《二项式定理》详案(091028)
浙江省2009年高中数学课堂教学评比参评课教案新课标人教A版选修2—3
二
项
式
定
理
（第一课时）
参评教师：丽水学院附中胡汉成
XA091028-01
自我介绍：同学们好！我叫胡汉成，来自丽水。这是我第一次来到杭外，杭外的校园很美，
老师和同学们都很热情，给我的感觉很好！人生的每一次相遇，都绝对是一种缘分！明天
的这节公开课，将是我给同学们上的第一节课，应该也是最后一节课，希望我们能够密切
配合，希望同学们在课堂中积极参与，踊跃回答问题，向听课的专家和老师们充分展示高
二（）班的风采。
课前调查：1.教学进度 2.+2
a b展开式？
()
3.3
a b
+=？有何规律？2
()
3a b如何得到？①a降b升；②次数和3；③系数对称
4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本，需要时再打开！课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备…
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
【X2305】二项式定理2
高二同步之每日一题【X2305】 二项式定理【2】 X2-3051.9()a b c ++的展开式有 项. 解:由于在9()a b c ++的展开式中,每一项均由x y z a b c 的形式构成,其 中,,x y z 均为自然数,且满足9x y z ++=, 因此9 ()a b c ++的展开式的项数等价于方程9x y z ++=的自然数 解的组数. 方程9x y z ++=的自然数解的组数等价于方程'''12x y z ++=的 正整数解的组数,其中'1,'1,'1x x y y z z =+=+=+. 方程'''12x y z ++=的正整数解的组数等价于将12个相同的小球 分割成3堆,即是在这些小球的11个间隙中插入2个档板即可. 总上所知,答案为21155C =. X2-3052.在9()a b c ++的展开式中,项234a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++? ?++的展开 式中,因此项234a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了2个a ,再从余 下的7个()a b c ++中选取了3个b ,最后从余下的4个()a b c ++中都 选取c .所以,项234a b c 的系数为2349741260C C C ??=. X2-3053.在9()a b c -+的展开式中,项333a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++? ?++的展开 式中,因此项333a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了3个a ,再从余 下的6个()a b c ++中选取了3个b -,最后从余下的3个()a b c ++中 都选取c .所以,项333a b c 的系数为3333963(1)1680C C C ???-=-.
二项式定理导学案20
二项式定理 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 都不取蓝球（全取红球）： 取1个蓝球（1 蓝3红）： 取2个蓝球（2蓝2红）： 取3个蓝球（3蓝1红）： 取4个蓝球（无红球）： 从 不作多项式运算，用组合知识来展开展开式中有哪些项？各项系数各是什么？ 取4个a球（不取 b球）： 取3个a球（取3 a 1 b）： 取2个a球（取2 a 2 b）： 取1个a球（取1 a 3 b）： 不取 a球（全取b球）： 4 3 1 2 2 1 3 4 4 ) (b a b a b a b a b a b a+ + + + = +=4 3 1 2 2 1 3 4b b a b a b a a+ + + + 二项式定理：一般地，对于* N n∈有 n n n n n n k k n k n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 01 ) (+ + + + + + + = +- - - - - 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a) (+的， 其中叫做，叫做二项展开式的通项，用 1+ k T表示， 即： 1+ k T= 该项是展开式的第项，展开式共有项. 例1. 学习 目标 1.理解二项式定理的推导过程； 2.会用二项式定理的通项公式求特定项，正，逆用公式进行求解与证明； 3.通过用组合的方法进行推导，培养学生归纳推理的能力。 4.用联系的观点看问题，事物之间的内在联系，一种观点的不同角度理解。 重点 难点 重点：用计数原理分析n b a) (+的展开式，得到二项式定理。 难点：对二项式定理展开式与通项公式的灵活应用。 ) )( )( )( (b a b a b a b a+ + + + {}) , ,3,2,1,0 (n k C k n ∈ 2 + 求的展开式。 5 （1x)
二项式定理学案
1．3．1二项式定理（1） （一）教学目标 1、知识与技能: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 2、过程与方法:通过学生熟悉的多项式的乘法引入，让学生归纳猜想出二项式定理，发挥例题的示范作用使学生能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 3、情态与价值：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力 （二）教学重、难点 重点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 难点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 （三）教学设想 、问题情境 1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= . 构建数学 (a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其 中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 数学应用 例1用二项式定理展开： （1）93)b a (+； （2）7)x 22x (- 例2求（1+2x ）7的展开式中第4项的二项式系数和系数 例3求（x- 8)21x 的二项展开式中的常数项。 n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110
练习： 1. 求（2a+3b ）6的展开式的第3项. 2. 求（3b+2a ）6的展开式的第3项. 3.写出的 展开式的第r+1项. 4选择题 （1）62)x a a x (-的展开式中，第五项是………………………………………（ ） A .x 15- B .32a x 6- C .x 20 D .x 15 （2）153)a 1 a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项 A .7 B .8 C .9 D .6 （3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ） A .4032 B .-4032 C .126 D .-126 （4）若n )111 x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ） A .4 B .4或-3 C .12 D .3 （5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ） A .120 B .-120 C .100 D .-100 5.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数. 6.求二项式73)213(+ 的展开式中的有理项. 7.二项式n 4 )x 1x x (+ 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. n x x )21(33-
二项式定理(一)教案
二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b
二项式定理教学案设计
《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
二项式定理2
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析 “二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。 教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。 本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 二、教学目标设置 1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。 三、学情分析 学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n ( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a) b 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。 但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。 根据以上学情，制定如下教学难点： 教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 四、数学情境与学习问题的设置 根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学
二项式定理学案(普通班版)
课题：二项式定理 时间：2018/5/23 班级：教师： 一、学习目标：1、会用二项式定理求二项式的展开式 2、会用通项求展开式中的任意项 3、会区分项的二次项系数和项的系数 二、学习过程： （一）复习旧知 组合数公式=_________________________,特别的=________ (二)知识探究与学习 1、完成计算: (a＋b)2 =______________________________ (a＋b)3= (a＋b)(a＋b)(a＋b)= ______________________________猜想(a＋b)n=(a＋b)(a＋b)…(a＋b) ( n个(a＋b)相乘) =______________________________ 2、二项式定理 (a＋b)n =______________________________ 这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (1)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有____________项，而且每一项的次数都为____________。(2)二项式系数：____________
(3)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝____________ (三)题型探究与训练 题型求展开式、二项式系数、项的系数、任意项 （1）例：求的展开式、展开式的第3项的系数、第3项的二项式系数； （2）跟踪训练1 求(a-2b)4的展开式的第4项系数和二项式系数； （四）归纳与总结 1、二项式定理： 2、通项： 三、学习效果检测 1、写出的展开式. 2、的展开式的第6项的系数是_____________， 第6项的二项式系数是____________。 四、课后作业 课本36页习题1.3A组2、4(1)(2) 五、课后反思
高中数学学案：二项式定理
高中数学学案:二项式定理 基础诊断 1. ? ? ????2－13x 6的展开式中的第4项为________． 2. 在? ? ???x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________． 3. 在? ?? ??1x ＋ 1x 3n 的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和等于1 024,则中间项的二项式系数是________．
4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,则a1＋a2＋…＋a7为________． 范例导航 考向 例1在 ? ? ? ? ? ? x－ 1 2 3 x 10 展开式中, (1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数； (2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项． 已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2,a3是? ? ? ? ? 1＋ 1 2x m 展开式的前三项的系数． (1) 求m的值； (2) 求? ???? 1＋ 1 2x m 展开式的中间项． 考向 例2已知 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式的前三项的系数成等差数列． (1) 求 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式中所有的有理项； (2) 求? ???? x－ 2 x2 n 展开式中系数的绝对值最大的项．
设? ? ???x －a x 6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,若B ＝4A,求展开式中第4项的系 数． 考向 例3 (1) 设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012＋a 能被13整除,则a ＝________； (2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27 27除以9的余数为________． 9191除以100的余数是________． 自测反馈 1. 若? ????ax 2＋1x 5 的展开式中x 5的系数为－80,则实数a ＝________．
二项式定理讲学案
讲学案 课题：二项式定理第一课时 设计教师：设计时间：2015.4.2 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 1.教学重点：用计数原理分析3) a 的展开式，得到二项式定理． (b 2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项 式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是： 1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用 2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力 （一）公式探究： 师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢 生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！ 师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？
生：这…… 师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理） 设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来． 师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？ 生：（感到茫然）…… 师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？ 生：一般的． 师：恩，那如何特殊化呢？ 生：是不是先令试试看…… 师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？ 生：（举手并回答）． 师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？ 生：（举手并回答） 师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？ 生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中…… 师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？
二项式定理知识点总结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
高中数学 2二项式定理
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
2021年高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案 新人教A版选修3
2021年高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案新人教A版选修2-3一、预习目标 通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。 二、预习内容 1、（a+b）2= （a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________ （a+b）3= （a+b）4= 2、二项式定理的证明过程 3、（a+b）n= 4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________ 5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有 （1+x）n=_______________________________________ 课内探究学案 一、学习目标 1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定
理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点： 教学重点：二项式定理的内容及应用 教学难点：二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 （一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式 问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？ 合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？ 问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？ 结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2b2+ C a b3+ C b4 （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？
二项式定理 学案
二项式定理 学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 学习重点：探究并归纳用计数原理分析3 )(b a +的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定 理． 二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如何利用两个计数原理得到2)(b a +，3)(b a +，4 )(b a +的展开式？你能由此猜想一下n b a )(+的展开式是什么？ 学习任务：阅读课本P 29～P 35. 问题1. 用乘法法则展开3)(b a +，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其 中b a 2的系数是多少？用两个计数原理分析。 问题2. 回答P 30探究。 问题3. n b a )(+的展开式按照a 的降幂排列，共有多少项？其中，含有k k n b a -的项是第几项？这 一项的项数是多少？利用计数原理分析。 问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a ，b ，n ， k 的具体含义。 问题5. 回答P 32探究。 问题6. 如果把n b a )(+的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散 函数),2,1,0()(n n C r f r n ???==，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出 )6,2,1,0()(6???==r C r f r 的图象， 由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式 系数的性质。 问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。 必做题 A 级 P 31 1～4 P 35 1～3 B 级 习题1.3 A 组 B 组. 选做题 1. 73)2(x x +的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数 是 . 2. 求103)1()1(x x +-的展开式中5x 的系数. 3. 对于二项展开式1 2) (+-n b a ，下列结论中成立的是（ ） A.中间一项的二项式系数最大 B.中间两项的二项式系数相等且最大 C.中间两项的二项式系数相等且最小 D.中间两项的二项式系数互为相反数 4.（1）4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数是 . （2）6 )212(x x - 的展开式的常数项是 . 5. 533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 在1003)52(+的展开式中，有理项的个数是多少？ 7. 求10 2)11(x x + +的展开式中的常数项. 8.（1）63 64364164C C C +???++ = . （2）612 512C C += . 9. 求n x x x )1()1()1(43++???++++的展开式中2x 的系数. 10. 已知2010201021020102)21(x a x a x a a x +???+++=-. （1）求2010210a a a a +???+++的值. （2）求20102008420a a a a a ++???+++的值. 11.（1）n n n n n n C C C C 1321242-+???++等于（ ） A. n 3 B. 13-n C. 2 1 3-n D. 12 3-n （2）已知7292222332210=+???+++n n n n n n n C C C C C ，则n n n n n C C C C +???+++321等于（ ） A.63 B.64 C.31 D.32 12. 若n x x )1(2 3+ 的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ） A.210 B.10 C.462 D.252 13. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 （1）43210a a a a a ++++ = . （2）4321a a a a +++ = . （3）2312420)()(a a a a a +-++ = . 14. 已知)()21(20102010102010R x x a x a a x ∈+???++=-，求 2010 201022 1222a a a +???++的值.
二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中， 前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4 324 121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1 C +-+==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5 x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5 x 项，可以得到5 510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
杨辉三角与二项式定理导学案
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城 【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1
1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律： 从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？ 【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。 问题1：二项式展开式是： 试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：
二项式定理教案(绝对经典)
第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．