谈数学课中教师的精导

数学课教学中教师的“精导”

庐江汤池中学倪云志

【摘要】数学课堂中的“精导”，有着酝酿情绪、集中学生注意力、渗透主题和带入情境的任务。精心设计，恰当点拨，能激发学生学习兴趣，使学生产生强烈的求知渴望，从而获得良好的教学效果。

【关键词】数学课，教学，教师，引导

在课堂教学活动中，学生应该是主体，但是教师的主导作用也不可忽视，我

们发现教师在课堂教学中给予学生有效的引导和恰当的点拨，如果能符合学生的

认知规律，和学生的探究水平、领悟能力达成度较高。可以激发学生的学习欲望

和学习热情。从而获得良好的教学效果。

课堂教学的情境创设要因课而异，因人而异。课堂教学内容不同，创设的内

容也不同。在课堂导入设计过程中，最为关键的就是要创造最佳的课堂气氛和环

境，使学生变“被动”为“主动”，变“苦学”为“乐学”，变“学会”为“会

学”。从而大幅度提高学生的数学学习兴趣和能力，进一步提升我们的课堂教学

效果和质量。

数学本身就是从生活实际中来的，并不是凭空捏造的理论。数学教育也应该

是源于现实，富于现实，应用于现实。作为数学教育工作者，我们理应让学生体

会并意识到这一点。所以要求教师在课堂导入教学的精心设计中应该注意以下几

项原则。

（1）自然合理循序渐进原则。教师教学时，包含的是前面知识的延伸，又

是后续知识的开端，要学习数学的新知必须以一定的旧知的积累为基础。同时问

题的导入，要有一定难度，需在学生的“最近发展区”内，使学生可以“跳一跳

摘到桃子”。

（2）面向全体学生的原则。教学中，要认真研究学生，了解学生，充分考

虑班级同学的认知水平，问题的设置应面向大多数同学，切忌专为少数学生所设。

（3）简洁明确针对性的原则。课堂上，问题的导入要有针对性、目的性，

表达既简明扼要，又清晰明了。不要含糊不清，使学生盲目应付，思维混乱。

（4）直观性原则。教学时的引入和举例要注意直观性，能将复杂问题简单

化，抽象问题具体化。多从已知的知识入手，多从身边的实例说起。符合认知，

切合实际。

（5）及时性原则。课堂教学要把握时机，恰当安排导入问题，设置悬念的

时间。找准学生思维时间的最佳突破口。

所以，数学课堂上的“精导” ，有着酝酿情绪、集中学生注意力、渗透主题和带入情境的任务。精心设计，找准时机，恰当点拨，能激发学生强烈的求知渴望，充分发挥学生学习的主体作用，创造最佳的课堂氛围和教学效果。

下面我们就课堂教师的“精导”的类型及部分案例分析；希望能给我们在平时的课堂教学中有所启发。

1、设疑激思式

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题，解决问题的持续不断的活动”，设疑激思式即教师通过设疑布置“问题陷阱”，学生在解答问题时不知不觉掉进“陷阱”，使他们的解答自相矛盾，引起学生积极思考，进而引出新课主题的方法。它的设计思路：教师提出问题，学生解答问题，针对学生出现的矛盾对立观点，引发学生的争论与思考，在激起学生对知识的强烈兴趣后，教师点题导入新课。

案例：在学习 “两角和与两角差的三角函数公式”时，

教师出示问题：“sin(α+β)=sin α+sin β，cos(α+β)=cos α+cos β成立吗？”。学生

议论纷纷，有的说：“成立，因为有α=0, β=3π或α=3

π，β=0……”；有的说：“不行……”。认为正确的同学的说法是：代入第一个式子成立，立即有学生提出异议：取的角太特殊了，不信让α=β=45°试试，大多同学认可后一位同学的说法，就连刚才同意第一位同学观点的学生也倒向了后者。这时教师不失时机的提出问题：“那么到底等于什么呢？它与α、β的三角函数之间又有怎样的关系呢？”板书课题，导入新课。

运用此法必须做到：一是巧妙设疑。要针对教材的关键、重点和难点，从新的角度巧妙设问。此外，所设的疑点要有一定的难度，要能使学生暂时处于困惑状态，营造一种 “心求通而未得通，口欲言而不能言”的情境。二是以疑激思，善问善导。设疑质疑还只是设疑导入的第一步，更重要的是要以此激发学生的思维，使学生的思维尽快活跃起来。因此，教师必须掌握一些设问的方法与技巧，并善于引导，使学生学会思考和解决问题。

设疑激思导入课例，比如，用“直线与曲线相切是否一定只有一个公共点？”导入“导数”的概念；用“方程x 2＋1=0一定有解？”导入“复数”课题，“ 曲线的参数方程 ”等都可以采用此方法。

2、情景呈现式

用贴近学生生活实际或为学生所喜闻乐见的学习材料，把学生熟悉、感兴趣的实例作为认识的背景材料，导入课题，不仅使学生感到亲切、自然，可以强化

视觉形象，使学生如临其境、如见其物。达到激发学生的学习兴趣，而且能尽快唤起学生的认知行为，促成学生主动思考，为课堂的后继实施作好心智准备。

案例：在讲授“面面垂直判定定理”时，

教师：“建筑工地上，泥水匠正在砌墙（构设情景，吸引学生的注意）。为了保证墙面与地面的垂直，工人师傅用一根吊着铅锤的绳来贴近墙面，看看细绳与墙面是否吻合（叙述事实，学生点头称是）。如此，能保证墙面与地面垂直吗？泥水匠或许不知道其中的奥秘，但你们能不能找到其中理论依据呢（提出问题，使学生思考）？”

点评：从生活情景入手，提出在熟视无睹、习以为常情况下的新问题，可激发学生兴趣，比起直接让学生被动接受“面面垂直判定定理”更能取得好的效果。

数学来源于生活，数学不只是一些枯燥、乏味的数学符号的集结，数学教学也不只是刻板地对知识的传授，而应遵循于生活、寓于生活、用于生活。在新课导入时有意识地把数学问题生活化，这样就有利于激发学生的学习兴趣，使学生更加明白学习的现实意义，凸现数学的应用价值。

情景呈现方法应用课例，如异面直线的概念、排列概念、组合概念、概率章节的相关概念课等。

3、直接导入式

开门见山式的直接导入是最基本最常见的一种导入方式，教师用三言两语直接阐明对学生的目的要求，简洁明快地讲述或设问，引起学生的有意注意，使学生心中有数，诱发探求新知识的兴趣，本方法适用于章节的开头或探究公式的变式、性质的归纳与应用等。

案例：在学习“弧度制”时，教师直接引入新课：“以前我们研究角的度量时，规定周角的1/360为1度的角，这种度量角的制度叫做角度制。今天我们学习另外一种度量角的常用制度----弧度制。本节主要要求是：掌握1弧度角的概念；能够实现角度制与弧度制两种制度的换算；掌握弧度制下的弧长公式并能运用解题；

这种方法多用于相对能自成一体且与前后知识联系不十分紧密的新知识教学的导入。这样的导入有利与提出新课的学习重点、难点和教学目的，以引起学生的有意注意，诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。

直接导入的课例，如“三角函数的图像性质”、“正、余弦定理”、“等差数列的性质归纳与探究”等。

4、演示实验式

演示实验式是直接实验展示或将无法演示的数学现象和规律制作成课件或幻灯片，用计算机模拟或放映图片来创设情境，激发学生的学习兴趣，然后教师点题导入新课。幻灯、录像、投影仪、计算机等电教设备能为学生创造良好的学习环境，从而调动学生的学习积极性和主动性。

案例：在学习“数学归纳法”时，教师利用计算机制作flash动画模拟动态的多米诺骨牌的推倒过程，创设数学归纳法的问题情境，使抽象的数学现象及其规律变的形象直观、趣味横生，此时导入新课迎合了学生强烈的求知欲。

演示实验应用课例也有很多，在学习《空间几何体》时通过几何画板制作三维空间的空间体，增强学生的空间感知和想象能力；在学习《算法初步》概念时通过学生一起玩野人过河游戏，给学生渗透按部就班的算法思想；在探究《直线与圆锥曲线的位置》和《角度距离数量关系》时，通过几何画板来探究达到准确直观的效果。

5、思旧引新式

思旧引新式即所谓“温故而知新”，它利用数学知识之间的联系导入新课，淡化学生对新知识的陌生感，使学生迅速将新知识纳入原有的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。它的设计思路：复习与新知识(新课内容)相关的旧知识(学生己学过的知识)，分析新旧知识的联系点，围绕新课主题设问，让学生思考，教师点题导入新课。

案例：在学习“反函数”时，预先复习，提问一一对应、函数定义以及函数的定义域、值域等和本节有关的基础知识，进而用物理学中学生熟悉的匀速直线运动位移与时间的关系。“反函数”的关系自然导入反函数的学习。

因此，使用“思旧引新”式的导入要十分关注新旧知识之间的内在联系，特别是新知识的生长点，及其发生、发展的过程与旧知识体系的关联程度，不是形式的、简单的意义上的“思旧引新”。正如我们在研究函数单调性时的课堂导入，从“数”的角度（“y随x的增大而减小”，“y随x的增大而增大”）和形的角度（“函数的图象呈上升（或下降）趋势”）作铺垫，而且这本身就是研究函数单调性的两种重要的方法，同时又找到了“函数的单调性”的生长点。

6、引典讲故式

引典讲故导入式是利用数学家的传记或数学发展史或新颖有趣的故事导入新课的方法。这种方法可以通过榜样的力量去感染学生，调动他们的学习积极性，唤起他们的探索热情。它的设计理念：先讲述与新课内容密切相关的数学史，利用科学家追求真理、勇于探索的精神去感动学生，同时唤起他们强烈的求知欲，最后教师点题引入新课。

案例：讲“充分、必要条件”时：“同学们都知道世界近代三大数学难题之一：哥德巴赫猜想”。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年6月7日他写给大数学家欧拉的信中提到了哥德巴赫猜想：（1）任何一个大于等于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。（2）任何一个大于等于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。200年过去了，没有人证明它。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”称为陈氏定理，可表示为“1+2”。最终谁会证明哥德巴赫猜想？当我们学完充分、必要条件后，你可以试一试。

引典讲故导入课例，比如，学习《算法》时介绍中国古代数学瑰宝《九章算术》中方程术、加减消元法。学习《空间几何体》时介绍“祖恒原理”：“幂势既同则积不容异”，即等高处横截面积都相等的两个几何体的体积必相等；在学习“二项式定理”时，教师向学生介绍我国古代著名的“杨辉三角”等课题，讲授《等差数列的求和公式》时，就以十八世纪的大数学家高斯小时候的一个故事入题。

7、类比联想式

类比就是当两个对象都有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个对象的某些性质时，推测另一个对象也有相同或类似性质的思维形式。所谓联想，就是由一事物想到与之相似的另一事物。采用类比联想导入简洁明快，同时能高效地调动学生思维的积极性。

案例：双曲线概念的导入

教师：请同学们回顾椭圆的定义。

学生：平面内，到两定点的距离之和等于定常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆。

教师：如果我们将椭圆定义中的“和”改为“差”，那么轨迹会是什么呢？

点评：联想是把某一类事物的共同特征与人们曾遇到过的概念联系起来，从而获得新的设想，因此，联想是一种具有发现功能的思维方法。类比，它是对两个或几个相似的东西进行“联想”，把它们中间某个较熟悉的性质转移到和它相似的对象上去，从而作出相应的判断或推理，导致发现新规律。

类比联想导入课例，数学上有很多对偶性问题，也有很多以对偶形式的概念（如，等差数列与等比数列，椭圆与双曲线的定义，平行线的传递性与平面平行的传递性，垂直于同一平面的两直线平行与垂直于同一直线的两平面平行等），教学导入则可以采用类比的方式；数学上也有很多低维向高维推广或高维向低维

转化的问题（如，平面向空间的推广，有限与无限的问题等）则可采用联想的方

法导入。事实上，就数学解题而言，也常采用类比联想的方式，即根据命题的具体情况，从具有相似特点的数、式、以及相似的内容、性质或相似的图形进行类比、联想，寻求解题途径。当我们遇到一个新问题，会在已知的问题情境中进行

检索，建立起思维路径。

8、诱导探究式

探究学习要求学生在学习和生活中主动发现问题、探索方法，并在老师的适度点拨训练引导下，得到“原创性”的知识。学生能否主动探究，往往取决于是否有充满疑问的情境。因此，探究式导入就要求恰当地创设问题情境，通过问题情境的创设，使学生明确探究目标，给思维以方向；同时也使学生产生强烈的探究欲望，给思维以动力。让学生体验到如何去获取信息和知识，而真正成为知识的“发现者”、“探究者”。

案例：求等比数列前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1。课本中直接利用两边同乘以q，然后两式相减得到Sn的公式。而为什么将两边同乘以q，怎么想到此方法的呢？显得突然。

我在课堂中采用引导学生自己探究、自己得到结论的方法：

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1。学生首先想到的是等差数列前n项和的推导方法：“倒序相加法”，但很快发现此路不通。在学生一筹莫展之际教师引导学生：这个问题的困惑在于抽象的n，何不化抽象为具体，化一般为特殊？n=1、2、3试试看？

S1=a1,S2=a1+a1q=a1(1+q)，S3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

而1+q+q2联想到立方差公式：（1-q）(1+q+q2)=1-q3

∴当q≠1时，S3= a1(1-q3) /1-q。为了发现规律把S2、S1相应写成

S2= a1（1-q2）/1-q，S1=a1（1-q）/1-q。（ q≠1）

由此猜想：当q≠1时，Sn=a1（1-qn）/1-q。

从而只须证明（1-q）Sn=a1(1-qn)即Sn-qSn=a1(1-qn)。引导学生观察此式的特征：“错项相减”（即构造一个qSn，再计算Sn-qSn）的念头，油然而生。下面的证明学生很快就写出来了。

点评：探究式学习是以培养学生的探究性思维为目标，它不同于传统的接受式学习，接受式学习关注的是结果，探究式学习则是过程和结果并重。给学生一些事实和问题，在教师的指导下，学生自觉主动的探索、研究客观事物属性，发现事物发展的动因及事物间的内在联系，从中找出规律，形成科学的概念。

一般说来，对于“有意义发现”的知识，不仅要解决“是什么？”，而且还要解决“为什么？”、“怎么办？”的问题，通常采用探究式导入。问题设计时，可以从教材中延伸问题，也可以从社会现实生活中抽象概括出数学问题来。

探究诱导式课例很多，在学习“棱柱与棱锥的体积”时，可以这样导入：首先，教师取等底、等高的三棱柱与三棱锥模具各一个，通过“装水实验”，让学生观察棱柱与棱锥体积的关系，进而引导学生思考其它的各种等底等高的棱锥与棱柱体积的关系，从而引入课题。

9、习题点评式

习题点评式，即先根据新课的内容和目标设置一定的练习，当然问题的难度要适宜，应让学生不是很容易就能完成的问题，以引起学生的注意，或者使学生产生压力感，急于听教师讲解的导入方法。

案例：学习“等差数列前n项和”时，可给学生安排如下课堂练习：

思考题：如何求下列和？

①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=____________；

②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=______________；

③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=___________________.

这三道小题，若第一题可以勉强解决的话，②、③两道则必须寻找解题的技巧与规律了，使学生对“等差数列前n项和”的知识有了强烈的认知欲望，此时开始学习恰到好处。

值得注意的是，练习题的形式可以多种多样，既可有笔答题，也可有口答题，根据不同内容精心设计编写将会对新知识教学产生良好的效果。

在实际教学中，我们要根据数学学科的特点、内容及课的类型选择合适的导入方式。事实上，各种导入方法并不相互排斥，有时几种方法的融合会使课堂教学更加自然、和谐，更能提高课堂的教学效果。课堂教学的探究既是机遇又是挑战。机遇是给我们提供了更多课堂教研的空间和平台，挑战是我们一线的数学教师必须花更大的力气和智慧去设计和构思更好、更精彩的课堂。

2015年8月25日