第十二讲 排队问题

第十二讲排队问题

第一节排队问题基础

一、排队问题的基本概念

顾客：有服务需求的实体（人、设备）。

服务台：向顾客提供服务的实体（人、设备）。

排队系统：顾客需要等待才能够获得服务的系统或场所。

队列中的顾客数：等待服务的顾客数。

系统中的顾客数：等待服务和接受服务的顾客总数。

队列中的等待时间：

系统中的等待时间：

顾客到达率：单位时间进入系统的顾客数。

服务台服务率：单位时间一个服务台提供的服务次数。

有效因子：顾客到达率与系统服务率之比。

平稳条件：排队系统在运行了一段时间后达到的稳定状态（有效因子稳定在一个小于1的固定值）。

顾客到达时间间隔的分布：相继两位顾客到达系统的时间间隔是一个随机变量，所以服从某

种分布。现实生活中最常见的顾客到达时间间隔分布为指数分

布。

服务时间分布：一个服务台对一位顾客提供一次服务时间的长短也是随机变量，它也服从某种分布，如指数分布、退化分布、爱尔朗分布等。

二、排队模型的符号表示及模型假设

排队模型一般表示为

M/M/1 表示顾客到达时间间隔服从指数分布、服务时间服从指数分布、只有一个服务台的排队系统（模型）。

M/M/s 表示顾客到达时间间隔服从指数分布、服务时间服从指数分布、有s个服务台的排队系统（模型）。M/M/s中，顾客到达时间间隔的均值与标准差大致相等、服务时间的均值与标准差大致相等。

M/D/s 表示顾客到达时间间隔服从指数分布、服务时间固定、有s个服务台的排队系统（模型）。

M/G/s 表示顾客到达时间间隔服从指数分布、服务时间任意（但有确定的均值与标准差）、有s个服务台的排队系统（模型）。

关于排队模型的基本假定：

1．到达时间间隔是独立的，服从某种特定的分布。

2．所有到达的顾客都进入系统并等待和接受服务直至服务结束。

3．排队系统可以有无限长的排队队列。

4．顾客服务优先规则是先到先服务。

5．排队系统有一定数量的服务台，每个服务台一次只为一位顾客提供服务。

6．一位顾客只能由一个服务台提供服务。

7．服务时间是独立的，服从某种特定的分布。

三、排队系统举例

四、排队系统的绩效测度

排队队列长

系统内顾客数

顾客等候服务的平均等待时间

顾客在系统内的平均等待时间

顾客需要等待的概率

第二节案例研究（杜皮特公司问题）

杜皮特公司主要生产现代办公用品，明星产品是彩色打印—复印机。

杜皮特公司的售后服务出现了一些问题：用户抱怨从打通售后服务电话申请设备维修到技术代表上门维修的时间太长，且抱怨主要来自于明星产品。

当前的售后服务情况：分区域设立技术代表（售后服务人员），每位技术代表大约负责150个客户，售出的产品大约每50天需要一次售后服务，所以每位技术代表每天大约接到三个维修电话。每台设备的维修时间大约为2小时（包括途中时间），技术代表每天的工作时间为8小时，所以，每位技术代表每天约可维修4台设备。公司现有技术代表10000人，每年的总薪水约为6亿美元。

如何解决出现的售后服务问题（头脑风暴法）？ 目标：将顾客的等待时间控制在两小时以内。

负责售后服务的副总裁：增加技术服务代表的人数。

通过合并服务区域，使得各个区域有多位技术代表进行服务

负责工程与技术工作的副总裁：为技术代表提供新的技术装备，缩短维修时间。 首席财务官：通过合并服务区域，使得各个区域有多位技术代表进行服务。 营销副总裁：对明星产品给以优先接受技术服务的权利。

问题：

现在的平均等待时间是多少？ 技术服务代表的工作强度有多大？

新方案能在多大程度上改善目前的状况？ 新方案是否可行？

将待维修的设备看作顾客，技术代表看作服务台，则每个区域的售后服务情况可用M/M/1排队模型表示。

顾客到达率（服从泊松分布）3=λ 服务率 4=μ

有效因子

75.0/==μλρ

排队系统的绩效测度 队长 系统长

在队列中等待时间 在系统内等待时间 系统内没有顾客的概率

一天内有4台或更多设备需要维修的概率

352728.0647232.01)4(=-=≥X P

)0,,1,0(,)(>==

=-λλλ k e k k X P k

！

， λλ==)(,)(X D X E .

维修一台设备所用时间超过三小时的概率

0≥x 时，dx e

x X P x F x

x

?-=≤=0

)()(λλ，λ

1

)(=

X E ，2

1

)(λ=

X D

对副总裁们的方案的评估 售后服务副总裁的方案：

增加技术代表使每位技术代表每天维修的设备数约为两台，也就是说2=λ，如此，则每位技术代表服务的客户数由150减少到100，需要增加5000位技术代表，增加费用约3亿美元。此时的售后服务（排队系统）绩效为

工程副总裁的方案:

为技术代表提供新的技术装备，缩短维修时间并减小维修时间的波动。目标是：平均维修时间由原来的1/4天降到1/5天，标准差由原来的1/4天降到1/10天（0.8小时）。该方案新增加的一次性费用约为5亿美元（为每位技术代表提供5万美元的新装备）。

此时，不能再用M/M/1模型描述原来的排队问题，适用的模型应为M/G/1.

此时的售后服务（排队系统）绩效为

首席财务官的方案:

通过合并服务区域，使得各个区域有多位技术代表进行服务。合并服务区域可能使服务率减

小（路途上可能消耗更多的时间）。考虑将两个区域合并为一个，此时的排队系统应由M/M/s

来描述。

此时的售后服务（排队系统）绩效为

如果将三个区域合并为一个区域，即使服务率降为3，绩效也很好，但是……

营销副总裁的方案：

对明星产品给以优先接受技术服务的权利（因为抱怨主要来自于明星产品）。

有优先权的排队模型

一般假设：

1）有两类或更多类顾客。每一类有一个优先级，优先级别高的顾客优先接收服务。

2）同一优先级别的顾客服从先到先服务的服务规则。

非强制优先规则：当一个服务台开始为一个顾客服务时，服务必须在不被打断的条件下完成，即使在服务的过程中有更高优先级的顾客到来。

强制优先规则：当一个具有更高优先级的顾客进入排队系统时，正在接受服务的最低优先级的顾客要被挤出（退回到队列中），当队列中没有比其优先级更高的顾客时，继续接受服务。

强制优先排队模型

附加假设：

1）优先级为i（i越小，优先级越高）的顾客的到达时间间隔服从均值为iλ/1的指数分布λ）。

（到达率为

i

2）不论顾客优先级为多少，服务时间都服从均值为μ/1的指数分布（服务率为)μ。

3）排队系统有一个服务台。

非强制优先排队模型

附加假设：

1）同强制优先排队模型。

2）同强制优先排队模型。

3）排队系统可以有任意数量的服务台。

营销副总裁的方案的售后服务（排队系统）绩效为

最终方案?!

案例的启示：

1）对一个单服务台排队系统，相对较高的有效因子使得排队系统的绩效测度非常低下。2）减小服务时间的波动，可以大大改进系统的绩效测度。

3）多服务台系统的绩效要好于服务台数相同的多个单服务台系统。

4）具有优先级的排队系统可以对高端客户提供优质服务。