高三一轮复习集合与函数测试题(含答案) 2

高三一轮复习集合与函数测试题

2012.9

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的 四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知命题“012,2<++∈?ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ) A ．)1,(--∞

B ．),1(+∞

C ．),1()1,(+∞--∞

D ．（—1，1）

2、若{}

82

22<≤∈=-x

Z x A {}1log R <∈=x x B x ，则)(C R B A ?的元素个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

3、 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2

，则a =（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．2

4、 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数， 则函数 ()x f （ ）

A.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数

B.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数

C.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数

D.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 5 .设?

??

???-∈3,21,

1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A. -1,3 B.-1,1 C. 1,3 D.-1,1,3

6．已知(31)4,1

()log ,

1a a x a x f x x x -+

>?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11

[,)73

7．若函数2)1(log )(223+++

+=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，

（a ，b 为常 数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）

A ．有最大值9

B ．有最小值5

C ．有最大值3

D ．有最大值5

8．函数|

3||4|92

-++-=x x x y 的图象关于 （ ）

A ．x 轴对称

B ．y 轴对称

C ．原点对称

D ．直线0=-y x 对称

9．若函数21(1)

()lg (1)

x x f x x x ?+≤=?>?,则f(f(10)=（ ）

A ．lg101

B ．2

C ．1

D ．0

10．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，

当 )02(，

-∈x 时， x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ） A.2

1

-

B.

2

1

C. 2

D.2-

11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B.15 C ．4 D.1

4

12. 设函数()f x =

c

x b

ax ++2

的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 11

-1

-1

O

x

y

A.a ＞b ＞c

B.a ＞c ＞b

C.b ＞a ＞c

D.c ＞a ＞b

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13、函数x x f 6log 21)(-=的定义域为__

14、若

2

4log 3,(22)x x x -=-=则＿＿＿

15. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，

则当 ),0(∞+∈x 时，=)(x f

16. .函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取 值范 围是______

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

17．(本小题满分10分) 计算：（1）00

2

1

)51(1

212

)4(2

---+

-+

-

（2）9

1log 161log 25log 53

2??

18.（12分）定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=－f (x ),且当x ∈[－1，1]时，f (x )=x 3. （1）求f (x )在[1，5]上的表达式；

（2）若A={x | f (x )>a ,x ∈R},且A φ≠，求实数a 的取值范围。

解: ( 1)[)[]

2

2

(2)1,3()(-4)3,5x x f x x x ?--∈?

=?∈?? ( 2)a<1。

19.已知函数3)(2

++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的最小值．

解:设)(x f 在]2,2[-上的最小值为)(a g ，则满足a a g ≥)(的a 的最小值即为所求．配方得

)2|(|4

3)2()(2

2≤-++=x a a x x f

(1)当222≤-≤-a 时，43)(2a a g -=，由a a ≥-

432

解得,26≤≤-a 24≤≤-∴a ； (2)（2）当22≥-a

时,27)2()(a f a g +==由a a ≥+27得7-≥a 47-≤≤-∴a (3) 当22-≤-a 时，,27)2()(a f a g -=-=由a a ≥-27得3

7

≤a ，这与4≥a 矛盾，此种情形不

存在．

综上讨论，得27≤≤-a 7min -=∴a

18．（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足

()()()(),31f xy f x f y f =+=

(1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<

19. （12分）已知函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的零点是－3和2.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.

20. （本小题满分12分）某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量．．．．()f x （万

件）与月份x 的近似关系为1

()(1)(352)(12)150

f x x x x x N x =

+-∈≤且． （1）写出明年第x 个月的需求量()g x （万件）与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超

过1.4万件；

（2）如果将该商品每月都投放市场p 万件，要保持每月都满足市场需求，则p 至少为多少万件．

21.．(本小题满分12分) 已知定义域为R 的函数a

b x f x x

+-=22)(是奇函数.(1)求b a ,的值;

(2)用定义证明)(x f 在()+∞∞-,上为减函数.

(3)若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.

22．（本小题满分14分）设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：

①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1)成立；

②当x ∈(0,5)时，x ≤()f x ≤21x -+1恒成立。 （1）求(1)f 的值； （2）求()f x 的解析式；

（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x ∈[]1,m 时，就有()f x t x +≤成立。

试题答案

C C B

D C D A B B A B B

13.(

0 6??

，. 14.4

3 15.4x x --. 16. 2a ≤-或2a ≥ 17

．解：

（

Ⅰ）原式

=11

212

12

2

1

--+

+

-=1122

2

2

12

1-+++-

-

=2222

1+?-=2222=+

（Ⅱ）原式=2543223log 2log 5log --??=

165

lg 3

lg )2(3lg 2lg )4(2lg 5lg 2=-?-? 18.解：（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= （2）

()()()()889f x f x f x x f +-=-

而函数f(x)是定义在()0,+∞上为增函数

080

89(8)9x x x x x >??

∴->?<

即原不等式的解集为(8,9) 19. 解：（Ⅰ）1833)(2+--=x x x f ……（6分）

（Ⅱ）当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时

故所求函数)(x f 的值域为[12，18]……………………（12分） 20. 解：（1）由题设条件知1

()()(1)(12)25

g x f x f x x x =--=-，. 整理得212350,

57,,6x x x x N x -+<∴<<∈∴=又.

即6月份的需求量超过1.4万件；

（2）为满足市场需求，则()P g x ≥，即21

[(6)36]25

P x ≥

--+. ()g x 的最大值为

3625，3625P ≥ ，即P 至少为3625

万件.

21、解：（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数

为 .1),1()1(=-=-a f f 得又 经检验1,1==b a 符合题意. (2)任取2121,,x x R x x <∈且

则)

12)(12()

12)(21()12)(21(12211221)()(211221221121-------=

-----=-x x x x x x x x x x x f x f =)12)(12()22(22112++-x x x x .

R )(,0)()(0)12)(12(,022,21212121上的减函数为又x f x f x f x x x x x x ∴>-∴>++∴>-∴<

(3) R t ∈,不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立, )2()2(2

2k t f t t f --<-∴

)(x f ∴为奇函数, )2()2(2

2t k f t t f -<-∴)(x f ∴为减函数, .2222t k t t ->-∴

即t t k 232

-<恒成立,而.3

131)31(32322-≥-

-=-t t t .31-<∴k

22. 解： (1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1

…………………………3分

(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=4

1 ∴f(x)=

4

1

(x+1)2 …………………………7分

(3)假设存在t ∈R,只需x ∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x ?41

(x+t+1)2≤x ?x 2+(2t-2)x+t 2+2t+1≤0.

令g(x)=x 2

+(2t-2)x+t 2+2t+1,g(x)≤0,x ∈[1,m].

40(1)0()01212t g g m t t m t t

-≤≤?≤????

?≤---≤≤-+-??? ∴m ≤1－t+2t -≤1－(－4)+2)4(--=9

t=-4时,对任意的x ∈[1,9]

恒有g(x)≤0, ∴m 的最大值为9. ………………………… 12分