高中知识点汇总Word 文档

第一章集合

一、元素与集合

1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.

3．常见集合的符号表示：

．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．

二、集合间的基本关系

?B(B≠?

)

第一节函数及其表示

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B

中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

求函数的解析式函数解析式的求法 (1)配凑法 (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) (3)换元法 (4)方程思想：已知关于f(x)与f????

1

x或

f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组，通过解方程组求出f(x)

[例] (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

（ 3）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)＝

第二节函数的定义域和值域

1．常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝a x，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.

(5)y＝tan x的定义域为

?

?

?

?

?

?

xx≠kπ＋

π

2

，k∈Z. (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

(8)对抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (3)y＝

k

x

(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为 .

(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}． (5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R.

(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． (7)y＝tan x的值域是R.

求函数值域常用的方法 (1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法 (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法

第三节 函数的单调性与最值

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

上是增函数或减函数，则称函数这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 [例1] 证明函数f (x )＝2x －x

在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 1，f (x 2)＝2x 2－1

x 2

，

f (x 1)－f (x 2)＝

因此f (x 1)－f (x 2) 0，即f (x 1) f

(x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是 函数． 由题悟法 定义法证单调性基本步骤为取值、作差、变形、判断

第四节 函数的奇偶性及周期性

一、函数的奇偶性 1.奇、偶函数的有关性质：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反 二、周期性

1．周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二次函数

1．二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 1)一般式：f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)；

(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图象和性质

第七节指数与指数函数

一、根式 1．根式的概念

(1)n a n

＝?

????

a ， n 为奇数，

|a |＝???

a a

，

－a a ＜，

n 为偶数；

(2)(n

a )n

＝a (注意a 必须使n

a 有意义)．

二、有理数指数幂

1．幂的有关概念 2．有理数指数幂的性质 (1)正分数指数幂：a m n ＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (1)a r a s ＝a r ＋s

(a >0，r ，s ∈Q)； (2)负分数指数幂：a －m n

＝

1

a m n

＝

1

n

a m

(a >0，m ，n ∈N *

，且n >1)； (2)(a r )s ＝a rs

(a >0，r ，s ∈Q)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (3)(ab )r

＝a r b r

(a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质

第八节对数与对数函数

1．对数的概念 (1)对数的定义：

如果a x

＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .

(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)：

①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b

log c a

.

推广log a b ＝

1

log b a

， log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则：

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：

①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n

＝n m

log a M . 2．对数函数的概念

(1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x

与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．

3．对数函数的图象与性质

一、常用幂函数的图象与性质

第九节函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)

在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一

分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

第十节函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型

立体几何

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图

一、多面体的结构特征

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和

y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长

度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

五、三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的线．

第二节空间几何体的表面积和体积

柱、锥、台和球的侧面积和体积

第三节空间点、直线、平面间的位置关系

一、平面的基本性质

1．位置关系的分类

??

?

??共面直线

?

?

?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

(2)范围：????

0，

π

2

. 三、直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系

直线、平面平行的判定与性质

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

直线、平面垂直的判定与性质

平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与

x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)_．

2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母

k 表示，即k ＝tan_α， 倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2

. 二、直线方程的形式及适用条件

{ A 1B 2

－A 2B 1

＝0，B 2C 1

－B 1C 2

≠0或

{ A 1

B 2

－A 2B 1

＝0，A 1C 2

－A 2C 1

≠0

?

???当A 2

B 2

C 2

≠0时，记为A 1

A 2

＝B 1B

2

≠C 1C 2

四、两条直线的交点 设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，

此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．

五、几种距离

1．两点间的距离 两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式：d (A ，B )＝|AB |＝

x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

.

2．点到直线的距离 点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C

＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |

A 2＋

B 2

.

3．两条平行线间的距离 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2.

六 圆_的_方_程 1．圆的定义及方程

00(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2

＋(y 0－b )2

>r 2

.(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2

＋(y 0－b )2

＝r 2

. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2

＋(y 0－b )2

.

一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )

121212

三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．任意角

(1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．

(3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l

r

，l 是以角α作为圆心角

时所对圆弧的长，r 为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l

r

与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

⑤弧长公式：l ＝|α|r ， 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2

.

2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝

y ，cos α＝x ，tan α＝y

x

，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin 2

α＋cos 2

α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝

sin αcos α??

?

?α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式

对于角“

2

±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为

奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前

面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

第三节三角函数图象与性质 1．周期函数

(1)周期函数的定义： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

第四节函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念

用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (4) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (5) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. (6) tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β；

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2) cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α； (3) tan 2α＝

2tan α

1－tan 2

α

. 3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；(2)cos 2

α＝

1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2

，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

，sin α±cos α＝2sin ?

???α±π

4.

第六节简单的三角恒等变换

半角公式(不要求记忆)

1．sin

2

α2＝1－cos α2； cos 2α2＝1＋cos α2； tan 2α2＝1－cos α1＋cos α

. 2．sin α

2

＝±

1－cos α2 ； cos α

2

＝± 1＋cos α2； tan α

2

＝± 1－cos α

1＋cos α

.

3．用sin α，cos α表示tan

α2. tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α

. 第七节正弦定理和余弦定理

1

．正弦定理

3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

2ah (h 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2ab sin C ；

(3)S ＝1

2

r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

平面向量

第一节平面向量的概念及其线性运算

一、向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

二、向量的线性运算

三角形法则

平行四边形法则

三角形法则

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.

四、共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

一、平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

3．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

(2)设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)

二、平面向量坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b ＝(x 1＋x2，y 1＋y 2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12.

三、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b?x1y2－x2y1＝0.

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

一、两个向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

二、平面向量数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

三、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b?a·b＝0.

3．a·a＝|a|2，|a|＝a·a. 4．cos θ＝

a·b

|a||b|

.(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|.

四、数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a.

2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b

1，

b2)，则：

1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥b?a1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝a21＋a22.

4．cos θ＝

a·b

|a||b|

＝

a1b1＋a2b2

a21＋a22b21＋b22

.(θ为a与b的夹角)

第一章集合

一、元素与集合

1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.

3．常见集合的符号表示：

．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．

二、集合间的基本关系

?B(B≠?

)

第一节函数及其表示

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B

中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

求函数的解析式函数解析式的求法 (1)配凑法 (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) (3)换元法 (4)方程思想：已知关于f(x)与f????

1

x或

f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组，通过解方程组求出f(x)

[例] (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

（ 3）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)＝

第二节函数的定义域和值域

1．常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝a x，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.

(5)y＝tan x的定义域为

?

?

?

?

?

?

xx≠kπ＋

π

2

，k∈Z. (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

(8)对抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (3)y＝

k

x

(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为 .

(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}． (5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R.

(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． (7)y＝tan x的值域是R.

求函数值域常用的方法 (1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法 (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法

第三节 函数的单调性与最值

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

上是增函数或减函数，则称函数这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 [例1] 证明函数f (x )＝2x －x

在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 1，f (x 2)＝2x 2－1

x 2

，

f (x 1)－f (x 2)＝

因此f (x 1)－f (x 2) 0，即f (x 1) f

(x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是 函数． 由题悟法 定义法证单调性基本步骤为取值、作差、变形、判断

第四节 函数的奇偶性及周期性

一、函数的奇偶性 1.奇、偶函数的有关性质：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反 二、周期性

1．周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二次函数

1．二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 1)一般式：f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)；

(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图象和性质

指数与指数函数 一、根式 1．根式的概念

(1)n a n

＝?

????

a ， n 为奇数，

|a |＝???

a a

，

－a a ＜，

n 为偶数；

(2)(n

a )n

＝a (注意a 必须使n

a 有意义)．

二、有理数指数幂 1．幂的有关概念 2．有理数指数幂的性质 (1)正分数指数幂：a m n

＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (1)a r a s ＝a r ＋s

(a >0，r ，s ∈Q)； (2)负分数指数幂：a －m n

＝

1

a m n

＝1

n

a m

(a >0，m ，n ∈N *

，且n >1)； (2)(a r )s ＝a rs

(a >0，r ，s ∈Q)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (3)(ab )r

＝a r b r

(a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质

对数与对数函数

1．对数的概念 (1)对数的定义：

如果a x

＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .

(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)：

①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b

log c a .

推广log a b ＝

1

log b a

， log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则：

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：

①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n

＝n m

log a M . 2．对数函数的概念

(1)把y ＝log a x (a >0，

a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x

与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．

3．对数函数的图象与性质

常用幂函数的图象与性质

函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：

方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．

2．二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

等差数列

一、等差数列的有关概念

1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差

数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

，d 为常数)． 2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝

a ＋b

2

，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

二、等差数列的有关公式

1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －

2

d ＝

a 1＋a n n

2

.

三、等差数列的性质

1．若m ，n ，p ，q ∈N *

，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2

d .

4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，

且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．

5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2

＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d

2

，

当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2

＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．

等比数列

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为

a n ＋1a n

＝q (n ∈N *

，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项

?a ，G ，b 成等比数列?G 2

＝ab .

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1

.

(2)前n 项和公式：S n ＝?????

na 1，q ＝1，a 1

－q n

1－q

＝a 1

－a n q

1－q ，q ≠1.

3．等比数列{a n }的常用性质

(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *

)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2

r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….

(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k

；

数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；

a n＝a m q n－m.

第六章不等式、推理与证明

第一节不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.

2．不等式的基本性质

第二节一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx ＋c<0的解集的关系，可归纳为：

若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)不等式x(1－2x)＞0的解集是( )

第四节基本不等式

一、基本不等式ab≤

a＋b

2

1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

二、几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

b

a

＋

a

b

≥2(a，b同号)．

ab≤????

a＋b

2

2(a，b∈R)；????

a＋b

2

2≤

a2＋b2

2

(a，b∈R)．

三、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

a＋b

2

，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

四、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是

p2

4

.(简记：和定积最大)

第五节

椭__圆

[知识能否忆起]

1．椭圆的定义

平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的标准方程及其几何性质

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 2

9

＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )

A ．4

B ．8

C ．6

D ．18

解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.

2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2

m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )

A ．(－3,5)

B ．(－5,3)

C ．(－3,1)∪(1,5)

D ．(－5,1)∪(1,3)

解析：选C

由方程表示椭圆知????

?

5－m ＞0，m ＋3＞0，

5－m ≠m ＋3，

解得－3＜m ＜5且m ≠1.

3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 2

4＋k ＝1的离心率为4

5，则k 的值为( )

A ．－21

B ．21

C ．－

19

25

或21

D.19

25

或21 解析：选C 若a 2

＝9，b 2

＝4＋k ，则c ＝5－k ，

由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925

； 若a 2＝4＋k ，b 2

＝9，则c ＝k －5，

由c a ＝45，即k －54＋k ＝45

，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1

2，焦距为8.则该椭圆的方程是

________．

解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，

∴e ＝c a ＝4a ＝1

2

，故a ＝8.

又∵b 2

＝a 2

－c 2

＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 2

48＝1.

答案：

y 264＋x 2

48

＝1 5．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．

解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π

2，

设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝3

3.

答案：

33

1.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．

2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．

典题导入

[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32

.双曲线x 2－y 2

＝1的渐近线与椭圆C

有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )

A.x 28＋y 22＝1

B.x 212＋y 26＝1

C.x

2

16＋y

2

4

＝1

D.x

2

20＋y

2

5＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为

32

， ∴c a ＝

a 2－

b 2

a ＝3

2

，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2

＋4y 2

＝4b 2

.

∵双曲线x 2

－y 2

＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，

∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2

在第一象限的交点为????255

b ，255b ，

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×25

5

b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝

20. 故椭圆C 的方程为x 220＋y 2

5＝1.

[答案] D

本例中条件“双曲线x 2

－y 2

＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2

＋y 2

－2x －15＝0的半径”问题不变．

解：∵x 2

＋y 2

－2x －15＝0，

∴(x －1)2

＋y 2

＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c

a ＝

3

2

，∴c

＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 2

4

＋y 2

＝1.

由题悟法

1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．

3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n

＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2

＋By 2

＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．

以题试法

1．(2012·张家界模拟)椭圆x 2

4＋y 2

＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点

为P ，则|PF 2|＝( )

A.72

B.3

2 C. 3

D ．4

解析：选A 因为a 2

＝4，b 2

＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.

不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则

－3

2

4＋m 2

＝1，解得m ＝12

，

所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22

－12＝72

.