位置随动系统建模与时域特性分析

课程设计

课程设计任务书工作单位：自动化学院

题目: 位置随动系统建模与时域特性分析

初始条件：

图示为一位置随动系统，测速发电机TG 与伺服电机SM 共轴，右边的电位器与负载共轴。放大器增益为Ka=40，电桥增益5K ε=,测速电机增益2t k =，Ra=6Ω，La=10mH ，J=0.006kg.m 2,C e =Cm=0.4N m/A ,f=0.2N m s ,i=10。其中，J 为折算到电机轴上的转动惯量，f 为折算到电机轴上的粘性摩擦系数，i 为减速比。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1） 求出系统各部分传递函数，画出系统结构图、信号流图，并求出闭环传递函数； （2） 当Ka 由0到∞变化时，用Matlab 画出其根轨迹。

（3） Ka ＝10时，用Matlab 画出此时的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、

调节时间及稳态误差。

（4） 求出阻尼比为0.7时的Ka ，求出各种性能指标与前面的结果进行对比分析。 （5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，

并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：

任务

时间（天）

指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料

2 分析、计算 2 编写程序 1 撰写报告 2 论文答辩

1

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名：年月日

目录

1 位置随动系统原理说明 (1)

1.1位置随动系统电路图 (1)

1.2位置随动系统工作原理 (1)

1.3位置随动系统框图 (2)

1.4系统各部分传递函数的推导 (2)

1.4.1 自整角机 (2)

1.4.2功率放大器 (2)

1.4.3测速电机 (3)

1.4.4伺服电机 (3)

1.4.5减速器 (4)

1.5位置随动系统的结构图 (5)

1.6位置随动系统的信号流图 (5)

1.7系统闭环传递函数 (6)

2 用MATLAB画出系统根轨迹 (7)

3 控制系统时域性能的分析 (9)

K 时系统的性能分析 (9)

3.110

a

3.1.1单位阶跃响应的M ATLAB绘制 (9)

3.1.2暂态性能指标分析 (10)

3.2阻尼比为0.7时性能分析 (11)

4.总结......................................... 错误！未定义书签。参考文献....................................... 错误！未定义书签。本科生课程设计成绩评定表

摘要

自动控制技术是生产过程中的关键技术，也是许多高新技术产品中的核心技术。自动控制技术几乎渗透到国民经济的给哥哥领域及社会生活的各个方面，是当代发展最迅速、应用最广泛、最引人瞩目的高科技，是推动新的技术革命和新的产业革命的关键技术。

随动控制系统又名伺服控制系统。其参考输入是变化规律未知的任意时间函数。随动控制系统的任务是使被控量按同样规律变化并与输入信号的误差保持在规定范围内。这种系统在军事上应用最为普遍.如导弹发射架控制系统，雷达天线控制系统等。其特点是输入为未知。

本次设计任务是分析一个位置随动系统，本文通过开始的各个环节的数学建模，逐个推导各环节的数学传递函数，继而综合总的结构框图，计算出总的系统的传递函数。在建立了传递函数的基础上，进一步利用时域分析的方法，绘制出理论分析的系统的根轨迹曲线和阶跃响应曲线。再计算得到相应的暂态指标和稳态指标，然后通过指标分析，总结出系统的性能，再反思得出各种指标参数的原因和相互关系。较全面的解决了位置随动系统的分析

关键词：自动控制、随动控制系统、传递函数、时域分析

位置随动系统建模与时域特性分析

1 位置随动系统原理

1.1 位置随动系统电路图

位置随动系统电路图如图1。

图1-1

1.2 位置随动系统工作原理

位置随动系统通常由测量元件、放大元件、伺服电动机、测速发电机、齿轮系以及绳轮等基本环节组成，它通常采用负反馈控制原理进行工作，其原理图如图1-1所示。

在图1-1中，测量元件为由电位器Rr 和Rc 组成的桥式测量电路。负载就固定在电位器Rc 的滑臂上，因此电位器Rc 的输出电压Uc 和输出位移成正比。当输入位移变化时，在电桥的两端得到偏差电压ΔU=Ur-Uc ，经放大器放大后驱动伺服电机，并通过齿轮系带动负载移动，使偏差减小。当偏差ΔU=0时，电动机停止转动，负载停止移动。此时输出位移与输入位移相对应，即c θ=r θ。测速发电机反馈与电动机速度成正比，用以增加阻尼，改善系统性能。如果c θ和r θ不相等，则产生的电压差驱动伺服电机和负载转动，直到电动机停止转动(两转角相等)，此时系统处于与指令同步的平衡工作状态。

图1 位置随动系统电路图

a

i a

E

1.3 位置随动系统框图

位置随动系统框图如图2。

1.4系统各部分传递函数的推导

1.4.1 自整角机

作为常用的位置检测装置，将角位移或者直线位移转换成模拟电压信号的幅值或相位。自整角机作为角位移传感器，在位置随动系统中是成对使用的。与指令轴相连的是发送机，与系统输出轴相连的是接收机。

(1) 在零初始条件下，对上式求其拉普拉斯变换，可得：

(2) 绘制出自整角机结构图可用图3表示如下，

1.4.2功率放大器

由于运算放大器具有输入阻抗很大，输出阻抗小的特点，在工程上被广泛用来作信号放大器。其输出电压与输入电压成正比，传递函数为：

(3) ()()a

a U s K U s =

-

()

r s Φ()

c s ΦK ε

放大器放大

测速发电机

电机驱动

电桥电位

器放大减速器

角度误差电桥输

出电压

误差电压

电机驱动电压

电机输出角速度

输入角度

--输出角度

0()()()()[()()]

r c r c U t U t U t K t K t t εεθθθ=-=?=-()()[(

)()]r c U s K s K s s εεθθθ=?=-图2 位置随动系统框图

图3 自整角机结构图

结构图如图4所示。

1.4.3测速电机

测速电机的主要作用是将转轴的角速度量转化为电压量的一个速度—电量传感器，该系统采用是直流测速电机，所以由直流电机相应的知识可以知道输出电压是正比于电机的转速的，因而可以得到相应的表达式如下：

（4）

其中t k 是输出电压与输出角速度的比值为一常数，()t ω为电机角速度即为输出轴的角速度，

()t θ为输出轴的角度，在零初始条件下，其拉氏变化为：

2()()()t t m U s k W s k s s ==Φ （5）

测速电机的结构图可以表示如图5所示。

1.4.4伺服电机

伺服电机是整个系统最为核心的部分，也是整个系统中最为复杂的部分，其中包含了电机和电路的综合知识。伺服电机的主要作用是将输入的电信号，转化为磁信号，再进一步转化为动力信号，从而通过电量控制运动方式。而伺服电机的快速、准确的控制特性可以很精确的控制角度达到很好的调节功能，因而在分析伺服电机的控制环节时主要是分析 如下几个方程：①电枢回路的电压方程；②电枢回路输出电磁转矩方程；③输出转矩平衡方程。

①根据位置随动系统原理图，如图1—1，通过KVL 方程可求得：

2()

()()()t t

d t U t k t k d t θω==t

k ()

m s Φ1

s

()

m W s 2()

U s

a

K ()

a U s ()

U s 图4 功率放大器

图5 测速电机结构图

()()()

a e e m E t c n t C t φω==()

()()a a a a a

a di t U R i t L E t dt

=++ （6） 其中 是电枢回路的反电动势，其大小与励磁磁通与转动角速度成正比。

②电枢回路输出电磁转矩方程为：

（7）

（8）

其中C e =Cm=0.35N m/A 。 ③输出转矩平衡方程为：

（9） 式中，

f 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，f=0.2N m s ，J 是电动

机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，J=0.006kg.m 2。

对式子（1—6）到（1—9）进行Laplace 变换得：

（10）

（11） （12） （13）

进一步化简可得：

（14） 对结构进行适当化简可以得到相应的简化的结构图如图6所示。

1.4.5减速器

减速器：减速器是原动机和工作机之间的独立的闭式传动装置，用来降低转速和增大转矩，以满足工作需要。

在系统中的关系式为： （15）

进行Laplace 变换可得： （16）

其中i 为减速比， =10。 由此可得到系统方框图如图7所示。

()()()

m m m JsW s fW s T s +=()()

m m a T s C I s =()()a e m E s C W s =()()()()a a a a a a U s R I s L sI s E s =++图6 伺服电机结构图

()

c s θ()

m s θi

K ()

a U s ()m W s ()()m

a a m e

C R L f Js C C +++()a E t ()()()

m t a m a T t c i t C i t φ==()

()()

m m m d t J

f t T t dt

ωω+=()()

c i m t K t θθ=()()

c i m s K s θθ=i K

()()()()m m

a a a m e

W s C U s R L f Js C C =

+++

1.5位置随动系统的结构图 位置随动系统的结构图如图8所示。

将参数a K =40，5K ε=，2t k =，1.01

==i

i k ，=6a R Ω，mH L a 10=， ， C e =Cm=0.35N m/A 分别代入并进行相应近似可得： 15e G K ==，240a G K ==，32t G k ==，1.04==i k G ， 。

带入数据得，如图9所示。

图8 位置随动系统的结构图

2

0.006J kg m =?0.2f N m s =??()

a U s ()

m W s ()R s ()

C s 0()U s ()

U s 2()U s ()

m s φ--

K εa

K t

K i

K 1s

()()m a a m e

C R L f Js C C +++()

a U s ()

m W s ()R s ()

C s 0()U s ()

U s 2()U s ()

m s φ--

5

40

1s

2

图9 位置随动系统的结构图

61

G s

=

3225

.1038.000006.035

.02++s s ()()3225

.1038.000006.035

.035.0006.02.001.0635

.022

5++=

+++=

s s s s G 1

.0

1.6位置随动系统的信号流图

信号流图如图10所示。

1.7系统闭环传递函数

经简化的系统结构图如图11所示：

系统的开环传递函数： （17）

系统的闭环传递函数：

(18)

图10 信号流图

-

()

R s ()

C s 图11 系统闭环传递函数

()7

3225.29038.000006.07

2

3+++=s s s s φs

s s 3225.29038.000006.07

23++()s

s s s G 3225.29038.000006.07

23++=

2 用Matlab 画出系统根轨迹

根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s 平面上变化的轨迹。可分成常义根轨迹和广义根轨迹。

根轨迹的一般性质如下：

利用Matlab 可以很精确的绘出根轨迹的图形，主要使用的函数有：

[r,k]=rlocus(num,den) 其作用是绘制0k =→∞部分的根轨迹。系统会自动确定坐标轴的分度值。

[num,den]=zp2tf(z,p,k) 其作用是将传递函数的零、极点形式转换成有理分式的传递函数。 %绘制根轨迹

源程序如图12。

绘制出来得到相应的根轨迹如图13所示。 由根轨迹图可以知道：

当0a K =时，系统是临界稳定的； 当0a K >时，系统是稳定的。

图12 源程序

（24）

化简得：

（25）

在Matlab 中进行编写相应程序绘制单位阶跃响应曲线，编写程序如下： num=[29166.7]; %开环传递函数分子 den=[1,633.3,188708.3,29166.7]; %开环传递函数分母

step(num,den) %绘制传递函数的单位阶跃响应曲线 grid on %绘制网络

3.1.2暂态性能指标分析

此时，由于s 的3次方很小，故省略，得系统的开环传递函数：

（26）

可得系统的闭环传递函数：

（27） 图14 源程序

图13 系统的根轨迹图

()05.46s 96.29705.4675.13225.11038.075.122

++=++=s s s s φ()s

s s G 3225.11038.075

.12+=()7.291663.1887083.6337

.291662

3

+++=

s s s s φ

()()()s

K s K

s K s K

s G a a a 8.3432.264.63225

.1038.0175.02a 2++=++=()()a

a K s K s s D 6.48.3432.262+++= 根据闭环传递函数可得特征方程：

（28）

可见系统为典型二阶系统：

05.462n =ω （29） 96.2972n =ζω （30）

求解可得， 因为当ξ=21.94时，此时为过阻尼状态，所以不存在超调量。随着时间t 的增长单调上升，稳态值为1。

根据一阶系统上升时间的定可知，当阶跃响应曲线单调上升时，到达稳态值曲线的90%

时的时间即为上升时间 。 调节时间则根据=2和=5求得。

由于系统的型别为一型，且系统的根均在左半平面，因而可以利用误差系数法求解相应的稳态误差具体如下

（31）

（32）

如图15可求得：

（33）

（34） （35）

（36） （37）

3.2阻尼比为0.7时性能分析

由于s 的3次方系数过小，此处仍忽略不计，写出系统的开环传递函数如下：

（38） 因此可得系统的特征方程：

（39）

此时的阻尼比 ，列出方程如下：

??r t s t =

2

?=5

?=0.7

ζ=0

lim ()()p s K G s H s →==∞

1

()0

1ss p

e K ∞==+()0ss e ∞=94

.21,79.6n ==ξωs

t p 60>s t r 2.14=s

2.26s 9.29()05.4696.2972++=s s s D

a 2

n 6.4K =ω （40）

（41）

解方程组可得Ka 无实数根。实际情况中，Ka 为放大增益，必定不是虚数，因此，在此情况中不可能出现Ka 无实数的情况，即阻尼比不可能等于0.7，所以无法求得此时的性能指标。

4.总结

做这个课设的时候总共分了三个阶段，并更加深入了解了《自动控制原理》的知识。 第一阶段是老师布置题目，班级内部分配题目，在分配完毕后就开始收集资料信息。在网上收集了类似资料，然后自己研究学习，不懂的查阅书籍，百度等，然后验证计算，最终弄懂了题目的内容及要求。

接下来的第二个阶段，就着手计算设计自己的课程设计。在做自己的课设的时候，本次设计中比较麻烦的是伺服电机的模型建造。因为对它的理解就不是很透彻，所以通过查阅各种资料，同学之间的交流讨论，基本对它有了一个比较好的了解。 完整的伺服电机传递函数当中包含有电枢电感La ，但是在这个题目的实际应用中，La 较小，因而可以忽略不计，最终电机的传递函数就比较简单了。在对整个系统的建模分析完成之后，又使用MATLAB 软件绘制了系统的根轨迹图及阶跃响应图并由图读出所要求的一些动态性能指标如超调量，超调时间等。在这个阶段学到了课本上没有教授的很多东西，对自控课程有了深刻的认识，同时明白了扎实的理论基础是实践研究的基石，把理论联系实际才能更好的应用。

第三个阶段是进行文字编辑排版工作。原以为这个阶段会是最轻松的阶段，但是它一点也不轻松。由于最终的论文格式有着严格的要求，每种字体，每个间距都规定好了，加上中间又要插入众多的公式，图片等，这些都是一个很大的挑战。尤其是自动生成目录这一块，看了资料后不是很理解，求助同学才得以解决问题。

总之，本次课程设计的收获是很多的。不仅收获了课本上所没有的知识，而且明白坚持，认真的重要性，希望在以后的时间里能够加强自身能力，学以致用。

34.8

26.322n +=a K ζω