09-10-2高数A、B期中试卷

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1．设11,0(),0x x f x x a bx x ?--

在0x =处可导,则a = 12 ，b = 18 ； 2．设21

arctan ln(1)2x x y e x e =-++，则1d x y

dx ==_____211e e -+_______；

3．设()y y x =是由方程sin 02x x y ye π

++=所确定的隐函数，则(0)y '= 12π

+ ；

4．函数22(2)x y e x =-的单调减少区间是 (2,1)- ；

5．()arcsin f x x =带有P eano 余项的三阶M aclaurin 公式为_ 33

1

()3!x x o x ++__； 6．当0x →时，()sin 2sin 3sin 5f x x x x =-+是x 的 3 阶无穷小量(填数字)；

7．若极限lim (),lim ()x a x a

f x

g x →→=∞=∞，则必有 [ D ] (A ) []lim ()()x a f x g x →+=∞ (B ) []lim ()()x a

f x

g x →-=∞ (C) 1

lim 0()()x a f x g x →=+ (D ) lim (),(x a

kf x k →=∞为非零常数) 8．设函数f 在区间[0,1]上二阶可导，且()0f x ''>，则有 [B ]

(A ) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B ) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->

(C ) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D ) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->

9． 下列命题中正确的是 [ C ]

(A )若f 在点0x 处可导,则f 在点0x 处也可导；

(B ) 若f 在点0x 处可导,则f 在点0x 的某个邻域内连续；

(C ) 若[,)f C a b ∈，f 在(,)a b 可导,且lim (),()x a f x k k +

→'=为有限数，则f 在点a 处

存在右导数()f a +'，且()lim ()x a f a f x k +

+→''== ； (D ) 设函数y f g = 是由(),()y f u u g x ==复合而成，如果g 在0x 处间断，f 在点

00()u g x =处间断，则复合函数y f g = 在点0x 处也间断。

共2页 第2页 2,03,2:()0, ()2,1,01,2(())1.

x u u g x x y f u u x u y f g x =>??======??≠≤??

==反例在间断在间断而 处处连续10． 计算极限2211lim 1sin n n n n n →∞??++ ??? e =11. 计算极限22

401lim sin (2)x x e x x -→-+ 18= 12．设f 二阶可导，(0)3,(f f '''==，且3()(1)

t x f t y f e π=-??=-?，求2002,t t dy

d y dx

dx ==113, 3=13. 设22()cos f x x x =，求()() (3)n f x n ≥． 221

1

()cos 222f x x x x =

+ ()3212()24cos(2)4cos(2)(1)cos(2)222n n n n n f x x x nx x n n x πππ---??=++++-+????

四(14).（８分）求函数1

11()23x

x

e F x e +=-的间断点，并指出间断点的类型（需说明理

由）．102

ln 3

x x ==是第一类,是第二类

五(15).（８分）证明：0,2sin tan 32x x x x π

<<+>当时．

六(16). (６分). 设2(),(,,)f x ax bx c a b c =++为常数，且当1,()1x f x ≤≤时，

证:,()4

x f x '≤≤当1时()22224f x ax b a b a a b '=+≤±+≤+±≤+=

七(17)．(6分) 设[0,1]f C ∈，f 在(0,1)可导, 且(0)(1)0f f ==， []

0,1m ax ()0x f x M ∈=>，证明：对于大于１的任意正整数n ，存在互异的两点12,(0,1)ξξ∈，使得 121

1()()n f f M ξξ-=''.

[][],(),0,,1M

c f c c c n =存在在上分别使用L a g r a n g e 中值定理.