中考数学复习----方程专题
中考复习---方程
知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）
（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=? 当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根
（5）一元二次方程根与系数的关系：
若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a
b x x -
=+21，a
c x x =
?21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
0)(21212=++-x x x x x x
三、分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 四、方程组
1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
3、一次方程组：
（1）二元一次方程组：
一般形式：???=+=+222
1
11c y b x a c y b x a （212121,,,,,c c b b a a 不全为0）
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 （2）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法 4、二元二次方程组：
（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。
（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。
一、一元一次方程（组）
【例1】解方程：12
733)1(2-=-++x
x x 分析：依据方程的同解原理，突出基本步骤，去分母时防止漏乘，注意移项时要改变符号。
答案：7
12
=x
【例2】若关于x 的方程：4)2(35)3(10--=+-x k x x k 与方程3
21)1(25x x -=
+-的解相同，求k 的值。
分析：由“解相同”的定义，将方程3
21)1(25x
x -=+-的解代入第一个方程，
建立一个关于k 的方程，解之即可。
答案：k ＝4
【例3】在代数式m by ax ++中，当x ＝2，y ＝3，m ＝4时，它的值是零；当
x ＝－3，y ＝－6，m ＝4时，它的值是4；求a 、b 的值。
分析：由代数式值的定义得关于a 、b 的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元。
答案：???
??=-=3107b a
【例4】、解下列方程组：
（1）???=-=+52332y x y x ； （2）??
???=++=--=-+4
35212z y x z y x z y x
分析：（1）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去y ，变成二元一次方程组，较易求解。解：略
[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 探索与创新：
【问题一】要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A 、5种
B 、6种
C 、8种
D 、10种
略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为x 、y 张（x 、y 为非负数），则有：x y y x 210102-=?=+，0≤x ≤5且x 为整数?x ＝0、1、2、3、4、5。
答案：B
【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B 、C 、D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A 处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留
时间均为0.5小时。 （1）当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用了3小时，求CE 的长；
（2）若此学生打算从A 处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看
完三个景点返回到A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。 略解：
（1）设CE 线长为x 千米，列方程可得x ＝0.4。 （2）分A →D →C →B →E →A 环线和A →D →C →E →B →E →A 环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，故先后者。 二、分式方程
【例1】解下列分式方程：
问题二图
x
?
?
??? 1.2
0.41
11.6
E D C B A
1、x
x x x --=-+
22
2； 2、
41
)
1(31122=+++++x x x x 3、1131222=??? ??+-??? ?
?
+x x x x
分析：（1）题用化整法；（2）（3）题用换元法；分别设1
1
2++=x x y ，x x y 1+=，
解后勿忘检验。
答案：（1）1-=x （2=x 舍去）；
（2）1x ＝0，2x ＝1，21733+=x ，2
17
34-=x （3）2
1
1=
x ，22=x 【例2】解方程组：???
?
???==-921131
11y x y x
分析：此题不宜去分母，可设x 1＝A ，y 1-＝B 得：???
????
-
==+923
1AB B A ，用根与系数
的关系可解出A 、B ，再求x 、y ，解出后仍需要检验。
答案：?????
==
32311y x ，?????-=-=23322y x
【例3】解方程：31
24122=---
x x x x 分析：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细
观察可发现x x x x 12122-=-，所以应设x
x y 1
22-=，用换元法解。
答案：2611+
=x ，2
6
12-=x ，213=x ，14-=x
探索与创新：
【问题一】已知方程
1
1
122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。
略解：存在。用化整法把原方程化为最简的一元二次方程后，有两种情况可使
方程无解：（1）△＜0；（2）若此方程的根为增根0、1时。所以m ＜4
7
或m ＝2。
【问题二】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。
当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。 你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x 吨蔬菜精加工，用时间列方程解得60=x ，故可算出其获利810 000元，所以应选择第三种方案。 三、一元二次方程（组） 【例1】、解下列方程：
（1）2)3(2
1
2=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x
分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略
[规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 【例2】、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（2）08222=-+a ax x
分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。
[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 【例3】解下列方程组：
1、???=+--=-01101222x y x y x ；
2、???==+67xy y x ；
3、?????=+-=+0
2310
2
222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）???-==1011y x ，???
??
-=-=2
2122y x ； （2）??
?==1611y x ，???==6122y x （3）?????==5511y x ，?????-=-=5522y x ，?????
==2223
3y x ，???-=-=22244y x
【例4】已知方程组???+==+--2
1242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范
围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k
?????>+-=--=?≠0
16164)42(0
2
22k k k k 即?
??<≠10
k k
∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
【例5】方程组?
??=+=+52932y x y x 的两组解是???==1111βαy x ，???==222
2βαy x 不解方程组，求
1221βαβα+的值。
分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。
答案：
3
53 探索与创新：
【问题】已知方程组???+==n x y x y 242的两组解是???==1111y y x x 和???==2
22
2y y x x 且011≠x x ，1
x ≠2x ，设2
11
1x x m +
=
。 （1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。
略解：（1）将②代入①化简，由???≠>?0
021x x ?n ＜21
且n ≠0
（2）利用根与系数的关系得：2
)1(4n
n m -=
（n ＜21且n ≠0＝ （3）???
????≠<=-0211)
1(42
n n n n 且?222--=n