乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M= { x |0 < x < 2 }, N= { x | x > 1 }，则M∩N=

A. [ 1, 2)

B. ( 1, 2 )

C. [ 0, 1 )

D. ( 0, 1]

2.复数

2

1

i

i

=

+

A. 1 + i

B. - 1 + i

C. - 1 - i

D. 1 - i

3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是

A. α⊥β, α∩β= n, m⊥n

B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ

C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α

D. n⊥α, n⊥β, m⊥α

4.等差数列{a n}中，a3= 5, S6= 36，则S9=

A. 17

B. 19

C. 81

D. 100

5.若函数f (x) = cos2x+a sin x在区间(

π

6,

π

2)上是减函数，则a的取值范围是

A. ( 2, 4 )

B. ( - ∞, 2 ]

C. ( -∞, 4]

D. [ 4, +∞ )

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是( 1, 0,

1

2), ( 1, 1, 0 ), ( 0,

1

2, 1 ), ( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为

7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S=

A. a+aq+aq2+……+aq n- 1

B.

(1)

1

n

a q

q

-

-

C. a+ aq+aq2+……+aq n- 1+aq n

D.

1

(1)

1

n

a q

q

+

-

-

A B

C D.

8.凸四边形OABC 中，(2,4),(2,1)OB AC ==-

，则该四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10

9.过抛物线焦点F 的直线，交抛物线于AB 两点，交准线于C 点，若2,AF FB CF FB λ==

，则λ =

A. - 4

B. - 3

C. - 2

D. - 1 10.设f (x ) = |ln( x + 1 )|，已知f (a ) = f (b ) ( a < b )，则

A. a + b > 0

B. a + b > 1

C. 2a + b > 0

D. 2a + b > 1

11.P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的一点，F 1，F 2是焦点，PF 1与渐近线平行，∠F 1PF 2 =

90°，则双曲线的离心率为

A. 2

B. 3

C. 2

D. 5

12.设函数f (x ) 在R 上存在导函数f ′(x )，对任意x ∈R , 都有f (x ) + f ( - x ) = x 2，且x ∈( 0, + ∞)时，f ′(x ) > x ，若f ( 2 - a ) - f ( a ) ≥ 2 - 2a ，则实数a 的取值范围是

A.[ 1, + ∞ )

B. ( - ∞, 1 ]

C. ( - ∞, 2]

D. [ 2, + ∞ )

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.若9

2a x x ?

?+ ??

?的二项展开式中的常数项是84, 则实数a = × ；

14.已知实数x , y 满足约束条件?????x ≥1

x + y ≤3x - 2y - 3 ≤0

，则z = 2x + y 的最小值为 × ；

15.掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 × ；

16.设数列{ a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足S n = 2

1(34)6

n

n a a +-，则a n = × .

三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知函数f (x ) = sin( 2x + π3 ) - cos( 2x + π

6 ) - 3cos2x ( x ∈R ). （Ⅰ）求f (x )的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，B 为锐角，且f (B ) = 3，AC = 3，求△ABC 周长的最大值.

18.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，E ，F 分别是BB 1，A 1C 1的中点. （Ⅰ）求证EF ∥平面A 1BC ；

（Ⅱ）若AB = AC = AA 1= 1，求二面角A 1 - BC - F 的平面角的余弦值.

19.某城市居民生活用水收费标准为W (t ) = ?????1.6t ， 0 ≤t < 2

2.7t ， 2 ≤t <

3.5

4.0t ， 3.5 ≤t ≤4.5

（ t 为用水量，单位：吨；

W 为水费，单位：元 ），从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；

（Ⅱ）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励.设X 为获奖户数，求X 的数学期望.

20.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为22，过焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线

段AB 的中点为M ( - 23, 1

3 ) .

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点A 与椭圆只有一个公共点的直线为l 1，过点F 与AF 垂直的直线为l 2，求证l 1与

l 2的交点在定直线上.

A

B C

E F A 1 B 1

C 1

/t

21.已知函数f (x) =e x + ln( x + 1 ).

（Ⅰ）求曲线y=f (x) 在点( 0, f (0) ) 处的切线方程；

（Ⅱ）若x≥0时，f (x) ≥ax + 1成立，求实数a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，P A是圆的切线，A是切点，M是P A的中点，过点M作圆的割线交圆于点C，B，连接PB，PC，分别交圆于点E、F, EF与BC的交点为N.

求证：（Ⅰ）EF∥P A；

（Ⅱ）MA·NE =MC·NB .

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

点P是曲线ρ= 2 ( 0 ≤θ≤π )上的动点，A( 2, 0 ), AP的中点为Q .

（Ⅰ）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若C上点M处的切线斜率的取值范围是[ -3, -

3

3]，求点M横坐标的取值范围.

24.(本题满分10分) 选修4 - 5：不等式选讲

已知函数f (x) = | x-a | + 2| x+b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为1. （Ⅰ）求a+b的值；

（Ⅱ）求12

a b

+的最小值

P

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理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分． 1~5 ADDCB 6~10 ACCAA 11~12 DB

1.选A .【解析】∵{}1N x x =≤R e，∴()

(]0,1M N =R e，故选

A . 2.选D .【解析】∵()()()

2121111i i i

z i i i i -=

==+++-，∴1z i =-，故选D . 3.选D ．【解析】∵,n m αα⊥⊥,∴m ∥n ,又n β⊥,∴m β⊥，故选D .

4.选C ．【解析】31125

656362

a a d d a =+=??

??+=??，得112a d =??=?，∴91

989812d S a ?=+=，故选C . 5.选B ．【解析】∵()2cos2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，

由,62x ππ??∈

???得1,12t ??∈ ???，依题意有()221g t t at =-++在1,12t ??

∈ ???是减函数， ∴1

42

a ≤，即2a ≤，故选B . 6.选A ．【解析】由图可得，故选A .

7.选C .【解析】执行第一次循环体运算，得1,i s a ==； 执行第二次，2,i s a aq ==+；

执行第1n +次，1,n

i n s a aq aq =+=++ ，故选C .

8.选C .【解析】∵0OB AC ?=

，∴OA BC ⊥，∴1

52

OABC S OB AC ==，故选C . 9.选A .【解析】如图，2AF FB =,∴112AA BB =，

∴1BB 是1CAA ?的中位线，∴3CB AB FB ==,4CF FB =, ∴4λ=-,故选A . 10.选A .【解析】依题意()()ln 1f

x x =+的图像如图所示，

由()()f a f b =，得()()l n 1l n 1

a b -+=

+，即0a b a b ++=.

而 0 < a + 1 < 1, b > 1

∴10a -<<，0b >，∴ ab < 0，∴0a b +>，故选A . 11.选D .【解析】tan b a α=

，∴sin b c α=，cos a c

α=，

∴sin cos a c βα==

，211212

sin sin sin PF PF F F F PF αβ-=

-∠, ∴

221

a c

b a

c c

=

-，∴2a b =

，∴e =D . 12.选B .【解析】令()()212g x f

x x =-

，则()()21

2

g x f x x -=--， 则()()()()20g x g x f

x f x x +-=+--=，得()g x 为R 上的奇函数，

∵0x >时，()()0g x f x x ''=->，故()g x 在()0,+∞单调递增， 再结合()00g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(),-∞+∞为增函数， 又()()()

()()2

22222

2a a g a g a f a f a -??

--=--

-- ??

?

()()()22222220f

a f a a a a =---+≥--+=

则()()221g a g a a a a -≥?-≥?≤，即(],1a ∈-∞.故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.填1．【解析】∵9

2a x x ??+ ??

?的二项式展开式的通项为9319r r r

r T C a x -+=，

令930r -=，即3r =，常数项为33

349=84T C a a =， 依题意，有3

8484a =，∴1a =．

14.填1．【解析】由约束条件确定的可行域如图所示，∴z 的最小值为1． 15.填

5

18

．【解析】由题意知，所有基本事件有()()1,11,2 ，，（6,6），共36个，其中满足点数之和小于6的基本事件有()()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,33,1,3,2，，，，，，， ()4,1，共10个，所以所求概率为

105

=3618

. 16.填31n +．【解析】当1n =时，2

111634S a a =+-，

即2

11340a a --=，得14a =或11a =-（舍）.

由题意得：2

111634n n n S a a +++=+-…① 2634n n n S a a =+-…②

①-②得：22

111633n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1130n n n n a a a a +++--=，

0a >3a a -={}a 43