线段取 时，这三条线段能组成一个直角三角形。（提示：所给的两条变长不一定都为直角边。）

例3．若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2

c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25

考点三：与高、面积有关

例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是

例2．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是2

_____cm

◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

判断步骤：（1）比较a 、b 、c 大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。

例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ）

例2．试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角形？

一、选择题

1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（ ）

A 、2

B 、4

C 、3

D 、5

2、等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ）

A ．10 B.12 C.15 D.20

3、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，

如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm ，则h 的取值范围是（ ）

A 、h ≤17cm

B 、h ≥8cm

C 、15cm ≤h ≤16cm

D 、7cm ≤h ≤16cm

二、填空题

1、如果梯子底端离建筑物5m ，那么13m 长的梯子可达到建筑物的高度是____________m 。

2、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是 cm

（2题图） （3题图） （ 4题图）

3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 。

4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的A ∠与BDC ∠都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？

5.如图，南北方向MN 为我国领海线，即MN 以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方向有一走私船C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切关注。反走私艇A 和走私船C 的距离是13

海里，A 、B 两艇的距离为5海里，反走私艇B 测得距离C 船12

海里，若走私船C 的速度不

变，最早会在什么时间进入我国领海？(精确到分)

A ?

B ?D

C B A A B

C

M N

初二数学《勾股定理》单元测试卷

班级：姓名：座号：评分：

一、填空题（每空3分，共30分）

1.直角三角形一条直角边与斜边分别为5c m和13c m.则另一直角边长为c m；

2.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是。

3.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为。

4.已知,如图1,△ABD中,∠B=90°,∠D=15°,C是BD上一点,AC=CD=8cm,则AB= cm

5.如图2，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________；

6.一艘小船上午7点出发，它以8海里/时的速度向西航行，一小时

后，另一艘小船从同一地点出发以12海里/小时的速度向北航行，上午9点两小船相距海里；

7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

8.如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为

20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点

有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬

到B点最短路程是dm；

9.如图所示，一个梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，

这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在

DE的位置上，如图2，测得DB的长为1米，则梯子顶端A

下落了米。

10.如图将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为

12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，

则h的取值范围是。

二、选择题(每题3分，共24分)

11.下列各组数为勾股数的是（）

A.6，12，13

B.3，4，7

C.4，7.5,8.5

D.8,15,17

12.下列说法的是( )

A.△ABC中,若∠B=∠C－∠A, 则△ABC是直角三角形.

B.△ABC中,若a2=(b+c)(b－c), 则△ABC是直角三角形.

C.△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形.

D.△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形.

13.已知等边三角形的边长为2cm，那么这个等边三角形的高为（）

（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）5cm

14.若△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是（）

A 14或4

B 4

C 14

D 以上都不对

15.如图，在△ABC,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

∠A=30 °,则AD等于（）

（A）4BD （B）3BD （C）2BD （D）BD

16.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是

（ ）

A 、一条直角边和一个锐角分别相等

B 、两条直角边对应相等

C 、斜边和一条直角边对应相等

D 、斜边和一个锐角对应相等

17. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古

代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与

中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正

方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边

长为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）

A 13

B 19

C 25

D 169

18. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8

cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边

AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）

A 、2 cm

B 、3 cm

C 、4cm

D 、5cm

19. 已知4×4的方格子中每个小正方形的边长为1，请

你在方格子画出长度为13和5的两条线段。

20. 如图,在△ABC 中，

∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求BD 和AB 的长.

21. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB=13，AD=12，BD=5，CD=9，求AC 的长。

22. 如图，已知在△ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，AB=13， BD=3， AD=1，求CD 的长。

23. 有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖

放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺。

请求竹竿高与门高。

A B

C D A

B C D A

B C

D

第十八章平行四边形练习题

1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）

A．2B．4C．4 D．8

2.下列命题中，真命题是( )

A．对角线相等的四边形是等腰梯形

B．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．四个角相等的四边形是矩形

3.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．

其中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）

A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）

A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD

6.如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．

7.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件

____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，

则CD= ．

10.如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．

11.如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．

12.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F,连接CF.

（1）求证：AF=DC；

（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

F

E D

C

B A

14. 已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点

（1）求证：△ABM ≌△DCM

（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD ：AB=____________时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明） A

B C D

M E N F

15. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ．

（1）证明：∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ．

（2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使∠EFD=∠BCD ，并说明理由．

16. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 交于点O ，廷长BC 到E ，使得CE=AD ，连接DE ．

（1）求证：BD=DE ．

（2）若AC ⊥BD ，AD=3，S ABCD =16，求AB 的长．