结构动力学-第二章 分析动力学基础(part_I)

结构动力学Dynamics of Structures

第二章分析动力学基础及

运动方程的建立

Chapter 2. Fundamentals of Analytical Dynamics and Equation

of Motion

华南理工大学土木工程系

马海涛/陈太聪

本章主要内容?经典分析动力学的基本概念?经典分析动力学的力学原理?动力学运动方程的建立

?对重力影响的特殊考虑

?地基运动的影响的处理

结构动力学问题的计算模型

以经典分析动力学理论基础

经典力学和分析动力学

经典力学中，分析动力学研究物体的运动与运动产生原因的关系。

这些原因包括作用力和物体本身的性质

（质量及质量惯性矩）。

牛顿第二定律Newton's second law of motion 拉格朗日力学Lagrangian mechanics

哈密尔顿力学Hamiltonian mechanics 矢量力学与标量力学

§2.1 基本概念

§2.1.1广义坐标与动力自由度

质点系的运动：各质点的位置随时间的变化

质点：具有质量但无几何大小的物体

质点系：一定数目彼此有关联的质点的集合刚体：任意两个质点间距离不变的质点系

理想模型

分析动力学的研究对象：质点系离散化后的结构体系都可被看成是一个质点系。

质点系的运动描述?坐标系-参考标准

基础坐标系与绝对运动相对坐标系与相对运动

?位置向量

相对于参考坐标系的一组坐标值

质点m i : r i =(x i ,y i ,z i )

x

y

z O x i

y i z i

r i

m i

●

自由与非自由质点系

?约束-运动学限制?相关位移

()()222

11122

2

21212x y l x x y y l +=?+?

=广义坐标：

?确定质点系几何位置的彼此独立?广义坐标选取的原则

例子

广义坐标:

(1)x 1, x 2(2)y 1, y 2(3) x 1, y 2(4) x 2, y 1

?

自由质点系的坐标: x 1, y 1, x 2, y 2约束：

或

(5) φ1, φ

2

动力自由度

结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中,决定全部质量位置所需要的独立参数的数目称为结构的动力自由度数.

一般来说，广义坐标数目与动力自由度数相等.

忽略:

(1)立柱轴向变形

(2)立柱质量

单自由度模型

自由度数的确定：

考虑：轴向变形

忽略: 转动惯量动力自由度数=4

u 1,v

1

u

2

,v

2

考虑：轴向变形

转动惯量动力自由度数=6

u 1,v

1

u

2

,v

2

和φ

1

, φ2

自由度数的确定（忽略轴向变形）：

静力自由度与动力自由度

静力:确定全部自由节点的位移参数

动力:确定非零质量几何位置或转动的位移参数

1.忽略轴向和剪切变形

a)不计转动惯性

b)考虑转动惯性

2.考虑各种变形

a)不计转动惯性

b)考虑转动惯性

1.功的定义(Work)功的增量总功其中

曲线微元长度位移增量

§2.1.2 功和能

dW d =F u

AB

W d =∫F u

dW d =F u dl d u

F AB

W d =∫F u (仅与初始和终止位置有关!)

当力向量为常量时:

AB

d =∫F u ()()()

x B A y B A z B A F x x F y y F z z =?+?+?()

B A =?F u u

§2.1.2 功和能

2. 有势力和势能(Potential force, Potential energy)

设质点系中质点m i 上所受的力为F i ,满足以下两个条件，则可称其为有势力:(1)这些力中每个力的大小和方向只取决于质点的位置;(2)体系从某一位置A i 移动到另一位置B i ，各力所作的功

之和只与位置A i 和B i 有关，而与运动路径无关。对有势力（保守力）：

?保守力沿封闭路线所作的功为零。

0d W ==∫F u v

选定体系的“零位置”后，可定义体系的势能：

(,,)

i i i U U x y z =设U A 和U B 分别是位置A 和B 时体系的势能，则A 到B 时体系势能的变化可表示为：

A B i U U dW dU

?==?∑()

1

1

N N

i

ix

i

iy i iz i i i dW F dx

F dy F dz ===++∑∑所有力作的功之和可以表示为

零势能位置－零势面

因此：

()1

N

ix

i

iy i iz i i F dx

F dy F dz dU

=++=?∑U

=?F grad ix iy iz i

i

i

U U U F F F x y z ???=?

=?

=?

???所以，有势力各分量可表示为

有势力可表示为势函数的负梯度

3.动能

考虑一个质点从A 移动到B ，

m m ==F a u

AB

W d =∫F u

AB

W m d =∫u u

d dt

=

u

u 根据牛顿第二定律，

所以

d dt =u u

故

AB

W m d =∫

u u ()12AB

d m =?∫u

u 221122B A mu mu =?

质点系中的动能为

即

2

112

N

i i i T m u ==∑ 2211B A

AB

W d mu

mu ==?∫F u 动能增量等于

作用于该质点系的力的功

终点动能始点动能

力F 做功

§2.1.3 实位移、可能位移和虚位移

定义：

可能位移:满足所有约束方程的位移

实位移：不仅满足所有约束方程的位移，而且同时满足运动方程和初始条件

虚位移：在某一固定时刻，满足所有约束方程的任意微小位移

性质：

z实位移是体系的真实位移，或真解；它一定是可能位移中的一员；

z若约束方程与时间无关，虚位移与可能位移相同，实位移必与某一虚位移重合。

对于完整约束的质点系，任一质点的位移可表示为广义坐标

和时间的函数

12(,,,;)(1,2,,)

i i m q q q t i N =u =u ""i i i

W δδ=F u 1m

i

i j

j j

q q δδ=?=?∑u u 可表示为广义坐标的虚位移的函数

j q δi δu 11

m

m

i i

i i j i j

j j j j W q q q q δδδ==???==??∑∑u u F F 若该质点所受力为F i ，则在虚位移上所作虚功为

完整系统:只包含有限约束的动力系统。

质点系的虚功为

1

N

i

j i

i j Q q =?=?∑u F 定义

与广义坐标对应的广义力为

j q 广义力的性质：

（1）与广义坐标的定义相关（2）与广义坐标的乘级具有

功的量纲

（3）一般不再是向量

()

1

1

N N

i

ix

i

iy i iz i i i W F x

F y F z δδδδ===++∑∑比较：质点系的虚功为

1N

i

i W W δδ==∑11N

m

i

i

j i j j q q δ==???=???????

∑∑u F 11m

j j

j m

j

j Q q W δδ====∑∑

广义力的计算方法：（1）投影法

1

1

1N

i

j i

i j N

i j N i i i ix iy iz i j j j Q q q x y z F F F q q q ===?=??=??????=++?????????

∑∑∑i

i

u F r F j j j

W Q q δδ=

（2）虚功法

数学定义

物理意义